8.6 2020中考数学复习：《阅读理解》近8年全国中考题型大全(含答案)

１
8.6 阅读理解
一、选择题
1. (2019 广西玉林市) （3
分）定义新运算：(0)
(0)
p
q q p q p q q
⎧>⎪⎪=⎨
⎪-<⎪⎩⊕，例如：3355=⊕，3
3(5)5
-=
⊕，则2(0)y x x =≠⊕的图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
2. (2017 湖南省湘潭市) 阅读材料：设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r
，如果//a b r r ，则
2121x y x y ⋅=⋅.根据该材料填空：已知(2,3)a =r ，(4,)b m =r
，
且//a b r r ，则m = ．
3. (2019 江西省) （3分）我国古代数学名著《孙子算经》有估算方法：“方五，邪（通“斜”）七．见方求邪，七之，五而一．”译文为：如果正方形的边长为五，则它的对角线长为七．已知正方形的边长，求对角线长，则先将边长乘以七再除以五．若正方形的边长为1，由勾股定理得对角线长为，依据《孙子算
经》的方法，则它的对角线的长是 ．
4. (2019 宁夏回族自治区) （3分）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程25140x x +-=即(5)14x x +=为例加以说明．数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造
２
图（如下面左图）中大正方形的面积是2(5)x x ++，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即24145⨯+，据此易得2x =．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程
24120x x --=的正确构图是
．（只填序号）
5. (2019 上海市) （4分）已知2()1f x x =-，那么(1)f -= ．
6. (2019 四川省成都市) （4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，我们把横、纵坐标都是整数的点为“整点”，已知点A 的坐标为（5，0），点B 在x 轴的上方，△OAB 的面积为
，则△OAB 内部（不含边界）的整点的个数为 ．
7. (2019 四川省遂宁市) （4分）阅读材料：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i 2＝﹣1，这个数i 叫做虚数单位，把形如a +bi （a ，b 为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i；
（2﹣i）（3+i）＝6﹣3i+2i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i；
（4+i）（4﹣i）＝16﹣i2＝16﹣（﹣1）＝17；
（2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i
根据以上信息，完成下面计算：
（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝．
8. (2019 湖南省永州市) （4分）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方()n
a b
+
的展开式（按b的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将15
()
s x
+
的展开式按x的升幂排列得：15215
01215
()
s x a a x a x a x
+=+++⋯+．
依上述规律，解决下列问题：
（1）若1
s=，则2a=；
（2）若2
s=，则01215
a a a a
+++⋯+=．
３
４
三、解答题
9. (2013 浙江省台州市) 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”.
（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”； （2）如图1，在Rt △ABC 中,∠C =90°,tan A =2
3
.求证：△ABC 是“好玩三角形”；
（3）如图2，已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC =2β，点Q P ,从点A 同时出发，以相同速度分别沿折线AB -BC 和AD -DC 向终点C 运动,记P 所经过的路程为s . ①当45β=°时，若△APQ 是“好玩三角形”，试求a s
的值;
②在Q P ,的运动过程中, 有且只有一个△APQ 能成为“好玩三角形”，请直接写出tan β的取值范围.
（4）（本小题为选做题，做对另加2分，但全卷满分不超过150分） 依据 (3)中的条件,提出一个关于“在Q P ,的运动过程中,tan β的取值范围与△
APQ 是‘好玩三角形’的个数关系”的真命题(“好玩三角形”的个数限定不
能为1)．
（第24题）
B
图1
图2 备用图
10. (2015 浙江省湖州市) 问题背景：已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B
运动
(与A，B不重合)，点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动
(E不与C重合)，连结DE交AC于点F，点H是线段AF上一点
(1)初步尝试：如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等，求证：HF=AH+CF
小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题：
思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证GH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立.
思路二：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM=AH，再证HF=MF，从而证得结论成立.
请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答，则以第一种方法评分)
(2)类比探究：如图2，若在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且点D，E的运动速度之比是：1，求的值.
(3)延伸拓展：如图3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记=m，且点D、E的运动速度相等，试用含m的代数式表示 (直接写出结果，不必写解答过程).
