∥3套精选试卷∥2019年马鞍山市九年级上学期期末适应性数学试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【解析】分析：根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
详解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
110°•（n-2）=3×360°
解得n=1．
故选A．
点睛：本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．2．将点A（﹣3，4）绕原点顺时针方向旋转180°后得到点B，则点B的坐标为（）
A．（3，﹣4）B．（﹣4，3）C．（﹣4，﹣3）D．（﹣3，﹣4）
【答案】A
【分析】根据点A（﹣3，4）绕坐标原点旋转180°得到点B，即可得出答案．
【详解】解：根据点A（﹣3，4）绕坐标原点旋转180°得到点B，可知A、B两点关于原点对称，
∴点B坐标为（3，﹣4），
故选：A．
【点睛】
本题考查坐标与图形变换—旋转，解题关键是熟练掌握旋转的旋转.
3．某公司为调动职工工作积极性，向工会代言人提供了两个加薪方案，要求他从中选择：
方案一：是12个月后，在年薪20000元的基础上每年提高500元（第一年年薪20000元）；
方案二：是6个月后，在半年薪10000元的基础上每半年提高125元（第6个月末发薪水10000元）；
但不管是选哪一种方案，公司都是每半年发一次工资，如果你是工会代言人，认为哪种方案对员工更有利？（）
A．方案一B．方案二
C．两种方案一样D．工龄短的选方案一，工龄长的选方案二
【答案】B
【分析】根据题意分别计算出方案一和方案二的第n年的年收入，进行大小比较，从而得出选项.
【详解】解：第n年：
方案一：12个月后，在年薪20000元的基础上每年提高500元，
第一年：20000元
第二年：20500元
第三年：21000元
第n 年：20000+500（n-1）=500n+19500元，
方案二：6个月后，在半年薪10000元的基础上每半年提高125元，
第一年：20125元
第二年：20375元
第三年：20625元
第n 年：10000+250（n-1）+10000+250（n-1）+125=500n+19625元，
由此可以看出方案二年收入永远比方案一，故选方案二更划算；
故选B.
【点睛】
本题考查方案选择，解题关键是准确理解题意根据题意列式比较方案间的优劣进行分析.
4．下列成语所描述的是随机事件的是（ ）
A ．竹篮打水
B ．瓜熟蒂落
C ．海枯石烂
D ．不期而遇 【答案】D
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【详解】解：A 、竹篮打水，是不可能事件；
B 、瓜熟蒂落，是必然事件；
C 、海枯石烂，是不可能事件；
D 、不期而遇，是随机事件；
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．已知函数2(3)21y k x x =-++的图象与x 轴有交点．则k 的取值范围是( )
A ．k<4
B ．k≤4
C ．k<4且k≠3
D ．k≤4且k≠3
【答案】B
【解析】试题分析：若此函数与x 轴有交点，则2(3)21=0k x x -++，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0,解得：k≤4,当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立，故本题选B.
考点：函数图像与x 轴交点的特点.
6．若关于x 的方程kx 2﹣2x ﹣1＝0有实数根，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．k ＞﹣1
B ．k ＜1且k≠0
C ．k≥﹣1且k≠0
D ．k≥﹣1 【答案】C
【分析】根据根的判别式（240b ac =-≥△ ）即可求出答案．
【详解】由题意可知：440k +≥△＝
∴1k ≥-
∵0k ≠
∴1k ≥- 且0k ≠ ，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了根的判别式的应用，因为存在实数根，所以根的判别式成立，以此求出实数k 的取值范围． 7．二次函数2y ax bx c =++中x 与y 的部分对应值如下表所示，则下列结论错误的是（ ）
A ．3a c +<
B ．当 1.5x >时，y 的值随x 值的增大而减小
C ．当3y <时，0x <
D ．3是方程()210ax b x c +-+=的一个根 【答案】C
【分析】根据表格中的数值计算出函数表达式，从而可判断A 选项，利用对称轴公式可计算出对称轴，从而判断其增减性，再根据函数图象及表格中y=3时对应的x ，可判断C 选项，把对应参数值代入即可判断D 选项.
