2019年高考理科数学复习全国版提分宝典第22课 平面向量基本定理及坐标表示(共43张PPT)
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三 组 题讲 透
②⑤ （1）下面几种说法中，正确的是________．(填序号) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向 量的基底； ②零向量不可以作为基底中的向量； 第22课 ③ a e1 e2 ， R 可以表示平面内的所有向量； 第 （1） 题 ④若 e1，e2 是平面α内不共线的两个向量，则 e1－2e2 与4e2－ 2e1 P117 可作为表示平面α内所有向量的一组基底； ⑤ e1，e2是平面内不共线的两个向量，若 e1 e2 0，则λ=μ=0； ⑥同一向量在不同基底下的表示是相同的； ⑦若 e1，e2是平面α内不共线的两个向量，则对于平面α内的任意 向量a，使a = λe1 + μe2成立的实数对 ， 有无穷多个．
第22课
普查讲 22
一张图学透
平面向量基本定理及坐标表示
平面向量基本定理 平面向量的坐标表示 平面向量的坐标运算 平面向量共线的坐标表示 平面向量共线的应用 目录
三组题讲透
第（1）题 第（2）题 第（3）题 第（4）题 第（5）题 第（6）题 第（7）题 第（8）题 第（9）题
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一 张 图学 透
有且只有 一对实数 1 , 2 ， 使 a 1e1 2e2 .
a 1e1 2e2
将 平面中的任意向量 a 都可由 x , y唯一确定，有序实数对 x, y 叫做向量a的坐标.
i , j 作为基底向量
i , j 分别为与x 轴 、y 轴 方向相同的单位向量.
a xi yj
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（2）在平行四边形ABCD 中，F 是CD边的中点，AF与BD相交于E， 则 AE ( )
1 2 A. AB AD 3 3 1 4 C. AB AD 5 5 1 3 B. AB AD 4 4 2 3 D. AB AD 5 5
第22课 第 （2） 题 P118
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小积累
基底的“唯一”与“不唯一” “不唯一”： 只要同一平面内两个向量不共线，就可以 作为表示平面内所有向量的一组基底，对 基底的选取不唯一；
第22课 小积累 P118
“唯一”： 平面内任意向量a都可被这个平面内的一组基 底 e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的 表示是唯一的．
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AP t AB（其中 t 为实数）
OP 1 t OA tOB ，（其中 OA, OB 的系数之和为 1 ）
一张图学透 平面向量的 坐标表示
+ =1
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三 组 题讲 透
（1）下面几种说法中，正确的是________．(填序号) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向 量的基底； ②零向量不可以作为基底中的向量； 第22课 ③ a e1 e2 ， R 可以表示平面内的所有向量； 第 （1） 题 ④若 e1，e2 是平面α内不共线的两个向量，则 e1－2e2 与4e2－ 2e1 P117 可作为表示平面α内所有向量的一组基底； ⑤ e1，e2是平面内不共线的两个向量，若 e1 e2 0，则λ=μ=0； ⑥同一向量在不同基底下的表示是相同任意 向量a，使a = λe1 + μe2成立的实数对 ， 有无穷多个．
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解析：①错误：只要是不共线的一对向量就可以作为表示该平面内所 有向量的基底，基底的选取并不是唯一的； ②正确：零向量和任何向量都共线，与基底的定义不符；
③错误：根据平面向量基本定理可知，e1，e2 必须是不共线向量； 1 ④错误：因为 e1 2e2 = (4e2 2e1 )，所以向量 e1 2e2 ,4e2 2e1是 第22课 2 第 （1） 题 共线向量，不能作为表示平面α内所有向量的一组基底； P117 ⑤正确：因为e1，e2为一组不共线向量，若λe1 + μe2 = 0,即λe1=-μe2， 只有当λ=μ= 0时，才能成立； ⑥错误：基底不同，向量的表示也不同，当基底确定后，向量的表示 才是唯一的； ⑦错误：根据平面向量基本定理可知，实数对(λ，μ)应该只有唯一一 对．
第22课 第 （2） 题 P118
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（2）在平行四边形ABCD 中，F 是CD边的中点，AF与BD相交于E， 则 AE ( A )
1 2 A. AB AD 3 3 1 4 C. AB AD 5 5 1 3 B. AB AD 4 4 2 3 D. AB AD 5 5
a
x, y
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一 张 图学 透
x, y
已知 a x1 , y1 , b x2 , y2 , 则： a （ x1 , y1 ）； a b （x1 x2 ， y1 y2 ）.
( x2 x1 , y2 y1 ) x x y1x 0 1y 2 2 2y 1 0 . 1 y2 设 a x1 , y1 , b x2 , y2 , 其中 b 0 ，则 a∥b x
（2）在平行四边形ABCD 中，F 是CD边的中点，AF与BD相交于E， 则 AE ( ) 解析：如图，∵四边形ABCD是平行四边形， FD DE . ∴AB∥CD，∴ AB BE 1 又∵F是CD边的中点，∴ DE＝ DB ， 3 1 ∴ AE AD DE AD DB 3 1 1 2 AD AB AD AB AD . 3 3 3 故选A.
平面向量基本定理
如果 e1 , e2 是同一平面内的 两个 不共线 向量，那么对于 这一平面内的 任意 向量a,
基 底
e , e 不共线的向量 1 2 叫做表 我们把 示这一平面内所有向量的一组基底.