５
11. (2015 浙江省衢州市) 小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．
求函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由函数y=﹣x2+3x﹣2可知，a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；
（2）若函数y=﹣x2+mx﹣2与y=x2﹣2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）2015的值；
（3）已知函数y=﹣（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分布是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数．”
６
７
12. (2018 江苏省南京市) 结果如此巧合！下面是小颖对一道题目的解答. 题目：如图，Rt ABC △的内切圆与斜边AB 相切于点D ，3AD =，4BD =，求ABC △的面积.
解：设ABC △的内切圆分别与AC 、BC 相切于点E 、F ，CE 的长为x . 根据切线长定理，得3AE AD ==，4BF BD ==，CF CE x ==. 根据勾股定理，得()()()2
2
2
3434x x +++=+. 整理，得2712x x +=. 所以12
ABC S AC BC =⋅△
()()1
342x x =
++ ()21
7122x x =++ ()1
12122=⨯+ 12=.
小颖发现12恰好就是34⨯，即ABC △的面积等于AD 与BD 的积.这仅仅是巧合吗? 请你帮她完成下面的探索.
已知：ABC △的内切圆与AB 相切于点D ，AD m =，BD n =. 可以一般化吗？
（1）若90C ∠=o ，求证：ABC △的面积等于mn . 倒过来思考呢？
（2）若2AC BC mn ⋅=，求证90C ∠=o . 改变一下条件……
（3）若60C ∠=o ，用m 、n 表示ABC △的面积.
13. (2016 贵州省贵阳市) （1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD 绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．
中线AD的取值范围是；
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF 交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．
８
14. (2016 山东省日照市) 阅读理解：
我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．例如：角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹．
问题：如图1，已知EF为△ABC的中位线，M是边BC上一动点，连接AM交EF 于点P，那么动点P为线段AM中点．
理由：∵线段EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，
由平行线分线段成比例得：动点P为线段AM中点．
由此你得到动点P的运动轨迹是：．
知识应用：
如图2，已知EF为等边△ABC边AB、AC上的动点，连结EF；若AF=BE，且等边△ABC的边长为8，求线段EF中点Q的运动轨迹的长．
拓展提高：
如图3，P为线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），在线段AB的同侧分别作等边△APC和等边△PBD，连结AD、BC，交点为Q．
（1）求∠AQB的度数；
（2）若AB=6，求动点Q运动轨迹的
长．
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15. (2019 山东省威海市) （8分）（1）阅读理解
如图，点A，B在反比例函数y＝的图象上，连接AB，取线段AB的中点C．分别过点A，C，B作x轴的垂线，垂足为E，F，G，CF交反比例函数y＝的图象于点D．点E，F，G的横坐标分别为n﹣1，n，n+1（n＞1）．
小红通过观察反比例函数y＝的图象，并运用几何知识得出结论：
AE+BG＝2CF，CF＞DF
由此得出一个关于，，，之间数量关系的命题：
若n＞1，则．
（2）证明命题小东认为：可以通过“若a﹣b≥0，则a≥b”的思路证明上述命题．
小晴认为：可以通过“若a＞0，b＞0，且a÷b≥1，则a≥b”的思路证明上述命题．
请你选择一种方法证明（1）中的命题．
１０
16. (2012 内蒙古赤峰市) 阅读材料：
〔1〕对于任意两个数a b 、的大小比较，有下面的方法： 当0a b ->时，一定有a b >； 当0a b -=时，一定有a b =； 当0a b -<时，一定有a b <．
反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”． 〔2〕对于比较两个正数．．a b 、的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：
22()()0a b a b a b a b -=+-+>Q ， 22()a b ∴-与()a b -的符号相同
当220a b ->时，0a b ->，得a b > 当220a b -=时，0a b -=，得a b = 当220a b -<时，0a b -<，得a b < 解决下列实际问题：
（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x ，每张B5纸的面积为y ，且x y >，张丽同学的用纸总面积为1W ，李明同学的用纸总面积为2W ，回答下列问题：
①1W =____________（用含x y 、的式子表示）
2W =____________（用含x y 、的式子表示）
②请你分析谁用的纸总面积大．