【详解】把(－1，－1)，(0，3)，(1，5)代入2y ax bx c =++得135a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得133a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴233y x x =-++，
A.1323a c +=-+=<，故本选项正确；
B.该函数对称轴为直线()33212
x =-=⨯-，且10a =-<，函数图象开口向下，所以当 1.5x >时，y 随x 的增大而减小，故本选项正确；
C.由表格可知，当x=0或x=3时，y=3，且函数图象开口向下，所以当y<3时，x<0或x>3，故本选项错误；
D.方程为2230x x -++=，把x=3代入得－9+6+3=0，所以本选项正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查了二次函数表达式求法，二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质等知识，
“待定系数法”是求函数表达式的常用方法，需熟练掌握.
8．某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到49万元．设平均月增长率为x ，根据题意可列方程是（ ）
A ．25(1+ x %)2=49
B ．25(1+x)2=49
C ．25(1+ x 2) =49
D ．25(1- x)2=49 【答案】B
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设利润的年平均增长率为x ，然后根据已知条件可得出方程．
【详解】解：依题意得七月份的利润为25（1+x ）2，
∴25（1+x ）2=1．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
9．下列各式运算正确的是（ ）
A ．235a a a +=
B ．236a a a ⋅=
C ．()326ab ab =
D ．1055a a a ÷= 【答案】D
【分析】逐一对选项进行分析即可．
【详解】A. 23,a a 不是同类项，不能合并，故该选项错误；
B. 235a a a ⋅=，故该选项错误；
C. ()3236ab a b =，故该选项错误；
D. 1055a a a ÷=，故该选项正确；
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查同底数幂的乘除法，积的乘方，掌握同底数幂的乘除法和积的乘方的运算法则是解题的关键． 10．如图，在锐角△ABC 中，∠A=60°，∠ACB=45°，以BC 为弦作⊙O ，交AC 于点D ，OD 与BC 交于点E ，若AB 与⊙O 相切，则下列结论：
①∠BOD=90°；②DO ∥AB ；③CD=AD ；④△BDE ∽△BCD ；⑤
BE DE
=正确的有（ ）
A ．①②
B ．①④⑤
C ．①②④⑤
D ．①②③④⑤
【答案】C 【解析】根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，由圆周角∠ACB=45°得到圆心角∠BOD=90°，进而得到BD 的度数为90°，故选项①正确；
又因OD=OB ，所以△BOD 为等腰直角三角形，由∠A 和∠ACB 的度数，利用三角形的内角和定理求出∠ABC=180°-60°-45°=75°，由AB 与圆切线，根据切线的性质得到∠OBA 为直角，求出
∠CBO=∠OBA -∠ABC=90°-75°=15°，由根据∠BOE 为直角，求出
∠OEB=180°-∠BOD -∠OBE=180°-90°-15°=75°，根据内错角相等，得到OD∥AB，故选项②正确； 由D 不一定为AC 中点，即CD 不一定等于AD ，而选项③不一定成立；
又由△OBD 为等腰三角形，故∠ODB=45°，又∠ACB=45°，等量代换得到两个角相等，又∠CBD 为公共角，根据两对对应角相等的两三角形相似得到△BDE∽△BCD，故④正确；
连接OC ，由相似三角形性质和平行线的性质，得比例BE DB DE DC
=，由BD=2OD ，等量代换即可得到BE 等=2DE ，故选项⑤正确．
综上，正确的结论有4个．
故选C.
