2019届江苏省南京市高三9月学情调研测试数学试题

结束
开始
I ←1
S ←1
S ←2S
输出S
N
Y （第4题图）
I ≤5
I ←I ＋2
Y
南京市2019届高三年级学情调研
数学
2018.09
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第
15题~第20题）两部分．本试卷满
分为160分，考试时间为
120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．
上对应题目的答案空
格内．考试结束后，交回答题卡．参考公式：
锥体的体积公式：
V ＝1
3
Sh ，其中S 为锥体的底面积，
h 为锥体的高．
样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2
＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1
∑n
x i ．
一、填空题：本大题共
14小题，每小题
5分，共70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置．．．．上．
1．已知集合A ＝{ x|1＜x ＜5，x ∈R }，B ＝{x|x ＝2n ，n ∈Z }，那么集合A ∩B 中有▲
个元素．
2．复数z ＝(1＋bi)(2－i)，其中b ∈R ，i 为虚数单位．若
z 是
纯虚数，则实数b 的值为
▲
．
3．已知某地连续
5天的最低气温(单位：摄氏度)依次是18，
21，22，24，25，那么这组数据的方差为▲．
4．执行右图所示的算法流程图，则最后输出的
S 的值
为
▲
．
5．若函数f(x)＝a ＋1
2x －1是奇函数，则实数
a 的值为▲．
6．在平面直角坐标系
xOy 中，若抛物线
y 2
＝4x 的准线与双曲线
x 2
a 2－y
2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的交点的纵坐标为2，则
该双曲线的离心率是
▲
．
7．不透明的盒子中有大小、形状和质地都相同的
5只球，其中2只白球，3只红球，现从中随机取出2只球，
则取出的这2只球颜色相同的概率是
▲
．
8．已知函数f (x)＝2sin(2x ＋φ) (－π2＜φ＜π
2)的图象关于直线x ＝π
6
对称，则f(0)的值为
▲．9．如图，在正三棱柱
ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝3，则四棱锥A 1－B 1C 1CB 的体积是
▲
．
10．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋
1n(n ＋1)
(n ∈N *
)，则a 10 的值
为
▲
．
11．已知△ABC 的面积为315，且AC －AB ＝2，cosA ＝－1
4，则BC 的长
为
▲．
A
C
A 1
B 1
C 1
12．在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，E 为边BC 上一点，且AB →·AE →
＝6，
AD
→·AE →＝3
2，则AB →·AD →的值为▲
．
13．在平面直角坐标系
xOy 中，已知点A(1，1)，B(1，－1)，点P 为圆(x －4)2
＋y 2
＝4上任意一点，记△OAP
和△OBP 的面积分别为S 1和S 2，则
S 1
S 2
的最小值是▲
．
14．若函数
f (x)＝12ax 2－e x
＋1在x ＝x 1和x ＝x 2两处取到极值，且x 2
x 1≥2，则实数
a 的取值范围
是
▲
．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，
证明过程或演算步骤．15．（本小题满分
14分）
如图，已知四边形
ABCD 是矩形，平面
ABCD ⊥平面BCE ，BC ＝EC ，F 是BE 的中点．
（1）求证：DE ∥平面ACF ；（2）求证：平面
AFC ⊥平面ABE ．
16．（本小题满分14分）
已知α，β为钝角，且sin α＝35，cos2β＝－3
5．
（1）求tan β的值；（2）求cos(2α＋β)的值．
17．（本小题满分
14分）
A
E
D
F
B
C
（第15题图）
销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式
P ＝at t ＋1
，销售乙种商品所得
利润是Q 万元，它与投入资金
t 万元的关系有经验公式
Q ＝bt ，其中a ，b 为常数．现将
3万元资金全部投
入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为9
4
万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元．若将3万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总
和为f (x)万元．
（1）求函数 f (x) 的解析式；