（2）如下图所示，要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A B 、两镇供气，已知A B 、到l 的距离分别是3km ，4km （3km AC =，4km BE =），km AB x =，
现设计两种方案：
方案一：如图①所示，AP l ⊥于点P ，泵站修建在点P 处，该方案中管道长度
1a AB AP =+．
方案二：如图②所示，点A '与点A 关于l 对称，A B '与l 相交于点P ，泵站修建在点P 处，该方案中管道长度2a AP BP =+．
①在方案一中，1a ＝________km （用含x 的式子表示）； ②在方案二中，2a ＝________km （用含x 的式子表示）；
③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．
17. (2014 四川省自贡市) 如图①在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与
A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”。

解决问题：
⑴如图①∠A＝∠B＝∠DEC＝45 ，试判断点E是否四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
⑵如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边上的强相似点；
⑶如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系。

A B
E
图①图②图③
18. (2014 安徽省) 若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．
19. (2018 四川省自贡市) （10分）阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若a x=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x=log a N．比如指数式24=16可以转化为4=log216，对数式2=log525可以转化为52=25．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a（M•N）=log a M+log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：
设log a M=m，log a N=n，则M=a m，N=a n
∴M•N=a m•a n=a m+n，由对数的定义得m+n=log a（M•N）
又∵m+n=log a M+log a N ∴log a（M•N）=log a M+log a N
解决以下问题：
（1）将指数43=64转化为对数式；
（2）证明log a=log a M﹣log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）
（3）拓展运用：计算log32+log36﹣log34= ．
20. (2018 四川省雅安市) （8分）请阅读以下材料：已知向量=（x1，y1），=（x2，y2）满足下列条件：
①||=，||=
②⊗=||×||cosα（角α的取值范围是0°＜α＜90°）；
③⊗=x1x2+y1y2
利用上述所给条件解答问题：
如：已知=（1，），=（﹣，3），求角α的大小；
解：∵||===2，
====2
∴⊗=||×||cosα=2×2cosα=4cosα
又∵⊗=x 1x2+y1y2=l×（﹣）+×3=2
∴4cosα=2
∴cosα=，∴α=60°
∴角α的值为60°．
请仿照以上解答过程，完成下列问题：
已知=（1，0），=（1，﹣1），求角α的大小．
21. (2019 江苏省扬州市) （10分）如图，平面内的两条直线l1、l2，点A，B在直线l1上，点C、D在直线l2上，过A、B两点分别作直线l2的垂线，垂足分別
为A1，B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，
或T，特别地线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C．
AD）
请依据上述定义解决如下问题：
（1）如图1，在锐角△ABC中，AB＝5，T（AC，AB）＝3，则T（BC，AB）＝；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，T（AC，AB）＝4，T（BC，AB）═9，求△ABC 的面积；
（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A＝60°，点D在AB边上，∠ACD＝90°，T（AD，
＝2，T（BC，AB）＝6，求T（BC，CD），
AC）
22. (2019 江西省) （12分）特例感知
（1）如图1，对于抛物线y1＝﹣x2﹣x+1，y2＝﹣x2﹣2x+1，y3＝﹣x2﹣3x+1，下列结论正确的序号是；
①抛物线y1，y2，y3都经过点C（0，1）；
②抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移个单位得到；
③抛物线y1，y2，y3与直线y＝1的交点中，相邻两点之间的距离相等．
形成概念
（2）把满足y n＝﹣x2﹣nx+1（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．知识应用
在（2）中，如图2．
①“系列平移抛物线”的顶点依次为P1，P2，P3，…，P n，用含n的代数式表示顶点P n的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；
②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：C1，C2，C3，…，∁n，其横坐标分别为﹣k﹣1，﹣k﹣2，﹣k﹣3，…，﹣k﹣n（k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．
③在②中，直线y＝1分别交“系列平移抛
物线”于点A1，A2，A3，…，A n，连接∁n A n，
