圆的一般方程教案正式
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课题
圆的一般方程
课型
新
授课课时
1课时
授课时长
45分钟
授课题目(章，节)
第四章第一节4.2.1圆的一般方程
教材及参考书目
人教A版高中数学实验教科书必修2
●教学目的与要求
一、知识目标：(1)理解记忆圆的一般方程的代数特征。
(2)掌握方程 表示圆的条件。
二、能力目标：(1)能应用配方Fra bibliotek将圆的一般方程化为圆的标准方程。
⑵写出适合条件的点M的集合.
⑶列出方程 .
⑷化方程 为最简形式.
【课堂练习】
1 求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长
⑴ ⑵
⑶
2 判断下列方程分别表示什么图形
⑴ ⑵
⑶
⑴进一步熟悉圆的一般方程.
⑵掌握运用代入法求解曲线的轨迹方程的步骤.
⑶培养学生运用知识的能力.
⑴总结归纳，把方法系统化，形成能力.
⑴让学生熟悉巩固知识，运用方法，另外还可让学生上台演习各自解题过程.
4、代入法求解曲线的轨迹方程.
五、分层作业，巩固提高
必做题：教材134页3、4
选做题：
1．已知点M与两个定点O(0,0)、A(3,0)的距离的比为 ，求点M的轨迹方程。
【辅助手段】多媒体课件幻灯片展示作业
问题.
⑵进一步巩固代入法等数学方法，提高学生的思维能力和运用知识解答问题的能力.
⑴有利于学生理清本节课的重难点，深化对圆的一般方程的理解，帮助学生从感性认识上升为理性认识.
【归纳总结】圆的一般方程的特点：
⑴① 和 的系数相同，都等于1。
②没有 这样的二次项。
⑵圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，就能确定圆的一般方程。
⑶圆的一般方程是一种特殊的二元一次方程，代数特征明显，圆的标准方程则是几何特征明显。
【师生互动】学生小组讨论交流，老师进行课堂巡视指导，引导学生归纳。最后师生共同总结出圆的一般方程的特点。
【辅助手段】板书配方和展开过程，多媒体课件幻灯片展示
三、例题讲解，对应练习
例1判断下列二元一次方程是否表示圆的方程如果是，请求出圆的圆心及半径。
⑴
⑵
分析：方法1利用配方法将其化为圆的标准形式.
方法2应用圆的一般方程来解，这里D=-1,E=3,F= .
例2 求过三点A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)的圆的方程，并求这个
4.2.1圆的一般方程
教学基本内容
设计意图
一、复习提问，引入课题
问题：求过三点(0,0)，，(4,2)的圆的方程
【师生互动】学生在教师指导下展开小组讨论，回顾旧知识，最后得出运用圆的知识很难解决问题。因为圆的标准方程很麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性。于是老师提问，有没有其他的解决方法呢带着这个问题我们共同研究圆的一般方程。
【辅助手段】：多媒体课件幻灯片展示问题。
二、探索研究，讲授新课
请同学们写出圆的标准方程：
、圆心(a，b)、半径r
把圆的标准方程展开，并整理:
取D=-2a E=-2b F=
这个方程就是圆的方程.
反过来给出一个形如 的方程，它表示的曲线一定是圆吗
把 配方得：
【师生互动】配方和展开由学生完成，教师最后展示结果。
【归纳总结】应用待定系数法的一般步骤
⑴根据条件，选择是标准方程还是一般方程。
⑵根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组。
⑶解出a、b、r或D、E、F并将其代入其相关方程。
例3 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆上
运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
分析：如图点A运动引起M运动，而点A在圆上运动点A
【教师讲解】：设点M的坐标是( , )，点A的坐标是( , )，由于点B的坐标是(4,3)，且M是线段AB的中点，所以有：
，
于是有 ，
因为点A在圆 上运动，所以点A的坐标满足方程
即
把①代入②，得:
整理，得:
所以，点M的轨迹是以( ， )为圆心，半径是1的圆.
【归纳总结】运用代入法求轨迹方程的步骤
⑴建立适当的坐标系，用有序数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标.
⑶通过对一个方程的讨论，得出圆的一般方程，并指出不是
所有的方程都可以
表示圆。使得学生的认识不断加深，同时
教学基本内容
设计意图
⑵当 =0时，方程只有实数解 ,
即只表示一个点( , ).