（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系
xOy 中，椭圆E ：x 2
a 2＋y
2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为
2
2
，且直线l ：x ＝2被椭圆E 截得的弦长为2．与坐标轴不垂直的直线交椭圆
E 于P ，Q 两点，且PQ 的中点R 在直线l 上．点M(1，0)．
（1）求椭圆E 的方程；（2）求证：MR ⊥PQ ．
19．（本小题满分16分）
已知函数f(x)＝lnx ，g(x)＝x 2
．
（1）求过原点(0，0)，且与函数f(x)的图象相切的直线
l 的方程；
（2）若a ＞0，求函数φ(x)＝|g(x)－2a 2
f(x)|在区间[1，＋∞) 上的最小值．
（第18题图）
O l
y
x
M
20．（本小题满分16分）
如果数列{a n}共有k(k∈N*，k≥4)项，且满足条件：
①a1＋a2＋…＋a k＝0；②|a1|＋|a2|＋…＋|a k|＝1，
则称数列{a n}为P(k)数列．
（1）若等比数列{a n}为P(4)数列，求a1的值；
（2）已知m为给定的正整数，且m≥2．
①若公差为正数的等差数列{a n}是P(2m＋3)数列，求数列{a n}的公差；
②若a n＝q n－1
3
，1≤n≤m，n∈N*，
m－n
12
，m＋1≤n≤2m，n∈N*，
其中q为常数，q＜－1．判断数列{a n}是否为P(2m)
数列，说明理由．
南京市2019届高三年级学情调研
数学参考答案及评分标准2018.09说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．
1．2 2．－2 3．6 4．8 5．1 2
6． 5 7．2
5
8．1 9．2 3 10．
19
10
11．8 12．－9
2
13．2－ 3 14．[
2
ln2
，＋∞）
二、解答题：本大题共6小题，共90分．
15．证明：（1）连结BD，交AC于点O，连结OF．
因为四边形ABCD是矩形，O是矩形ABCD对角线的交点，
所以O为BD的中点．
又因为F是BE的中点，
所以在△BED中，OF∥DE．………………4分
因为OF平面AFC，DE平面AFC，
所以DE∥平面AFC．………………6分
（2）因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥BC．
又因为平面ABCD⊥平面BCE，且平面ABCD∩平面BCE＝BC，AB面ABCD，所以AB⊥平面BCE．……………………9分
因为CF平面BCE，所以AB⊥CF．
在△BCE中，因为CE＝CB，F是BE的中点，
所以CF⊥BE．……………………11分
因为AB平面ABE，BE平面ABE，AB∩BE＝B，所以CF⊥面ABE．
又CF平面AFC，所以平面AFC⊥平面ABE．……………………14分
16．解：（1）因为cos2β＝－3
5
，cos2β＝2cos2β－1，
所以2cos2β－1＝－3
5
，解得cos2β＝
1
5
．……………………2分
因为β为钝角，所以cosβ＝－
5 5
．
从而sinβ＝1－cos2β＝1－1
5
＝
25
5
．……………………5分
所以tanβ＝sinβ
cosβ
＝
25
5
－
5
5
＝－2．……………………7分
（2）因为α为钝角，sinα＝3 5，
所以cosα＝－1－sin2α＝－1－(3
5
)2＝－
4
5
．……………………9分
所以sin2α＝2sinαcosα＝2×3
5
×(－
4
5
)＝－
24
25
，
cos2α＝1－2sin2α＝1－2×(3
5
)2＝
7
25
．……………………11分
从而cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβA
E
D F
B C
（第15题图）
O
＝
7
25
×(－
5
5
)－(－
24
25
)×
25
5
＝415
125
．……………………14分
17．解：（1）由题意，P＝
at
t＋1
，Q＝bt，
故当t＝3时，P＝
3a
3＋1
＝
9
4
，Q＝3b＝1．……………………3分
解得a＝3，b＝1
3
．……………………5分
所以P＝
3t
t＋1
，Q＝
1
3
t．
从而f(x)＝
3x
x＋1
＋
3－x
3
，x∈[0，3]．……………………7分
（2）由（1）可得：f(x)＝
3x
x＋1
＋
3－x
3
＝
13
3
－(
3
x＋1
＋
x＋1
3
)．
……………………9分
因为x∈[0，3]，所以x＋1∈[1，4]，
故
3
x＋1
＋
x＋1
3
≥2，
从而f(x)≤13
3
－2＝
7
3
．……………………11分
当且仅当
3
x＋1
＝
x＋1
3
，即x＝2时取等号．
所以f(x)的最大值为7
3
．
答：分别投入2万元、1万元销售甲、乙两种商品时，所得利润总和最大，最大利润是7 3万
元．……………………14分
18．解：（1）因为椭圆x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a＞b＞0)的离心率e＝
2
2
，
所以e2＝c2
a2
