原创1：2.1.2 求曲线的方程

1 2
1
2
(x- ) ＋y ＝ (0<x≤1)．
2
4
P
x
O M C
斜边为定值
直角三角形
顶点的轨迹
跟踪训练
已知定长为6的线段，其端点A、B分别在x轴、y轴上移动，
线段AB的中点为M，求M点的轨迹方程．
解：根据直角三角形的性质可知
1
|OM|＝ |AB|＝3
2
所以M的轨迹为以原点O为圆心，
以3为半径的圆，
故M点的轨迹方程为x2＋y2＝9.
知识点三：代入法求曲线方程
已知动点M在曲线x2＋y2＝1上运动，M和定点B(3，0)
连线的中点为P，求P点的轨迹方程．
主动点在已知
曲线上运动
【解析】
设P(x，y)，M(x0，y0)
M
∵P为MB的中点
∴
0 + 3
0 = 2 + 3
=
2 即 ቊ = 2
0
x2＋y2＝1(y≠0)．
知识点二:定义法求轨迹方程
已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的弦OQ，
求所作弦的中点P的轨迹方程．
弦的中点
【解析】
的几何性质
设P(x,y)为其中点，
y
Q
则CP⊥OQ，设M为OC的中点，
1
则M的坐标为( , 0).
2
∵∠OPC＝90°，
∴动点P在以点M为圆心，
OC为直径的圆上，由圆的方程得
BC边上的中线的长度为5，则A点的轨迹方程是( D )
A．x2＋y2＝5
B．x2＋y2＝25
C．x2＋y2＝5(y≠0)
D．x2＋y2＝25(y≠0)再见2.定义法求轨迹方程：
将形成轨迹的动点满足的条件进行合理转化，
结合已知的轨迹定义，发现动点形成的是何轨迹.
3.代入法求轨迹方程：
必有多个动点，其中一个点在已知轨迹上运动，
另一动点随着其运动而运动，
明确它们的坐标关系时解决问题的关键.
当堂训练
在△ABC中，若B、C的坐标分别是(－2,0)、(2,0)，
第二章 圆锥曲线与方程
§2.1.2 求曲线的方程
高中数学选修2-1·精品课件
引入课题
解析几何研究的主要问题
曲线的方程
(1)根据已知条件，求出表示___________；
性质
(2)通过曲线的方程，研究曲线的_____．
知识点一：直接法求轨迹方程
已知一条直线l和它上方的一个点F， 定点、定直线
点F到l的距离是2. 一条曲线也在l的上方， 曲线的范围
以线段AB的垂直平分线为y轴，
O
B x
A
建立坐标系xOy，则A(-1,-0),B(1,0)
设C(x,y),则 = ( + 1, ),
= ( − 1, )
由已知， ∙ = 0
代入得： (x＋1)(x－1)＋y2＝0
化简得x2＋y2＝1
由已知A、B、C不共线，
∴y≠0，
∴点C的轨迹方程为
它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2，
建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.
【解析】
何为适当？
①以l所在直线为x轴，
过F垂直于l的直线为y轴，
建立坐标系xOy,则F(0,2)
y
F
O
形成曲线的动点
满足的几何条件
l
x
知识点一：直接法求轨迹方程
y
②设M(x,y)为曲线上任意一点
③点M满足的限制条件为
0 + 0
=
2
坐标关系
y
P
O
又∵M在曲线x2＋y2＝1上，
∴(2x－3)2＋4y2＝1
∴P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
Bx
从动点在未知
曲线上运动
跟踪训练
已知△ABC的顶点A(－3，0)，B(0，－3)，另一个顶点C
在曲线x2＋y2＝9上运动．求△ABC重心M的轨迹方程．
解：设△ABC顶点C(x0，y0)，则x02＋y02＝9.
|MF|-|ME|=2
F
O
④将点M的坐标代入条件，得
2
+ (
− 2)2 −
⑤化简，得： =
=2
1 2

8
由于曲线在x轴的上方，∴y＞0
∴所求曲线方程 =
1 2
(x≠0)
8
移项，平方
M
E
x
跟踪训练
已知在直角三角形ABC中，角C为直角，|AB|=2，
求满足条件的点C的轨迹方程．
y
C
解：以AB所在直线为x轴，
设△ABC重心M(x，y)．
由三角形重心坐标公式得：
0 − 3
=
3
0 − 3
=
3
即 ቊ0 = 3 + 3
0 = 3 + 3
代入①式得：(3x＋3)2＋(3y＋3)2＝9，
化简得：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1.
此即为△ABC重心M的轨迹方程．
归纳小结
1.直接法求轨迹方程：建、设、限、代、化