点睛：此题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质以及等边三角形的性质，熟练掌握性质与定理是解本题的关键．
11．在平面直角坐标系中，对于二次函数()2
21y x =-+，下列说法中错误的是（ ）
A ．y 的最小值为1
B ．图象顶点坐标为()21，，对称轴为直线2x =
C ．当2x <时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x ≥时，y 的值随x 值的增大而减小
D ．当2x <时，y 的值随x 值的增大而减小，当2x ≥时，y 的值随x 值的增大而增大
【答案】C
【分析】根据()221y x =-+，可知该函数的顶点坐标为（2,1），对称轴为x=2，最小值为1，当x<2时，y 随x 的增大而减小，当x≥2时，y 随x 的增大而增大，进行判断选择即可.
【详解】由题意可知，该函数当x<2时，y 随x 的增大而减小，当x≥2时，y 随x 的增大而增大，故C 错误，所以答案选C.
【点睛】
本题考查的是一元二次函数顶点式的图像性质，能够根据顶点式得出其图像的特征是解题的关键. 12．已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），AB=4，那么AP 的长是（ ）
A ．252-
B ．25-
C ．251-
D ．52- 【答案】A 【解析】根据黄金比的定义得：512
AP AB -= ，得5142522AP -=⨯=- .故选A. 二、填空题（本题包括8个小题）
13．从3,1,2-这三个数中任取两个不同的数作为P 点的坐标，则P 点刚好落在第四象限的概率是_．
【答案】13
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与P 点刚好落在第四象限的情况即可求出问题答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，其中（1，−2），（3，−2）点落在第四象限，
∴P 点刚好落在第四象限的概率为21=63
， 故答案为：
13
． 【点睛】 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，熟记各象限内点的符号特点是解题关键．
14．布袋中装有3个红球和4个白球，它们除颜色外其余都相同，如果从这个布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是_______．
【答案】37
【分析】由题意根据概率公式，求摸到红球的概率，即用红球除以小球总个数即可得出得到红球的概率．
【详解】解：∵一个布袋里装有3个红球和4个白球，共7个球，
∴摸出一个球摸到红球的概率为：37， 故答案为：
37
. 【点睛】 本题主要考查概率公式的应用，由已知求出小球总个数再利用概率公式求出是解决问题的关键． 15．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，棱长为1的立方体的表面展开图有两条边分别在AC ，BC 上，有两个顶点在斜边AB 上，则ABC ∆的面积为__________．
【答案】16
【解析】根据题意、结合图形，根据相似三角形的判定和性质分别计算出CB 、AC 即可．
【详解】解：
由题意得：DE ∥MF,所以△BDE ∽△BMF,所以 BD DE BM MF =，即 214
BD BD =+,解得BD=1，同理解得：AN=6；又因为四边形DENC 是矩形，所以DE=CN=2，DC=EN=3,所以BC=BD+DC=4，AC=CN+AN=8，ABC ∆的面积=BC×AC÷2=4×8÷2=16.
故答案为：16.
【点睛】
本题考查正方形的性质和相似三角形的判定和性质，解题的关键是需要对正方形的性质、相似三角形的判定和性质熟练地掌握．
16．若函数()221m m y m x
-=-为关于x 的二次函数，则m 的值为__________． 【答案】2
【分析】根据二次函数的定义，列出关于m 的方程和不等式，即可求解.
【详解】∵函数()221m m y m x -=-为关于x 的二次函数，
∴210m -≠且22m m -=，
∴m=2.
故答案是：2.
【点睛】
本题主要考查二次函数的定义，列出关于m的方程和不等式，是解题的关键.
17．如图三角形ABC是圆O的内接正三角形，弦EF经过BC边的中点D，且EF平行AB，若AB等于6，则EF等于________.