⑶当 ﹤0时，方程没有实数解，因此它不表示任何图形.
【师生互动】学生在教师的引导下对方程分类讨论，最后师生共同总结出3种情况，即圆的一般方程表示圆的条件。
教学基本内容
设计意图
一般方程则只需确定三个系数，而条件给出了三个坐标，不妨试着先写出圆的一般方程。
【教师讲解】设圆的方程为
∵A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解，代入方程得到：
即D=-8 E=6 F=O
∴所求的方程为
=5、 =4、 =-3
∴圆心坐标为(4,-3)
或将 化为圆的标准方程：
(2)能应用待定系数法求圆的一般方程。
(3)能应用代入法求一般曲线的方程。
(4)培养探索发现及分析解决问题的能力。
三、情感目标：(1)培养学生勇于探索的精神。
(2)渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质。
●教学重点
圆的一般方程的代数特征、一般方程与标准方程的互化、待定系数法求圆的一般方程
这样既可及时反馈
学生知识的掌握情况，又可以纠正学生
在解题过程中出现
的各种问题，如方法错误、书写不规范等
教学基本内容
设计意图
3 如图，等腰梯形ABCD的底边长分别为6和4，高为3，
求这个等腰梯形的外接圆的方程，并求出圆心坐标和半径.
提示：待定系数法的应用.
【师生互动】⑴第一二题练习课让学生通过抢答的形式进行.
⑵第三题练习是待定系数法方法的运用，教师可叫几个同学上黑板进行板演，教师适当点评，最后教师讲解解题过程.
【辅助手段】多媒体课件幻灯片展示，学生自练或板演，教师讲评解题过程.
四、课堂小结，反馈回授
1、对方程 的讨论和圆的一般方程的代数特征理解.
2、圆的一般方程和标准方程的互化.
3、待定系数法求解圆的一般方程.
圆的半径长和圆心坐标。
分析：根据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的
培养思维的严谨性.
⑴归纳知识，有利于学生理清知识脉络.
⑵强调的概念的本质，让学生理解记忆圆的一般方程的代数特征.
⑶深化学生对圆的一般方程的理解.
⑴同步练习，检测学生的掌握情况，及时回授，强化知识点的应用.
⑵加深对所学知识的理解应用，使学生掌握基础知识，有利于学生更高思维能力的培养.
问题：这个方程是不是表示圆
⑴当 ﹥0时，方程表示以(- ， )为圆心，以
为半径的圆.
⑴以复习回顾的形式提出新难题，引出新课程，指出本节课的主要内容.
⑵质疑提问，小组讨论，提高了学生学习的兴趣.
⑴学生动笔、思考，老师引导、启发，让学生学会独立分析问题，解决问题，初步体会数学的魅力.
⑵引导学生自己探索寻找圆的一般方程在什么时候表示圆，形成分类讨论、等价转化等数学思想，培养学生思维的多样性、创造性，体验成功解决问题的喜悦.
⑵有利于学生把知识转化为能力，形成数学方法和数学思维.
⑶启发引导学生进行归纳整理，培养学生宏观掌握知识的能力.
⑴必做题与选做题
相结合，面向全体学
生，激发学生兴趣.
教学基本内容
设计意图
六、板书设计
课题
标准方程的展开
一般方程的配方
一般方程什么时候表示圆的讨论
例1
例2
例3
课堂小结
课后作业
的步骤
●教学难点
圆的一般方程和代入法的掌握、应用
●教学方法
师生合作式探究 诱导启发式教学
●教学辅助
多媒体教学平台CAI课件
●教学过程与时间分配
一、复习提问，引入课题（3 分钟）
二、探索研究，讲授新课（22分钟）
三、例题讲解，对应练习（16分钟）
四、课堂小结，反馈回授（3 分钟）
五、分层作业，巩固提高（1 分钟）
的坐标满足方程 ，建立点M与点A的关系，
就可以建立点M的坐标满足的条件，也就出了M的方程。
⑴进一步熟悉圆的一般方程.
⑵通过本题的练习，使学生掌握待定系数法求解圆的一般方程的步骤.
⑴总结题目方法，提炼出解决一般问题的方法，形成类型题的方法.
⑵强调方法的本质，加深学生对方法的理解应用.
