高中数学第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式课时素养评价(含解析)新人教A版必修4
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两角差的余弦公式
（15分钟30分)
1。
下列式子中，正确的个数为（)
①cos（α—β)=cos α-cos β；
②cos（α-β)=cos αcos β-sin αsin β；
③sin（α+45°）sin α+cos（α+45°）cos α=cos 45°。
A。
0 B。
1 C。
2 D。
3
【解析】选B.由两角差的余弦公式可知：①②均不正确,③正确。
2。
已知sin α—sin β=1-，cos α—cos β=，则cos(α-β）= （）A.—B。
—C。
D。
【解析】选D。
因为sin α-sin β=1-，
所以sin2α-2sin αsin β+sin2β=，①
因为cos α—cos β=，
所以cos2α—2cos αcos β+cos2β=,②
由①②两式相加得1—2cos（α—β）+1
=1-++，
所以—2cos（α-β）=—，
所以cos（α—β）=。
3。
已知△ABC的三个内角分别为A，B，C,若a=(cos A，sin A)，b=(cos B,sin B），且
a·b=1，则△ABC一定是（) A。
直角三角形B。
等腰三角形
C.等边三角形D。
等腰直角三角形
【解析】选B。
因为a·b=cos Acos B+sin Asin B
=cos （A-B)=1,且A,B，C是三角形的内角,所以A=B，即△ABC一定是等腰三角形。
4。
若x∈,且sin x=,则2cos+2cos x= 。
【解析】因为x∈［,π］，sin x=,所以cos x=—.
所以2cos+2cos x
=2+2cos x
=2+2cos x
=sin x+cos x=—=。
答案：
5。
（2020·葫芦岛高一检测）已知α,β∈,且sin α=，cos(α+β）=—，求
cos β的值.
【解析】因为α,β∈，所以0〈α+β〈π,
由cos（α+β）=—,得sin(α+β)=,
又sin α=，所以cos α=，
所以cos β=cos［（α+β）—α］=cos(α+β）cos α+sin（α+β)sin
α=×+×=.
（20分钟40分）
一、选择题(每小题5分，共20分）
1。
(2020·海淀高一检测)已知cos=,0〈θ<，则cos θ等于（) A。
B。
C。
D。
【解析】选C.因为θ∈，所以θ+∈。
所以sin=.
所以cos θ=cos=。
2。
已知锐角α，β满足cos α=,cos (α+β）=—,则cos （2π-β)的值为（) A.B。
—C。
D。
—
【解析】选A。
因为α,β为锐角,cos α=，cos（α+β）=—，所以sin α=,sin
(α+β)=，所以cos (2π—β)=cos β=cos［（α+β）—α］=cos (α+β)cosα+sin
（α+β)sin α=—×+×=。
3.若sin α=,α∈,则cos 的值为（)
A。
— B.- C.—D。
-
【解析】选B。
因为sin α=，α∈,
所以cos α=—=—=—,
所以cos =cos cos α+sin sin α，
=×+×=—。
4。
（2020·青岛高一检测）若cos（α—β)=,则（sin α+sinβ）2+（cos α+cosβ)2= ( ) A。
B。
-C。
D。
-
【解析】选A。
原式=2+2(sin αsin β+cos αcos β）
=2+2cos（α-β）=2+2×=。
二、填空题（每小题5分,共10分)
5。
若a=(cos α，sin β）,b=(cos β，sin α），0〈β〈α〈，且a·b=，则α-
β=。
【解析】a·b=cos α cos β+sin β sin α=cos(α-β）=.
因为0<β〈α〈，所以0〈α-β〈,所以α—β=。
答案:
6。
（2020·南阳高一检测）已知cos+sin α=，则cos的值
是.
【解析】cos+sin α=cos α+sin α
=，cos α+sin α=，
所以cos=cos α+sin α=.
答案：
三、解答题
7。
（10分)已知向量a=（sin θ，—2）与b=(1,cos θ)互相垂直,其中θ∈。
(1）求sin θ和cos θ的值。
（2)若5cos（θ-φ）=3cos φ，0〈φ〈,求角φ的值。
【解析】（1）因为a⊥b，所以a·b=sin θ—2cos θ=0,
即sin θ=2cos θ.又因为sin2θ+cos2θ=1,
所以4cos2θ+cos2θ=1,则cos2θ=,
sin2θ=.又因为θ∈,
所以sin θ=，cos θ=.
(2）因为5cos（θ—φ）=5（cos θcos φ+sin θsin φ)
=cos φ+2sin φ=3cos φ，
所以cos φ=sin φ,tan φ=1。
又0<φ〈，故φ=。