【答案】35
【分析】设AC与EF交于点G，由于EF∥AB，且D是BC中点，易得DG是△ABC的中位线，即DG=3；易知△CDG是等腰三角形，可过C作AB的垂线，交EF于M，交AB于N；然后证DE=FG，根据相交弦定理得BD•DC=DE•DF，而BD、DC的长易知，DF=3+DE，由此可得到关于DE的方程，即可求得DE的长，EF=DF+DE=3+2DE，即可求得EF的长；
【详解】解：如图，过C作CN⊥AB于N，交EF于M，则CM⊥EF，
根据圆和等边三角形的性质知：CN必过点O，
∵EF∥AB，D是BC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
即DG=1
2
AB=3；
∵∠ACB=60°，BD=DC=1
2
BC，AG=GC=
1
2
AC，且BC=AC，
∴△CGD是等边三角形，∵CM⊥DG，
∴DM=MG；
∵OM⊥EF，
由垂径定理得：EM=MF，故DE=GF，
∵弦BC、EF相交于点D，∴BD×DC=DE×DF，
即DE×(DE+3)=3×3；
解得DE=-3+35
或
-3-35
（舍去）；
∴EF=3+2×-3+35
=35；
【点睛】
本题主要考查了相交弦定理，等边三角形的性质，三角形中位线定理，垂径定理，掌握相交弦定理，等边三角形的性质，三角形中位线定理，垂径定理是解题的关键.
18．在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a个白球和4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为_____．
【答案】1
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球的频率稳定在20%左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【详解】解：由题意可得，
4
4+a
×100%＝20%，
解得，a＝1，
经检验a=1是方程的根，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查的是频率和概率问题，此类问题是中考常考的知识点，所以掌握频率和概率是解题的关键.
三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图，已知直线y1＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物y2＝ax2+bx+c经过点B，C并与x 轴交于点A（﹣1，0）．
（1）求抛物线解析式，并求出抛物线的顶点D坐标；
（2）当y2＜0时、请直接写出x的取值范围；
（3）当y1＜y2时、请直接写出x的取值范围；
（4）将抛物线y2向下平移，使得顶点D落到直线BC上，求平移后的抛物线解析式．
【答案】（1）(1,4)；（2）x ＜﹣1或x ＞3；（3）0＜x ＜3；（4）y ＝-x 2+2x+1．
【分析】（1）列方程得到C （0，3），B （3，0），设抛物线解析式为y ＝a （x+1）（x ﹣3），列方程即可得到结论；
（2）由图象即可得到结论；
（3）由图象即可得到结论；
（4）当根据平移的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）对于y 1＝﹣x+3，当x ＝0时，y ＝3，
∴C （0，3），
当y ＝0时，x ＝3，
∴B （3，0），
∵抛物线与x 轴交于A （﹣1，0）、B （3，0）两点，
设抛物线解析式为y ＝a （x+1）（x ﹣3），
抛物线过点C （0，3），
∴3＝a （0+1）（0﹣3），
解得：a ＝-1，
∴y ＝-（x+1）（x ﹣3）＝-x 2+2x+3，
∴顶点D （1，4）；
（2）由图象知，当y 2＜0时、x 的取值范围为：x ＜﹣1或x ＞3；
（3）由图象知当y 1＜y 2时、x 的取值范围为：0＜x ＜3；
（4）当x ＝1时，y ＝﹣1+3＝2，
∵抛物线向下平移2个单位，
∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x+3﹣2＝﹣x 2+2x+1．
故答案为：（1）（1，4）；（2）x ＜﹣1或x ＞3；（3）0＜x ＜3；（4）y ＝x 2+2x+1．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，及二次函数的性质，是一道综合性比较强的题，看懂图象是解题的关键.
20．解方程290x ：
【答案】13x =, 23x =-
【分析】先把9-移到等号右边，然后再两边直接开平方即可.
【详解】29x =
13x = , 23x =-
【点睛】
本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，做题时注意不要漏解.
21．某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x …﹣3 ﹣5
2
﹣2 ﹣1 0 1 2
5
2
3 …
y … 3 5
4
m ﹣1 0 ﹣1 0
5
4
3 …
其中，m=．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有个实数根；
②方程x2﹣2|x|=2有个实数根.