C n﹣1A n﹣1，判断∁n A n，C n﹣1A n﹣1是否平行？并说
明理由．
23. (2019 上海市) （12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线
22
=-，其顶点为A．
y x x
（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．
①试求抛物线22
y x x
=-的“不动点”的坐标；
②平移抛物线22
=-，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其
y x x
对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．
24. (2019 浙江省金华市) （10分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m+2的顶点．
（1）当m＝0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．
（2）当m＝3时，求该抛物线上的好点坐标．
（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．
25. (2019 重庆市) （10分）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数﹣“纯数”．
定义；对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”，
例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；
23不是“纯数”，因为计算23+24+25时，个位产生了进位．
（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数．
参考答案
一、选择题
1. 分析根据题目中的新定义，可以写出2y x =⊕函数解析式，从而可以得到相应的函数图象，本题得以解决．
解答解：(0)
(0)p
q q p q p q q ⎧>⎪⎪=⎨
⎪-<⎪⎩⊕Q ， 2
(0)22(0)
x x
y x x x
⎧>⎪⎪∴==⎨
⎪-<⎪⎩⊕，
故选：D ．
点评本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
二、填空题 2. 答案6
试题分析:利用新定义设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r
，如果//a b r r ，则2121x y x y ⋅=⋅，2m=4
×3,m=6
3. 分析根据估算方法可求解．
解答解：根据题意可得：正方形边长为1的对角线长＝＝1.4
故答案为：1.4
点评本题考查了正方形的性质，读懂题意是本题的关键．
4. 分析仿造案例，构造面积是2(4)x x +-的大正方形，由它的面积为24124⨯+，可求出6x =，此题得解．
解答解：24120x x --=Q 即(4)12x x -=，
∴构造如图②中大正方形的面积是2(4)x x +-，其中它又等于四个矩形的面积加上
中间小正方形的面积，即24124⨯+， 据此易得6x =． 故答案为：②．
点评本题考查了一元二次方程的应用，仿造案例，构造出合适的大正方形是解题的关键．
5. 分析根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 解答解：当1x =-时，2(1)(1)10f -=--=． 故答案为：0．
点评本题考查了函数值，把自变量的值代入函数解析式是解题关键．
6. 分析根据面积求出B 点的纵坐标是3，结合平面直角坐标系，多画些图可以观察到整数点的情况； 解答解：设B （m ，n ）， ∵点A 的坐标为（5，0）， ∴OA ＝5， ∵△OAB 的面积＝
5•n ＝，
∴n＝3，
结合图象可以找到其中的一种情况：（以一种为例）
当2＜m＜3时，有6个整数点；
当3＜m＜时，有5个整数点；
当m＝3时，有4个整数点；
可知有6个或5个或4个整数点；
故答案为4或5或6；
点评本题考查三角形的面积与平面直角坐标系中点的关系；能够结合图象，多作图是解题的关键．
7.分析直接利用完全平方公式以及多项式乘法分别化简得出答案．
解答解：（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝2﹣i+4i﹣2i2+4+i2﹣4i
＝6﹣i﹣i2
＝6﹣i+1
＝7﹣i．
故答案为：7﹣i．
点评此题主要考查了实数运算，正确运用相关计算法则是解题关键．
8.分析（1）根据图形中的规律即可求出15
+的展开式中第三项的系数为前14
(1)x
个数的和；
（2）根据x的特殊值代入要解答，即把1
x=代入时，得到结论．
解答解：（1）由图2知：1
+的第三项系数为0，
a b
()
2()a b +的第三项的系数为：1， 3()a b +的第三项的系数为：312=+， 4()a b +的第三项的系数为：6123=++，
⋯
∴发现3(1)x +的第三项系数为：312=+；
4(1)x +的第三项系数为6123=++； 5(1)x +的第三项系数为101234=+++；
不难发现(1)n x +的第三项系数为123(2)(1)n n +++⋯+-+-，
1s ∴=，则212314105a =+++⋯+=．
故答案为：105；
（2）1521501215()s x a a x a x a x +=+++⋯+Q ． 当1x =时，151501215(21)3a a a a +++⋯+=+=， 故答案为：153．
点评本题考查了完全平方式，也是数字类的规律题，首先根据图形中数字找出对应的规律，再表示展开式：对应()n a b +中，相同字母a 的指数是从高到低，相同字母b 的指数是从低到高．
三、解答题
9. (1)画图正确. ………………………………………………………4分 (2)取AC 中点D ,连接BD , ……………………………………………1分
90,tan C A ∠=︒=Q ,23
=∴AC BC . ……………1分
设,2BC AC x ==则
,
2BD x ∴== . ………1分 BD AC =∴.
