北师大版数学八年级上册第一章勾股定理单元测试题

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯
北师版数学八年级上册第一章勾股定理单元测试题
一、选择题（每题3分，共12题，满分36分）
1. （2019•渝北区改编）如果下列各组数是三角形的三边，则能组成直角三角形的是（）
A．6,10，8 B．1，3，4 C．2，3，6 D．4，5，6
2. （2018•滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
3.（2019•毕节改编）如图1，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=3，EC=5，那么正方形ABCD的面积为（）
A．9B．16 C．25D．4
4. （2019•咸宁）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（）
5.（2019•宁波）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图2，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图3的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和
6. （2019•益阳）已知M 、N 是线段AB 上的两点，AM=MN=2，NB=1，以点A 为圆
心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ， 则△ABC 一定是 （ ） A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
7.（2020•河北省）如图5，从笔直的公路l 旁一点P 出发，向西走6km 到达l ；从P 出发向北走6km 也到达l ．下列说法错误的是 （ ） A ．从点P 向北偏西45°走3km 到达l
B ．公路l 的走向是南偏西45°
C ．公路l 的走向是北偏东45°
D ．从点P 向北走3km 后，再向西走3km 到达l
8. (2019黑龙江大庆)我国古代数学家赵爽的"勾股方圆图"是由四个全等的直角三 角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图6所示).如果大正方形的面积是13, 小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么2
()a b 的值是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9.如图7，古埃及人用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结合第13个结，两个助手分别握住第4个结合第8个结，拉紧绳子，得到了一个三角形，这个三角形的形状是 （ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
10. 如图8，在正方形ABCD中，AB=4,AE=2,DF=1,则图中直角三角形的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个
11. 如图9，一座城墙高11.7米，墙外一条宽为9米的护城河，为攻破城池，需要攻城的云梯，云梯的长至少为（）时，能到达城墙的顶端.
A．13米B．14.77米C．15米D．18米
12.如图10，BC=3，AB=4，AF=12，则正方形CDEF的面积为（）
A．13 B．15 C．169 D．225
二、填空题（每题3分，共7题，满分21分）
13.（2019•西藏）若实数m、n满足|m﹣3|+|n-4|0，且m、n恰好是直角三角形的两条边，
则该直角三角形的斜边长为．
14. （2020•湖北省黄冈市）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：”今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈＝10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图11，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是尺．
15. (2020•江苏省扬州市)《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈(1丈＝10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面尺高．
16.如图12,将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)
得到AE,直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF,连接EF,若AB=12,AC=5,且α+β=∠B,则EF=________.
17. （2019•邵阳）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽
弦图”．如图13，设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面积是．
18. （2019•南京）无盖圆柱形杯子的展开图如图14所示．将一根长为20cm的细木筷斜放
在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 cm．
19.（2020•通辽市）如图15，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P在斜边AB上，以PC
PQ三者之间的数量关系为直角边作等腰直角三角形PCQ, ∠PCQ=90°，则2
PB,2
PA,2
为．
三、解答题（满分43分）
20.（满分6分）判断下列三角形的形状
（1）a=4,b=5,c=3；（2）a=4,b=4,2c=32.
21. （满分5分）如图16，在△ABC中，AC=BC=10，BC=12.求△ABC的面积.