③关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是．
【答案】（1）1；（2）作图见解析；（3）①函数y=x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；（答案不唯一）（4） 3，3，2，﹣1＜a＜1．
【解析】（1）把x=-2代入y=x2-2|x|得y=1，
即m=1，
故答案为：1；
（2）
如图所示；
（3）由函数图象知：①函数y=x 2-2|x|的图象关于y 轴对称；②当x ＞1时，y 随x 的增大而增大； （4）①由函数图象知：函数图象与x 轴有3个交点，所以对应的方程x 2-2|x|=1有3个实数根； ②如图，∵y=x 2-2|x|的图象与直线y=2有两个交点，
∴x 2-2|x|=2有2个实数根；
③由函数图象知：∵关于x 的方程x 2-2|x|=a 有4个实数根，
∴a 的取值范围是-1＜a ＜1，
故答案为：3，3，2，-1＜a ＜1．
22．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2015年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2017年计划投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
(1)求每年市政府投资的增长率；
(2)若这两年内的建设成本不变，问从2015到2017年这三年共建设了多少万平方米廉租房？
【答案】 (1)50% ；(2)57万平方米
【分析】(1)设每年市政府投资的增长率为x ，由3(1x +)2=2017年的投资，列出方程，解方程即可；
(2)2016年的廉租房=12(1+50%)，2017年的廉租房=12(1+50%)2，即可得出结果．
【详解】(1)设每年市政府投资的增长率为x ，根据题意得：
3(1x +)2=6.75，
解得：0.5x =，或 2.5x =-(不合题意，舍去)，
∴0.550%x ==，
即每年市政府投资的增长率为50%；
(2)∵12+12(1+50%)+12(1+50%)2=12+18+27＝57，
∴从2015到2017年这三年共建设了57万平方米廉租房．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用；熟练掌握列一元二次方程解应用题的方法，根据题意找出等量关系列出方程是解决问题的关键．
23．在平面直角坐标系中，己知10cm OA =，5cm OB =．点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以2cm/s 的速度移动；点Q 从点B 开始沿BO 边内点O 以1cm/s 的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用()t s 表示移动的时间()05t ≤≤．
（1）用含t 的代数式表示：线段PO =_______cm ；OQ =______cm ；
（2）当t 为何值时，四边形PABQ 的面积为219cm ．
（3）当POQ ∆与AOB ∆相似时，求出t 的值．
【答案】（1）2t ，(5﹣t)；（2）t=2或3；（3）t 52=
或1． 【分析】（1）根据路程=速度×时间可求解；
（2）根据S 四边形PABQ =S △ABO ﹣S △PQO 列出方程求解；
（3）分OP OQ OA OB =或OP OQ OB OA
=两种情形列出方程即可解决问题． 【详解】（1）OP=2tcm ，OQ=(5﹣t)cm ．
故答案为：2t ，(5﹣t)．
（2）∵S 四边形PABQ =S △ABO ﹣S △PQO ，
∴1912=⨯10×512
-⨯2t ×(5﹣t)， 解得：t=2或3，
∴当t=2或3时，四边形PABQ 的面积为19cm 2．
（3）∵△POQ 与△AOB 相似，∠POQ=∠AOB=90°， ∴
OP OQ OA OB =或OP OQ OB OA
=． ①当OP OQ OA OB =，则25105
t t -=， ∴t 52
=， ②当OP OQ OB OA =时，则25510t t -=， ∴t=1．
综上所述：当t 52=
或1时，△POQ 与△AOB 相似． 【点睛】
本题是相似综合题，考查相似三角形的判定和性质、坐标与图形的性质、三角形的面积等知识，解答本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．如图，在ABC ∆中，点D 在边AB 上，且BD DC AC ==，已知108ACE ∠=︒，2BC =． （1）求B 的度数；
（2）我们把有一个内角等于36︒的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰
长的比)等于黄金比12
． ①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求AD 的长．
【答案】（1）36︒；（2）①有三个：,,BDC ADC BAC ∆∆∆，理由见解析；②35．
【分析】（1）设B x ∠=，根据题意得到,
2DCB x CDA A x ∠=∠=∠=，由三角形的外角性质，即可
求出x 的值，从而得到答案；
（2）①根据黄金三角形的定义，即可得到答案； ②由①可知，BAC ∆是黄金三角形，则根据比例关系，求出51BD AC ==
-，然后求出AD 的长度. 【详解】解：（1）
BD DC AC ==， 则,
B DCB CDA A ∠=∠∠=∠， 设B x ∠=，
则,2DCB x CDA A x ∠=∠=∠=，
又108ACE ∠=︒，
108B A ︒∴∠+∠=，
2108x x ∴+=，
解得：36x ︒=，
36B ︒∴∠=；
（2）①有三个：,,BDC ADC BAC ∆∆∆
,36DB DC B ︒=∠=
DBC ∴∆是黄金三角形；
或,18036CD CA ACD CDA A =∠=︒-∠-∠=︒，
CDA ∆∴是黄金三角形；
或108ACE ︒∠=，
72ACB ︒∴∠=，
又272A x ∠==︒，
A AC
B ∴∠=∠，
BA BC ∴=，
BAC ∆∴是黄金三角形；
②∵BAC ∆是黄金三角形， AC 51BC -∴=， 2BC =， 51AC ∴=-，
2,51BA BC BD AC ====-，
2(51)35AD BA BD ∴=-=--=-．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及黄金三角形的定义，三角形的内角和定理以及三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的外角性质．
25．如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D ，E 两点分别在AC ，BC 上，且DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现：当α＝0°时，AD BE
的值为 ； （2）拓展探究：当0°≤α＜360°时，若△EDC 旋转到如图2的情况时，求出
AD BE 的值； （3）问题解决：当△EDC 旋转至A ，B ，E 三点共线时，若设CE ＝5，AC ＝4，直接写出线段BE 的长 ．
【答案】（1）22；（2）22
；（3）7或1． 【分析】（1）先证△DEC 为等腰直角三角形，求出
22CD CE =，再通过平行线分线段成比例的性质可直接写出AD BE
的值； （2）证△BCE ∽△ACD ，由相似三角形的性质可求出
AD BE 的值； （3）分两种情况讨论，一种是点E 在线段BA 的延长线上，一种是点E 在线段BA 上，可分别通过勾股定理求出AE 的长，即可写出线段BE 的长．
【详解】（1）∵∠BAC=90°，AB=AC ，
∴△ABC 为等腰直角三角形，∠B=45°．
∵DE ∥AB ，
∴∠DEC=∠B=45°，∠CDE=∠A=90°，
∴△DEC 为等腰直角三角形，
∴cos ∠C CD CE ==． ∵DE ∥AB ，
∴AD CD BE CE ==
故答案为：2
； （2）由（1）知，△BAC 和△CDE 均为等腰直角三角形，
∴2
AC DC BC EC ==． 又∵∠BCE=∠ACD=α，
∴△BCE ∽△ACD ，
∴AD AC BE BC ==
即
2AD BE =； （3）①如图3﹣1，当点E 在线段BA 的延长线上时．
∵∠BAC=90°，
∴∠CAE=90°，
∴AE ===3，
∴BE=BA+AE=4+3=7；
②如图3﹣2，当点E 在线段BA 上时，
AE ==3，
∴BE=BA ﹣AE=4﹣3=1．
综上所述：BE 的长为7或1．
故答案为：7或1．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质等，解答本题的关键是注意分类讨论思想在解题过程中的运用．
26．如图，某数学兴趣小组的同学利用标杆测量旗杆()AB 的高度：将一根3米高的标杆()CD 竖直放在某一位置，有一名同学站在F 处与标杆底端()D 、旗杆底端()B 成一条直线，此时他看到标杆顶端C 与旗杆顶端A 重合，另外一名同学测得站立()EF 的同学离标杆()3CD 米，离旗杆()30AB 米．如果站立()EF 的同学的眼睛距地面1.6米，过点E 作EH AB ⊥于点H ，交CD 于点
(//,//,//)G EF AB CD AB EH FB ，求旗杆AB 的高度．
【答案】旗杆的高度为15.6米．