∴△ABC 是“好玩三角形”. ………………………………………1分 (3)①若45β=︒时，当点P 在AB 上时，
△APQ 是等腰直角三形，不可能是“好玩三角形”. 当P 在BC 上时，连接AC ，交PQ 于点E ，
延长AB 交QP 的延长线于点F ，∵CQ PC =，ACD ACB ∠=∠, ∴AC 是QP 的垂直平分线.∴AQ AP =. ∵ACP CAB ∠=∠，AEF CEP ∠=∠,
∴△AEF ∽△CEP . ∴
2AE AF AB BP s
CE PC PC a s
+===
-. ∵CE PE =. ∴
2AE s
PE a s
=
-.
ⅰ）当底边PQ 与它的中线AE 相等，即PQ AE =时，
221AE s PE a s ==-,∴3
4
a s =.………… 2分 ⅱ) 当腰AP 与它的中线QM 相等，即QM AP =时， 作AP QN ⊥于N ，∴AN MN =＝PM 2
1
.
∴MN QN 15=. ∴APQ ∠tan ＝315
315==MN MN PN QN . ∴tan APE ∠
＝
2AE s PE a s ==-
F
∴151
2
a s =+ .…………………………………………………………… 2分 ②
3
15
<tan β<2. …………………………………………………………2分 (4)选做题： 若15
0tan β<<
，则在Q P ,的运动过程中,使得△APQ 成为‘好玩三角形’的个数为2.………………………2分 其他情形参考如下:
tan β取值范围
“好玩三角形”
个数
150tan 3
β<<
2 15
tan 23
β<< 1 tan 2β> 0 15
tan 3
β=
或tan 2β= 无数个
10. 答案（1）详见解析；（2）
=2 ；(3)
.
试题分析：（1）（选择思路一）：过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ，如图1，易证△ADG 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得GD =AD =CE ，GH =AH ,再由平行线的性质可得∠GDF =∠CEF , ∠DGF =∠ECF ,又因GD =AD =CE ,根据“ASA ”可证△GDF ≌△CEF ，由全等三角形的对应边相等可得GF =CF ，所以GH +GF =AH +CF ,即HF =AH +CF . （选择思路二）：过点E 作EM ⊥AC ，交AC 的延长线于点M ，如图1，先证△ADH
≌△CEM，由全等三角形的对应边相等可得AH=CM,DH=EM, 又因∠DHF=∠
EMF=90°, ∠DFH=∠EFM,所以△DFH≌△EFM,即可得HF=MF=CM+CF=AH+CF.（2）)过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图2, 可证AD=GD, 由题意可知，AD=CE,所以GD=CE,再证△GDF≌△CEF，由全等三角形的对应边相等可得GF=CF,所以GH+GF=AH+CF,即HF=AH+CF,即可得=2.（3）过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图3,可得AD=AG,DH=DG,AD=EC,所以，又因DG∥BC，可得，所以
由比例的性质可得，即,所以.
试题解析：(1)证明：方法一（选择思路一），
过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ADG=∠B=60°, ∠A=60°,
∴△ADG是等边三角形，
∴GD=AD=CE,
∵DH⊥AC,GH=AH,
∵DG∥BC, ∴∠GDF=∠CEF, ∠DGF=∠ECF,
∴△GDF≌△CEF, ∴GF=CF,
∴GH+GF=AH+CF,即HF=AH+CF.