教学基本内容
设计意图
圆的一般方程
课型
新
授课课时
1课时
授课时长
45分钟
授课题目(章，节)
第四章第一节4.2.1圆的一般方程
教材及参考书目
人教A版高中数学实验教科书必修2
●教学目的与要求
一、知识目标：(1)理解记忆圆的一般方程的代数特征。
(2)掌握方程 表示圆的条件。
二、能力目标：(1)能应用配方Fra bibliotek将圆的一般方程化为圆的标准方程。
⑵写出适合条件的点M的集合.
⑶列出方程 .
⑷化方程 为最简形式.
【课堂练习】
1 求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长
⑴ ⑵
⑶
2 判断下列方程分别表示什么图形
⑴ ⑵
⑶
⑴进一步熟悉圆的一般方程.
⑵掌握运用代入法求解曲线的轨迹方程的步骤.
⑶培养学生运用知识的能力.
⑴总结归纳，把方法系统化，形成能力.
⑴让学生熟悉巩固知识，运用方法，另外还可让学生上台演习各自解题过程.
4、代入法求解曲线的轨迹方程.
五、分层作业，巩固提高
必做题：教材134页3、4
选做题：
1．已知点M与两个定点O(0,0)、A(3,0)的距离的比为 ，求点M的轨迹方程。
【辅助手段】多媒体课件幻灯片展示作业
问题.
⑵进一步巩固代入法等数学方法，提高学生的思维能力和运用知识解答问题的能力.
⑴有利于学生理清本节课的重难点，深化对圆的一般方程的理解，帮助学生从感性认识上升为理性认识.
【归纳总结】圆的一般方程的特点：
⑴① 和 的系数相同，都等于1。
②没有 这样的二次项。
⑵圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，就能确定圆的一般方程。
⑶圆的一般方程是一种特殊的二元一次方程，代数特征明显，圆的标准方程则是几何特征明显。
【师生互动】学生小组讨论交流，老师进行课堂巡视指导，引导学生归纳。最后师生共同总结出圆的一般方程的特点。
【辅助手段】板书配方和展开过程，多媒体课件幻灯片展示
三、例题讲解，对应练习
例1判断下列二元一次方程是否表示圆的方程如果是，请求出圆的圆心及半径。
⑴
⑵
分析：方法1利用配方法将其化为圆的标准形式.
方法2应用圆的一般方程来解，这里D=-1,E=3,F= .
例2 求过三点A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)的圆的方程，并求这个
4.2.1圆的一般方程
教学基本内容
设计意图
一、复习提问，引入课题
问题：求过三点(0,0)，，(4,2)的圆的方程
【师生互动】学生在教师指导下展开小组讨论，回顾旧知识，最后得出运用圆的知识很难解决问题。因为圆的标准方程很麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性。于是老师提问，有没有其他的解决方法呢带着这个问题我们共同研究圆的一般方程。
【辅助手段】：多媒体课件幻灯片展示问题。
二、探索研究，讲授新课
请同学们写出圆的标准方程：
、圆心(a，b)、半径r
把圆的标准方程展开，并整理:
取D=-2a E=-2b F=
这个方程就是圆的方程.
反过来给出一个形如 的方程，它表示的曲线一定是圆吗
把 配方得：
【师生互动】配方和展开由学生完成，教师最后展示结果。
【归纳总结】应用待定系数法的一般步骤
⑴根据条件，选择是标准方程还是一般方程。
⑵根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组。
⑶解出a、b、r或D、E、F并将其代入其相关方程。
例3 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆上
运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
分析：如图点A运动引起M运动，而点A在圆上运动点A
【教师讲解】：设点M的坐标是( , )，点A的坐标是( , )，由于点B的坐标是(4,3)，且M是线段AB的中点，所以有：
，
于是有 ，
因为点A在圆 上运动，所以点A的坐标满足方程
即
把①代入②，得:
整理，得:
所以，点M的轨迹是以( ， )为圆心，半径是1的圆.
【归纳总结】运用代入法求轨迹方程的步骤
⑴建立适当的坐标系，用有序数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标.
⑶通过对一个方程的讨论，得出圆的一般方程，并指出不是
所有的方程都可以
表示圆。使得学生的认识不断加深，同时
教学基本内容
设计意图
⑵当 =0时，方程只有实数解 ,
即只表示一个点( , ).
