统编版2020届高考数学一轮复习 第七章 不等式 推理与证明 课时跟踪训练35 一元二次不等式及其解法 文

课时跟踪训练(三十五) 一元二次不等式及其解法
一、选择题
1．(2017·河北重点中学一模)设集合M ＝{x |x 2
－2x －3<0}，N ＝{x |log 2x >0}，则M ∩N 等于( )
A ．(－1,1)
B ．(1,3)
C ．(0,1)
D ．(－1,0)
[解析] 解x 2
－2x －3<0，得－1<x <3，由log 2x >0，得x >1.所以M ＝{x |－1<x <3}，N ＝{x |x >1}，所以M ∩N ＝{x |1<x <3}，选B.
[答案] B
2．(2018·宁夏银川检测)若集合A ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x
x －1≤0，B ＝{x |x 2<2x }，则A ∩B ＝( ) A ．{x |0<x <1} B ．{x |0≤x <1} C ．{x |0<x ≤1}
D ．{x |0≤x ≤1}
[解析] 集合A ＝{x |0≤x <1}，集合B ＝{x |0<x <2}，则A ∩B ＝{x |0<x <1}，故选A. [答案] A
3．若一元二次不等式2kx 2
＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )
A ．(－3,0)
B ．[－3,0]
C ．[－3,0)
D ．(－3,0]
[解析] 由题意可得⎩
⎪⎨⎪
⎧
k <0，Δ＝k 2
－8k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<k <0，故选A.
[答案] A
4．若存在实数x ∈[2,4]，使x 2
－2x ＋5－m <0成立，则m 的取值范围为( ) A ．(13，＋∞) B ．(5，＋∞) C ．(4，＋∞)
D ．(－∞，13)
[解析] m >x 2
－2x ＋5，设f (x )＝x 2
－2x ＋5＝(x －1)2
＋4，x ∈[2,4]，当x ＝2时f (x )min
＝5，∃x ∈[2,4]使x 2
－2x ＋5－m <0成立，即m >f (x )min ，∴m >5.故选B.
[答案] B
5．不等式(ax －2)(x －1)≥0(a <0)的解集为( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2a ，1 B.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫1，2a
C.⎝
⎛⎦
⎥⎤－∞，2a ∪[1，＋∞)
D ．(－∞，1]∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫2a
，＋∞
[解析] 因为a <0，所以2a
<0，所以原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2a ，1，故选A.
[答案] A
6．(2018·河北邯郸一中等校期中)若不等式ax 2
－bx ＋c >0的解集是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，2，则以下
结论中：①a >0；②b <0；③c >0；④a ＋b ＋c >0；⑤a －b ＋c >0，正确的是( )
A ．①②⑤
B ．①③⑤
C ．②③⑤
D ．③④⑤
[解析] ax 2－bx ＋c >0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，故a <0，且ax 2
－bx ＋c ＝0的两根为－12，2.
由根与系数的关系得2－12＝b a >0,2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝c
a
<0，故b <0，c >0.因此，②③正确，①错误．设
f (x )＝ax 2－bx ＋c ，根据f (－1)<0，f (1)>0，可知a ＋b ＋c <0，a －b ＋c >0，故④错误，⑤
正确．
[答案] C 二、填空题
7．(2017·山东烟台联考)不等式x >1
x
的解集为________．
[解析] 当x >0时，原不等式等价于x 2>1，解得x >1；当x <0时，原不等式等价于x 2
<1，解得－1<x <0.所以不等式x >1
x
的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．
[答案] (－1,0)∪(1，＋∞) 8．函数y ＝
log
13
4x 2
－3x 的定义域为________． [解析] 函数y ＝log 13
4x 2
－3x 的定义域应保证满足0<4x 2
－3x ≤1，解得－
14
≤x <0或3
4
<x ≤1.
[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤34，1 9．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，＋∞，则a ＝________.
[解析]
ax －1
x ＋1
<0⇔(ax －1)(x ＋1)<0， 根据解集的结构可知，a <0且1a ＝－1
2
，∴a ＝－2.
[答案] －2 三、解答题
10．已知f (x )＝－3x 2
＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；
(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． [解] (1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2
＋6a ＋3， ∴原不等式可化为a 2
－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋2 3.
∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．
(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2
＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，
等价于⎩⎪⎨⎪⎧
－1＋3＝a 6－a
3
，－1×3＝－6－b
3
，解得⎩⎨
⎧
a ＝3±3，
b ＝－3.