(2)过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图2, 则∠ADG=∠B=90°,
∵∠BAC=∠ADH=30°,
∴∠HGD=∠HDG=60°,
∴AH=GH=GD,AD=GD,
由题意可知，AD=CE,
∴GD=CE,
∵DG∥BC, ∴∠GDF=∠CEF,∠DGF=∠ECF,
∴△GDF≌△CEF, ∴GF=CF,
∴GH+GF=AH+CF,即HF=AH+CF,
∴=2.
(3) .
11.分析：（1）根据“旋转函数”的定义求出a2，b2，c2，从而得到原函数的“旋转函数”；
（2）根据“旋转函数”的定义得到m=﹣2n，﹣2+n=0，再解方程组求出m和n 的值，然后根据乘方的意义计算；
（3）先根据抛物线与坐标轴的交点问题确定A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），再利用关于原点对称的点的坐标特征得到A1（1，0），B1（﹣4，0），C1（0，﹣2），则可利用交点式求出经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y=（x﹣1）（x+4）=x2+x﹣2，再把y=﹣（x+1）（x﹣4）化为一般式，然后根据“旋转函数”的定义进行判断．
解答：（1）解：∵a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，
∴﹣1+a2=0，b2=3，﹣2+c2=0，
∴a2=11，b2=3，c2=2，
∴函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”为y=x2+3x+2；
（2）解：根据题意得m=﹣2n，﹣2+n=0，解得m=﹣3，n=2，
∴（m+n）2015=（﹣3+2）2015=﹣1；
（3）证明：当x=0时，y=﹣（x+1）（x﹣4）=2，则C（0，2），
当y=0时，﹣（x+1）（x ﹣4）=0，解得x 1=﹣1，x 2=4，则A （﹣1，0），B （4，0），
∵点A 、B 、C 关于原点的对称点分布是A 1，B 1，C 1， ∴A 1（1，0），B 1（﹣4，0），C 1（0，﹣2），
设经过点A 1，B 1，C 1的二次函数解析式为y=a 2（x ﹣1）（x+4），把C 1（0，﹣2）代入得a 2•（﹣1）•4=﹣2，解得a 2=，
∴经过点A 1，B 1，C 1的二次函数解析式为y=（x ﹣1）（x+4）=x 2+x ﹣2， 而y=﹣（x+1）（x ﹣4）=﹣x 2+x+2， ∴a 1+a 2=﹣+=0，b 1=b 2=，c 1+c 2=2﹣2=0，
∴经过点A 1，B 1，C 1的二次函数与函数y=﹣（x+1）（x ﹣4）互为“旋转函数． 点评：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握关于原点对称的两点的坐标特征；会求二次函数图象与坐标轴的交点和待定系数法求二次函数解析式；对新定义的理解能力．
12. 解：设ABC △的内切圆分别与AC 、BC 相切于点E 、F ，CE 的长为x . 根据切线长定理，得AE AD m ==，BF BD n ==，CF CE x ==.
（1）如图①，在Rt ABC △中，根据勾股定理，得()()()2
2
2
x m x n m n +++=+. 整理，得()2x m n x mn ++=. 所以1
2
ABC S AC BC =⋅△
()()1
2x m x n =
++ ()212x m n x mn ⎡⎤=+++⎣⎦
()1
2
mn mn =
+ mn =.
（2）由2AC BC mn ⋅=，得()()2x m x n mn ++=. 整理，得()2x m n x mn ++=. 所以()()2
2
22AC BC x m x n +=+++
()222
2x m n x m n ⎡⎤=++++⎣⎦
222m n mn =++
()2
m n =+
2AB =.
根据勾股定理的逆定理，得90C ∠=o . （3）如图②，过点A 作AG BC ⊥，垂足为G . 在Rt ACG △中，()3sin 602AG AC x m =⋅=
+o ，()1
cos602
CG AC x m =⋅=+o . 所以()()1
2
BG BC CG x n x m =-=+-+. 在Rt ABG △中，根据勾股定理，得
()()()()2223122x m x n x m m n ⎡⎤⎡⎤+++-+=+⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦. 整理，得()23x m n x mn ++=.