【分析】过点E 作EH ⊥AB 于点H ，交CD 于点G 得出ECG EAH ∽，利用形似三角形的对应边成比例求出AH 的长，进而求出AB 的长．
【详解】过点E 作EH AB ⊥于点H ，交CD 于点G ．
由题意可得，四边形EFDG GDHB 、都是矩形，////AB CD EF ．
ECG EAH ∴∽． ∴EG CG EH AH
=． 由题意可得：
330EG FD m EH FB m ＝＝，＝＝，
31.6 1.4CG CD GD CD EF ＝-＝-＝-＝（米）
． ∴3 1.430AH
=， 14AH ∴＝（米）
， 14 1.615.6AB AH HB ∴++＝＝＝（米）
．
答：旗杆的高度为15.6米．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的应用，根据相似三角形判定得出△ECG ∽△EAH 是解题关键．
27．如图，一栋居民楼AB 的高为16米，远处有一栋商务楼CD ，小明在居民楼的楼底A 处测得商务楼顶D 处的仰角为60°，又在商务楼的楼顶D 处测得居民楼的楼顶B 处的俯角为45°．其中A 、C 两点分别位于
B 、D 两点的正下方，且A 、
C 两点在同一水平线上，求商务楼C
D 的高度． （参考数据：2≈1.414，3≈1.1．结果精确到0.1米）
【答案】商务楼CD 的高度为37.9米．
【解析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及两个直角三角形，即Rt △BED 和Rt △DAC ，利用已知角的正切分别计算，可得到一个关于AC 的方程，从而求出DC ．
【详解】过点B 作BE ⊥CD 与点E ，由题意可知∠DBE=045，
∠DAC=060，CE=AB=16
设AC=x ，则3CD x =，BE=AC=x
∵316DE CD CE x =-=-
∵009045BED DBE ∠=∠=，∴BE=DE ∴316x x =-
∴31x =
- ∴()
831x =+ ∴3248337.9CD x ==+≈
答： 商务楼CD 的高度为37.9米.
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，O是ABC的内切圆，切点分别是D、DF，连接DF EF OD OE
、、、，若100,30
A C
∠=∠=，则DFE
∠的度数是()
A．55B．60C．65D．70
【答案】C
【分析】由已知中∠A＝100°，∠C＝30°，根据三角形内角和定理，可得∠B的大小，结合切线的性质，可得∠DOE的度数，再由圆周角定理即可得到∠DFE的度数．
【详解】解：∠B＝180°−∠A−∠C＝180−100°−30°＝50°
∠BDO＋∠BEO＝180°
∴B、D、O、E四点共圆
∴∠DOE＝180°−∠B＝180°−50°＝130°
又∵∠DFE是圆周角，∠DOE是圆心角
∠DFE＝1
2
∠DOE＝65°
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识点是圆周角定理，切线的性质，其中根据切线的性质判断出B、D、O、E四点共圆，进而求出∠DOE的度数是解答本题的关键．
2．数据4，3，5，3，6，3，4的众数和中位数是（）
A．3，4 B．3，5 C．4，3 D．4，5
【答案】A
【分析】根据众数和中位数的定义解答即可．
【详解】解：在这组数据中出现次数最多的是3，即众数是3；
把这组数据按照从小到大的顺序排列3，3，3，4，4，5，6，
∴中位数为4；
故选：A．
【点睛】
本题考查一组数据的中位数和众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；在求中位数时，首先要把
这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求． 3．下列说法正确的是（ ）
A ．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
B ．某种彩票的中奖率为11000，说明每买1000张彩票，一定有一张中奖
C ．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为13
D ．“概率为1的事件”是必然事件
【答案】D
【解析】试题解析：A 、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项错误；
B. 某种彩票的中奖概率为11000
，说明每买1000张，有可能中奖，也有可能不中奖，故B 错误； C. 抛掷一枚质地均匀的硬币一次,出现正面朝上的概率为
12
.故C 错误； D. “概率为1的事件”是必然事件,正确.