注意：
若 a 1e1 2e2 0 （其中 e1、e2 为基底向 量），则 1 =2 =0 . 一张图学透 平面向量基 本定理
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三 组 题讲 透
②⑤ （1）下面几种说法中，正确的是________．(填序号) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向 量的基底； ②零向量不可以作为基底中的向量； 第22课 ③ a e1 e2 ， R 可以表示平面内的所有向量； 第 （1） 题 ④若 e1，e2 是平面α内不共线的两个向量，则 e1－2e2 与4e2－ 2e1 P117 可作为表示平面α内所有向量的一组基底； ⑤ e1，e2是平面内不共线的两个向量，若 e1 e2 0，则λ=μ=0； ⑥同一向量在不同基底下的表示是相同的； ⑦若 e1，e2是平面α内不共线的两个向量，则对于平面α内的任意 向量a，使a = λe1 + μe2成立的实数对 ， 有无穷多个．
第22课
普查讲 22
一张图学透
平面向量基本定理及坐标表示
平面向量基本定理 平面向量的坐标表示 平面向量的坐标运算 平面向量共线的坐标表示 平面向量共线的应用 目录
三组题讲透
第（1）题 第（2）题 第（3）题 第（4）题 第（5）题 第（6）题 第（7）题 第（8）题 第（9）题
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一 张 图学 透
有且只有 一对实数 1 , 2 ， 使 a 1e1 2e2 .
a 1e1 2e2
将 平面中的任意向量 a 都可由 x , y唯一确定，有序实数对 x, y 叫做向量a的坐标.
i , j 作为基底向量
i , j 分别为与x 轴 、y 轴 方向相同的单位向量.
a xi yj
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（2）在平行四边形ABCD 中，F 是CD边的中点，AF与BD相交于E， 则 AE ( )
1 2 A. AB AD 3 3 1 4 C. AB AD 5 5 1 3 B. AB AD 4 4 2 3 D. AB AD 5 5
第22课 第 （2） 题 P118
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小积累
基底的“唯一”与“不唯一” “不唯一”： 只要同一平面内两个向量不共线，就可以 作为表示平面内所有向量的一组基底，对 基底的选取不唯一；
第22课 小积累 P118
“唯一”： 平面内任意向量a都可被这个平面内的一组基 底 e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的 表示是唯一的．
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AP t AB（其中 t 为实数）
OP 1 t OA tOB ，（其中 OA, OB 的系数之和为 1 ）
一张图学透 平面向量的 坐标表示
+ =1
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三 组 题讲 透
（1）下面几种说法中，正确的是________．(填序号) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向 量的基底； ②零向量不可以作为基底中的向量； 第22课 ③ a e1 e2 ， R 可以表示平面内的所有向量； 第 （1） 题 ④若 e1，e2 是平面α内不共线的两个向量，则 e1－2e2 与4e2－ 2e1 P117 可作为表示平面α内所有向量的一组基底； ⑤ e1，e2是平面内不共线的两个向量，若 e1 e2 0，则λ=μ=0； ⑥同一向量在不同基底下的表示是相同任意 向量a，使a = λe1 + μe2成立的实数对 ， 有无穷多个．
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解析：①错误：只要是不共线的一对向量就可以作为表示该平面内所 有向量的基底，基底的选取并不是唯一的； ②正确：零向量和任何向量都共线，与基底的定义不符；
③错误：根据平面向量基本定理可知，e1，e2 必须是不共线向量； 1 ④错误：因为 e1 2e2 = (4e2 2e1 )，所以向量 e1 2e2 ,4e2 2e1是 第22课 2 第 （1） 题 共线向量，不能作为表示平面α内所有向量的一组基底； P117 ⑤正确：因为e1，e2为一组不共线向量，若λe1 + μe2 = 0,即λe1=-μe2， 只有当λ=μ= 0时，才能成立； ⑥错误：基底不同，向量的表示也不同，当基底确定后，向量的表示 才是唯一的； ⑦错误：根据平面向量基本定理可知，实数对(λ，μ)应该只有唯一一 对．
第22课 第 （2） 题 P118
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（2）在平行四边形ABCD 中，F 是CD边的中点，AF与BD相交于E， 则 AE ( A )
1 2 A. AB AD 3 3 1 4 C. AB AD 5 5 1 3 B. AB AD 4 4 2 3 D. AB AD 5 5
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x, y
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一 张 图学 透
x, y
已知 a x1 , y1 , b x2 , y2 , 则： a （ x1 , y1 ）； a b （x1 x2 ， y1 y2 ）.
( x2 x1 , y2 y1 ) x x y1x 0 1y 2 2 2y 1 0 . 1 y2 设 a x1 , y1 , b x2 , y2 , 其中 b 0 ，则 a∥b x
（2）在平行四边形ABCD 中，F 是CD边的中点，AF与BD相交于E， 则 AE ( ) 解析：如图，∵四边形ABCD是平行四边形， FD DE . ∴AB∥CD，∴ AB BE 1 又∵F是CD边的中点，∴ DE＝ DB ， 3 1 ∴ AE AD DE AD DB 3 1 1 2 AD AB AD AB AD . 3 3 3 故选A.
平面向量基本定理
如果 e1 , e2 是同一平面内的 两个 不共线 向量，那么对于 这一平面内的 任意 向量a,
基 底
e , e 不共线的向量 1 2 叫做表 我们把 示这一平面内所有向量的一组基底.
注意：
若 a 1e1 2e2 0 （其中 e1、e2 为基底向 量），则 1 =2 =0 . 一张图学透 平面向量基 本定理