所以12ABC S BC AG =⋅△
()()1322
x n x m =+⋅+ ()23x m n x mn ⎡⎤=+++⎣⎦ ()33mn mn =
+ 3mn =.
13. 考点三角形综合题．
分析（1）延长AD 至E ，使DE=AD ，由SAS 证明△ACD ≌△EBD ，得出BE=AC=6，在△ABE 中，由三角形的三边关系求出AE 的取值范围，即可得出AD 的取值范围；
（2）延长FD 至点M ，使DM=DF ，连接BM 、EM ，同（1）得△BMD ≌△CFD ，得出BM=CF ，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF ，在△BME 中，由三角形的三边关系得出BE+BM ＞EM 即可得出结论；
（3）延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，证出∠NBC=∠D，由SAS证明△NBC ≌△FDC，得出CN=CF，∠NCB=∠FCD，证出∠ECN=70°=∠ECF，再由SAS证明△NCE≌△FCE，得出EN=EF，即可得出结论．
解答（1）解：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，如图①所示：
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDA中，，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE=AC=6，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，
∴2＜AD＜8；
故答案为：2＜AD＜8；
（2）证明：延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，如图②所示：
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM=CF，
∵DE⊥DF，DM=DF，
∴EM=EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF；
（3）解：BE+DF=EF；理由如下：
延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示：
∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°，[来源:学#科#网Z#X#X#K] ∴∠NBC=∠D，
在△NBC和△FDC中，，
∴△NBC≌△FDC（SAS），
∴CN=CF，∠NCB=∠FCD，
∵∠BCD=140°，∠ECF=70°，
∴∠BCE+∠FCD=70°，
∴∠ECN=70°=∠ECF，
在△NCE和△FCE中，，
∴△NCE≌△FCE（SAS），
∴EN=EF，
∵BE+BN=EN，
∴BE+DF=EF．
14.考点三角形综合题．
分析阅读理解：根据轨迹的定义可知，动点P的运动轨迹是线段EF．
知识应用：如图1中，作△ABC的中位线MN，作EG∥AC交NM的延长线于G，EF 与MN交于点Q′，△GQ′E≌△NQ′F，推出Q、Q′重合即可解决问题．
拓展提高：如图2中，（1）只要证明△APD≌△CPB，推出∠DQG=∠BPG=60°结论解决问题．（2）由（1）可知点P的运动轨迹是，设弧AB所在圆的圆心为O，Z 圆上任意取一点M，连接AM，BM，则∠M=60°，作OH⊥AB于H，则AH=BH=3，OH=，OB=2，利用弧长公式即可解决．
解答阅读理解：根据轨迹的定义可知，动点P的运动轨迹是线段EF．
故答案为线段EF．
知识应用：如图1中，作△ABC的中位线MN，作EG∥AC交NM的延长线于G，EF 与MN交于点Q′
∵△ABC是等边三角形，MN是中位线，
∴AM=BM=AN=CN，
∵AF=BE，
∴EM=FN，
∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B=∠GME=60°，
∵∠A=∠GEM=60°，
∴△GEM是等边三角形，
∴EM=EG=FN，
在△GQ′E和△NQ′F中，
，
∴△GQ′E≌△NQ′F，
∴EQ′=FQ′，
∵EQ=QF，
′点Q、Q′重合，
∴点Q在线段MN上，
∴段EF中点Q的运动轨迹是线段MN，MN=BC=×8=4．
∴线段EF中点Q的运动轨迹的长为4．拓展提高：如图2中，
（1）∵△APC，△PBD都是等边三角形，
∴AP=PC，PD=PB，∠APC=∠DPB=60°，
∴∠APD=∠CPB，
在△APD和△CPB中，
，
∴△APD≌△CPB，
∴∠ADP=∠CBP，设BC与PD交于点G，
∵∠QGD=∠PGB，
∴∠DQG=∠BPG=60°，
∴∠AQB=180°﹣∠DQG=120°
（2）由（1）可知点P的运动轨迹是，设弧AB所在圆的圆心为O，Z 圆上任意取一点M，连接AM，BM，
则∠M=60°，
∴∠AOB=2∠M=120°，作OH⊥AB于H，则AH=BH=3，OH=，OB=2，