⑶当 ﹤0时，方程没有实数解，因此它不表示任何图形.
【师生互动】学生在教师的引导下对方程分类讨论，最后师生共同总结出3种情况，即圆的一般方程表示圆的条件。
教学基本内容
设计意图
一般方程则只需确定三个系数，而条件给出了三个坐标，不妨试着先写出圆的一般方程。
【教师讲解】设圆的方程为
∵A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解，代入方程得到：
即D=-8 E=6 F=O
∴所求的方程为
=5、 =4、 =-3
∴圆心坐标为(4,-3)
或将 化为圆的标准方程：
(2)能应用待定系数法求圆的一般方程。
(3)能应用代入法求一般曲线的方程。
(4)培养探索发现及分析解决问题的能力。
三、情感目标：(1)培养学生勇于探索的精神。
(2)渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质。
●教学重点
圆的一般方程的代数特征、一般方程与标准方程的互化、待定系数法求圆的一般方程
这样既可及时反馈
学生知识的掌握情况，又可以纠正学生
在解题过程中出现
的各种问题，如方法错误、书写不规范等
教学基本内容
设计意图
3 如图，等腰梯形ABCD的底边长分别为6和4，高为3，
求这个等腰梯形的外接圆的方程，并求出圆心坐标和半径.
提示：待定系数法的应用.
【师生互动】⑴第一二题练习课让学生通过抢答的形式进行.
⑵第三题练习是待定系数法方法的运用，教师可叫几个同学上黑板进行板演，教师适当点评，最后教师讲解解题过程.
【辅助手段】多媒体课件幻灯片展示，学生自练或板演，教师讲评解题过程.
四、课堂小结，反馈回授
1、对方程 的讨论和圆的一般方程的代数特征理解.
2、圆的一般方程和标准方程的互化.
3、待定系数法求解圆的一般方程.
圆的半径长和圆心坐标。
分析：根据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的
培养思维的严谨性.
⑴归纳知识，有利于学生理清知识脉络.
⑵强调的概念的本质，让学生理解记忆圆的一般方程的代数特征.
⑶深化学生对圆的一般方程的理解.
⑴同步练习，检测学生的掌握情况，及时回授，强化知识点的应用.
⑵加深对所学知识的理解应用，使学生掌握基础知识，有利于学生更高思维能力的培养.
问题：这个方程是不是表示圆
⑴当 ﹥0时，方程表示以(- ， )为圆心，以
为半径的圆.
⑴以复习回顾的形式提出新难题，引出新课程，指出本节课的主要内容.
⑵质疑提问，小组讨论，提高了学生学习的兴趣.
⑴学生动笔、思考，老师引导、启发，让学生学会独立分析问题，解决问题，初步体会数学的魅力.
⑵引导学生自己探索寻找圆的一般方程在什么时候表示圆，形成分类讨论、等价转化等数学思想，培养学生思维的多样性、创造性，体验成功解决问题的喜悦.
⑵有利于学生把知识转化为能力，形成数学方法和数学思维.
⑶启发引导学生进行归纳整理，培养学生宏观掌握知识的能力.
⑴必做题与选做题
相结合，面向全体学
生，激发学生兴趣.
教学基本内容
设计意图
六、板书设计
课题
标准方程的展开
一般方程的配方
一般方程什么时候表示圆的讨论
例1
例2
例3
课堂小结
课后作业
的步骤
●教学难点
圆的一般方程和代入法的掌握、应用
●教学方法
师生合作式探究 诱导启发式教学
●教学辅助
多媒体教学平台CAI课件
●教学过程与时间分配
一、复习提问，引入课题（3 分钟）
二、探索研究，讲授新课（22分钟）
三、例题讲解，对应练习（16分钟）
四、课堂小结，反馈回授（3 分钟）
五、分层作业，巩固提高（1 分钟）
的坐标满足方程 ，建立点M与点A的关系，
就可以建立点M的坐标满足的条件，也就出了M的方程。
⑴进一步熟悉圆的一般方程.
⑵通过本题的练习，使学生掌握待定系数法求解圆的一般方程的步骤.
⑴总结题目方法，提炼出解决一般问题的方法，形成类型题的方法.
⑵强调方法的本质，加深学生对方法的理解应用.
教学基本内容
设计意图