[能力提升]
11．(2017·广东惠州调研)关于x 的不等式ax －b >0的解集是⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞，则关于x 的不等式ax －2b
－x ＋5
>0的解集是( )
A ．(1,5)
B ．(1，＋∞)
C ．(－∞，5)
D ．(－∞，1)∪(5，＋∞)
[解析] 因为不等式ax －b >0的解集是⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞，所以a >0，且a －2b ＝0，所以不等式
ax －2b －x ＋5>0等价于x －1
－x ＋5
>0，等价于(x －1)(x －5)<0，解得1<x <5，故选A. [答案] A
12．(2017·河南洛阳诊断)若不等式x 2
＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范
围是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－235，＋∞
B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－235，1
C ．(1，＋∞)
D.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－235
[解析] 由Δ＝a 2
＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x 1x 2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要
条件是f (5)>0，解得a >－23
5
，故选A.
[答案] A
13．(2017·重庆凤鸣山中学月考)若不存在整数x 满足不等式(kx －k 2
－4)(x －4)<0，则实数k 的取值范围是________．
[解析] 容易判断k ＝0或k <0时，均不符合题意，所以k >0.所以原不等式即为
k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k 2＋4k (x －4)<0，等价于⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －k 2＋4k (x －4)<0依题意应有3≤k 2
＋4k ≤5且k >0，所以1≤k ≤4.
[答案] [1,4]
14．若不等式x 2
＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立，则x 的取值范围是________． [解析] 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式 (x －3)a ＋x 2
－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2
－6x ＋9. 因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以
①若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．
②若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨
⎪⎧
f
－1>0，f 1>0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－7x ＋12>0，
x 2
－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.
[答案] (－∞，2)∪(4，＋∞)
15．(2017·黑龙江虎林一中期中)已知f (x )＝2x 2
＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)．
(1)求f (x )的解析式；
(2)若对于任意的x ∈[－1,1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，求t 的取值范围． [解] (1)f (x )＝2x 2
＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，即2x 2
＋bx ＋c <0的解集是(0,5)，∴0和5是方程2x 2
＋bx ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系知，－b 2＝5，c
2＝0，
∴b ＝－10，c ＝0，f (x )＝2x 2－10x .
(2)f (x )＋t ≤2恒成立等价于2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立，∴2x 2
－10x ＋t －2的最大值小于或等于0.设g (x )＝2x 2
－10x ＋t －2，则由二次函数的图象可知g (x )＝2x 2
－10x ＋t －2在区间[－1,1]上为减函数，∴g (x )max ＝g (－1)＝10＋t ，∴10＋t ≤0，即t ≤－10.
16．(1)对任意m ∈[－1,1]函数f (x )＝x 2
＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．
(2)求不等式ax 2
－3x ＋2>5－ax (a ∈R )的解集．
[解] (1)由f (x )＝x 2
＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)·m ＋x 2
－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.
由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
g －1＝x －2×－1＋x 2
－4x ＋4>0，g 1＝x －2＋x 2
－4x ＋4>0，
解得x <1或x >3.
故当x <1或x >3时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零． (2)不等式为ax 2
＋(a －3)x －3>0，即(ax －3)(x ＋1)>0， 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <－1}．
当a ≠0时，方程(ax －3)(x ＋1)＝0的根为x 1＝3
a
，x 2＝－1，
①当a >0时，3
a
>－1，∴不等式的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x >3a
或x <－1
； ②当－3<a <0时，3
a
<－1，
∴不等式的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
3
a <x <－1
； ③当a ＝－3时，3
a
＝－1，∴不等式的解集为∅；
④当a <－3时，3
a
>－1
∴不等式的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
－1<x <
3a . 综上，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <－1}；
当a >0时，不等式解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x >3
a 或x <－1
； 当－3<a <0时，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
3
a
<x <－1
； 当a ＝－3时，不等式解集为∅；
当a <－3时，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
－1<x <
3
a . [延伸拓展]
设a <0，(3x 2
＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，则b －a 的最大值为( ) A.13 B.12 C.33 D.2
2
[解析] 当a <b <0时，∀x ∈(a ，b )，2x ＋b <0，所以(3x 2
＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，可转化为∀x ∈(a ，b )，a ≤－3x 2，所以a ≤－3a 2
，所以－13≤a <0，所以b －a <13
；当
a <0<
b 时，(3x 2＋a )·(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，当x ＝0时，(3x 2＋a )(2x ＋b )＝ab <0，
不符合题意；当a <0＝b 时，由题意知x ∈(a,0)，(3x 2
＋a )2x ≥0恒成立，所以3x 2
＋a ≤0，所以－13≤a <0，所以b －a ≤13.综上所述，b －a 的最大值为1
3
.故选A.
[答案] A。