＝1－
b2
a2
＝
1
2
，即a2＝2b2．……………………2分
因为直线l：x＝2被椭圆E截得的弦长为2，
所以点(2，1)在椭圆上，即4
a2
＋
1
b2
＝1．
解得a2＝6，b2＝3，
所以椭圆E的方程为x2
6
＋
y2
3
＝1．……………………6分
（2）解法一：因为直线PQ 与坐标轴不垂直，故设
PQ 所在直线的方程为y ＝kx ＋m ．
设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2) ．
因为PQ 的中点R 在直线l ：x ＝2上，故R(2，2k ＋m)．
联立方程组
y=kx ＋m ，x 26＋y
23
＝1，消去y ，并化简得(1＋2k 2
)x 2
＋4kmx ＋2m 2
－6＝0，……………………
9分
所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k
2
．（*）由x 1＋x 2＝
－4km 1＋2k
2＝4，得
1＋2k 2
＝－km ．①…………………12分
因为M(1，0)，故k MR ＝
2k ＋m 2－1
＝2k ＋m ，
所以k MR ·k PQ ＝(2k ＋m)k ＝2k 2
＋km ＝2k 2
－(1＋2k 2
)＝－1，所以MR ⊥PQ ．
……………………16分
解法二：设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)．
因为PQ 的中点R 在直线l ：x ＝2上，故设R (2，t )．
因为点P ，Q 在椭圆E ：
x 2
6＋y
2
3
＝1上，所以x 1
2
6＋y 1
2
3＝1，x 226＋y 2
23
＝1，两式相减得
(x 1＋x 2) (x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2) (y 1－y 2)＝0．…………………
9分
因为线段PQ 的中点为R ，所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2t ．代入上式并化简得(x 1－x 2)＋t (y 1－y 2)＝0．
……………………
12分
又M(1，0)，
所以MR →·PQ →
＝(2－1)×(x 2－x 1)＋(t －0)×(y 2－y 1)＝0，因此MR ⊥PQ ．
……………………
16分
19．解：（1）因为f (x)＝lnx ，所以 f ′(x)＝1
x
(x ＞0)．
设直线l 与函数f(x)的图象相切于点(x 0，y 0)，
则直线l 的方程为
y －y 0＝1x 0(x －x 0)，即y －lnx 0＝1
x 0
(x －x 0)．
……………………
3分
因为直线l 经过点(0，0)，
所以0－lnx 0＝1
x 0
(0－x 0)，即lnx 0＝1，解得x 0＝e ．
因此直线l的方程为y＝1
e
x，即x－ey＝0．……………………6分
（2）考察函数H(x)＝g(x)－2a2f(x)＝x2－2a2lnx．
H′（
x)＝2x－2a2
x
＝
2(x－a)( x＋a)
x(x＞0)．
因为a＞0，故由H′（
x)＝0，解得x＝a．……………………8分
①当0＜a≤1时，H′（
x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，H(x)在区间[1，＋∞)上递增，所以H(x)min＝H(1)＝1＞0，所以φ(x)min＝1．……………………11分
②当a＞1时，H(x)在区间[1，a]上递减，在区间[a，＋∞)上递增，
所以H(x)min＝H(a)＝a2(1－2lna) ．
(ⅰ) 当1－2lna≤0，即a∈[e，＋∞) 时，H(x)min＝a2(1－2lna)≤0，又H(1)＝1＞0，所以φ(x)min＝0．
(ⅱ) 当1－2lna＞0，a∈(1，e) 时，H(x)min＝a2(1－2ln a)＞0，
所以φ(x)min＝a2(1－2ln a) ．
综上φ(x)min＝1，0＜a≤1，
a2(1－2lna)，1＜a＜e，
0，a≥e．
……………………16分
20．解：（1）设等比数列{a n}的公比为q．
因为数列{a n}为P(4)数列，所以a1＋a2＋a3＋a4＝0，从而1＋q＋q2＋q3＝0，即(1＋q)( 1＋q2)＝0．所以q＝－1．
又因为|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＝1，
所以4|a1|＝1，解得a1＝－1
4或
1
4
．……………………3分
（2）①设等差数列{a n}的公差为d．因为数列{a n}为P(2m＋3)数列，
所以a1＋a2＋…＋a2m＋3＝0，即(a1＋a2m＋3)(2m＋3)
2
＝0．
因为1＋2m＋3＝2(m＋2)，所以a1＋a2m＋3＝2a m＋2，
从而(2m＋3)a m＋2＝0，即a m＋2＝0．……………………6分又因为|a1|＋|a2|＋…＋|a2m＋3|＝1，且d＞0，
所以－(a1＋a2＋…＋a m＋1)＋(a m＋3＋a m＋4＋…＋a2m＋3)＝1，
即(m＋2)(m＋1)d＝1，解得d＝
1
(m＋1)(m＋2)
．。