22. （满分6分）（2019•河北）已知：整式A=222(1)(2)n n -+，整式B ＞0． 尝试化简整式A ．发现 A=2B ，求整式B ．
联想 由上可知，2B =222(1)(2)n n -+，当n ＞1时，2
1n -，2n ，B 为直角三角形的三边长，如图17．填写下表中B 的值：
23. （满分5分）（2020•北京）如图18所示的网格是正方形网格，求∠PAB+∠PBA 的度数.（点A ，B ，P 是网格线交点）.
24. （满分6分）如图19，一架云梯AB长为25米，斜靠在一面墙上，云梯底端离墙距离BE=7米.
（1）求这架云梯的顶端距离地面有有多高？
（2）如果云梯的顶端下滑4米到C，此时云梯长为CD，那么它的底端在水平方向也滑动了4米吗？
25. （满分8分）（2019•湖南长沙）如图20，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE=CF，AF与BE相交于点G．
（1）求证：BE=AF；（2）若AB=4，DE=1，求AG的长．
26. （满分8分）
（2019，四川巴中）如图21，等腰直角三角板如图5放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A.B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．
①求证：EC=BD；②若设△AEC三边分别为a.b.c，利用此图证明勾股定理．
参考答案： 一、选择题 1. A 2. A 3. B 4.B 5. C 6.B 7.A 8.A 9.B 10. C 11. B 12.C
二、填空题（每题3分，共7题，满分21分） 13.解：5或4． 14. 12 15. 4.55． 16. 13 17. 4 18. 5
19. 2
2
2
PA PB PQ +=
三、解答题（满分43分）
20.解：（1）直角三角形，理由如下：
因为2
a +2
c =2
2
2
2
435b +==，所以这个三角形为直角三角形； （2）等腰直角三角形，理由如下：
因为2
a +2
b =2
2
2
4432c +==，所以这个三角形为直角三角形，因为a=b=4, 所以三角形为等腰直角三角形.
21. 解：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，因为AC=BC ，所以DB=DC=1
2
BC=6，
在直角三角形ABD 中，根据勾股定理，得，
所以△ABC 的面积为：12BC ×AD=1
2
×12×8=48.
22. 解：A=222(1)(2)n n -+=422214n n n -++ =42
21n n ++=22(1)n +， ∵A =2B ，B ＞0，∴B =2
1n +，
当2n=8时，n=4，∴21n +=241+=15；当21n -=35时，2
1n +＝37． ∴分别填：15；37.
23. 解：如图，延长AP 至C ，连结BC.设图中小正方形的边长为1，由勾股定理得
222125PC =+=，222125BC =+=，2221310PB =+=；∴222
,PC BC PB PC BC +==且.
即△PBC为等腰直角三角形，∴∠BPC=45°.由三角形外角的性质得
45
PAB PBA MPC
∠∠=∠=︒
＋.
24. 解：
（1）根据题意，得AB=25,BE=7，在直角三角形ABE中，根据勾股定理，得22222
257
AE AB BE
=-=-=2
24，所以AE=24即梯子顶端距离地面的高度为24米；（2）根据题意，得CE=AE-AC=24-4=20，在直角三角形CDE中，根据勾股定理，得22222
2520
ED CD CE
=-=-=2
15，所以DE=15（米），所以BD=DE-BE=15-7=8（米），
所以它的底端在水平方向滑动了8米，不是4米.
25.解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，
∵DE＝CF，∴AE＝DF，
在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴BE＝AF；
（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF，∴∠EBA＝∠FAD，
∴∠GAE+∠AEG＝90°，∴∠AGE＝90°，∵AB＝4，DE＝1，
∴AE＝3，∴BE＝＝＝5，
在Rt△ABE中，AB×AE＝BE×AG，∴AG＝＝．
26. 解：①证明：因为∠ACB=90°，所以∠ACE+∠BCD=90°．因为∠ACE+∠CAE=90°，
所以∠CAE=∠BCD．在△AEC与△BCD中，
CEA BDC CAE BCD AC BC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
,所以△CAE≌△BCD（AAS）．所以EC=BD；
②解：由①知：BD=CE=a ，CD=AE=b ，所以1()()2AEDB S a b a b =
++梯形=212a +ab+21b 2, 因为AEC ABC BCD AEDB S S
S S =++梯形=12ab+12ab+212c =ab+212c , 所以
212a +ab+21b 2=ab+212
c ,整理，得222a b c +=.
一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。

这位习惯观察思考的人，突然，对主人家地面上一块块漂亮的正方形大理石感兴趣。

他没有心思听别人闲聊，沉思于脚下排列规则，大小如一的大理石彼此间产生的数的关系中。

他越想越兴奋，完全被自己的思考迷住，索性蹲到地上，拿出笔尺。

在4块大理石拼成的大正方上，均以每块大理石的对角线为边，画出一个新的正方形，他发现这个正方形的面积正好等于2块大理石的面积;他又以2块大理石组成的矩形对角线为边，画成一个更大的正方形，而这个正方形正好等于5块大理石的面积。

于是，毕达哥拉斯根据自己的推算得出结果：直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和。

著名的毕达哥拉斯定理就这样产生了。

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