故选D. 4．已知⊙O 的半径为5，若OP=6，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）
A ．点P 在⊙O 内
B ．点P 在⊙O 外
C ．点P 在⊙O 上
D ．无法判断 【答案】B
【解析】比较OP 与半径的大小即可判断.
【详解】r 5=，d OP 6==，
d r ∴>，
∴点P 在O 外，
故选B ．
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系，记住：点与圆的位置关系有3种.设O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP d =，则有：①点P 在圆外d r ⇔>；②点P 在圆上d r ⇔=；①点P 在圆内d r ⇔<. 5．如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），连接AP ，作射线PD ，使∠APD=60°，PD 交AC 于点D ，已知AB=a ，设CD=y ，BP=x ，则y 与x 函数关系的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质可得出∠B=∠C=60°，由等角的补角相等可得出∠BAP=∠CPD，进而即可
证出△ABP∽△PCD，根据相似三角形的性质即可得出y=-1
a
x2+x，对照四个选项即可得出．
【详解】∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，BC=AB=a，PC=a-x．
∵∠APD=60°，∠B=60°，
∴∠BAP+∠APB=120°，∠APB+∠CPD=120°，∴∠BAP=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴CD PC
BP AB
=,即
y a x
x a
-
=，
∴y=- 1
a
x2+x.
故选C. 【点睛】
考查了动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出y=-1
a
x2+x是解题的
关键．
6．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为（）
A．1
2
B．
3
4
C．1 D．2
【答案】C
【详解】解：∵OD⊥AC，∴AD=1
2
AC=1，
∵OE∥AC，
∴∠DAO=∠FOE，
∵OD ⊥AC ，EF ⊥AB ，
∴∠ADO=∠EFO=90°，
在△ADO 和△OFE ，∵∠DAO=∠FOE ，∠ADO=∠EFO ，AO=OE ，
∴△ADO ≌△OFE ，
∴OF=AD=1，
故选C ．
【点睛】
本题考查1．全等三角形的判定与性质；2．垂径定理，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键． 7．已知k 1＜0＜k 2，则函数y=k 1x 和2k y x
=的图象大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ． 【答案】D
【解析】试题分析：：∵k 1＜0＜k 2，
∴直线过二、四象限，并且经过原点；双曲线位于一、三象限．
故选D ．
考点：1.反比例函数的图象；2.正比例函数的图象．
8．等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（ ）
A ．17
B ．22
C ．17或22
D ．13 【答案】B
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：分两种情况：
当腰为4时，4＋4＜9，不能构成三角形；
当腰为9时，4＋9＞9，所以能构成三角形，周长是：9＋9＋4＝1．
故选B ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键．
9．用min{a ，b}表示a ，b 两数中的最小数，若函数{}22min 1,1y x x =+-，则y 的图象为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【分析】根据题意，把问题转化为二次函数问题.
【详解】根据题意，min{x 2+1，1-x 2}表示x 2+1与1-x 2中的最小数，
不论x 取何值，都有x 2+1≥1-x 2，
所以y=1-x 2；
可知，当x=0时，y=1；当y=0时，x=±1；
则函数图象与x 轴的交点坐标为（1，0），（-1，0）；与y 轴的交点坐标为（0，1）．
故选C ．
【点睛】
考核知识点：二次函数的性质.
10．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．平行四边形
B ．圆
C ．等边三角形
D ．正五边形
【答案】B
【解析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各项分析判断即可.
【详解】平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故A 错误；圆既是轴对称图形又是中心对称图形，故B 正确；等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C 错误；正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D 错误.
故答案为：B.
【点睛】
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握其定义是解题的关键.
11．方程2(1)230m x mx -+-=是关于x 的一元二次方程，则( )。