∴弧AB的长==π．
∴动点Q运动轨迹的长π．
15.解答解：（1）∵AE+BG＝2CF，CF＞DF，AE＝，BG＝，DF＝，
∴+＞．
故答案为：+＞．
（2）方法一：∵
+﹣＝＝，
∵n ＞1， ∴n （n ﹣1）（n +1）＞0， ∴+﹣＞0， ∴
+＞．
方法二：∵
＝＞1， ∴
+＞．
16. 解：（1）①137W x y =+ 228W x y =+
②12(37)(28)W W x y x y x y -=+-+=-
x y >Q
0x y ∴->
120W W ∴-> 得12W W >
所以张丽同学用纸的总面积大
（2）①3x +
248x +
③22222212(3)2(48)69(48)639a a x x x x x x -=+-+=++-+=-
当22120a a ->（即120a a ->，12a a >）时，6390x ->，解得 6.5x >
当22120a a ->（即120a a -=，12a a =）时，6390x -=，解得 6.5x =
当22120a a -<（即120a a -<，12a a <）时，6390x -<，解得 6.5x <
综上所述
当 6.5x >时，选择方案二，输气管道较短
当 6.5x =时，两种方案一样
当0 6.5x <<时，选择方案一，输气管道较短（答出 6.5x <不扣分）
17. ⑴E 点是四边形ABCD 的边AB 上的相似点。

理由如下：
∵ ∠DEC ＝45︒，∴ ∠DEA ＋∠CEB ＝135︒；∵ ∠A ＝45︒，∴ ∠ADE ＋∠AED ＝135︒，∴ ∠ADE=∠CEB ，∴ △ADE ∽△BEC ，∴ E 点是四边形ABCD 的边AB 上的相似点。

⑵作法：以CD 为直径作圆，它与AB 交于E1，E2点，E1，E2点即为所作。

⑶点E 恰好是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，可分两种情况。

第一种情况：△MAE ∽△EBC ∽△MEC ，则有：AM AE AE AE ME EC CD AB
===。

过E 点作EN ⊥MC 于N 点。

由角平分线性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”易证AE=EN=EB 。

则E 为AB 中点，12
AM ME =，∠MEA ＝∠ECB ＝30︒，323,EB AB BC BC ==。

第二种情况：△MAE ∽△EBC ∽△CEM ，则∠CEB ＝∠ECM ，CM ∥EB ，与题意不符，假设不成立。

综上所述，
23AB BC =。

18.解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x﹣h）2+k，
当a=2，h=3，k=4时，
二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4．
∵2＞0，
∴该二次函数图象的开口向上．
当a=3，h=3，k=4时，
二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4．
∵3＞0，
∴该二次函数图象的开口向上．
∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，
∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．
∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．
（2）∵y1的图象经过点A（1，1），
∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．
整理得：m2﹣2m+1=0．
解得：m1=m2=1．
∴y1=2x2﹣4x+3
=2（x﹣1）2+1．
∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5
=（a+2）x2+（b﹣4）x+8
∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，
∴y1+y2=（a+2）（x﹣1）2+1
=（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．其中a+2＞0，即a＞﹣2．
∴．
解得：．
∴函数y2的表达式为：y2=5x2﹣10x+5．∴y2=5x2﹣10x+5
=5（x﹣1）2．
∴函数y2的图象的对称轴为x=1．
∵5＞0，
∴函数y2的图象开口向上．
①当0≤x≤1时，
∵函数y2的图象开口向上，
∴y2随x的增大而减小．
∴当x=0时，y2取最大值，
最大值为5（0﹣1）2=5．
②当1＜x≤3时，
∵函数y2的图象开口向上，
∴y2随x的增大而增大．
∴当x=3时，y2取最大值，
最大值为5（3﹣1）2=20．
综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．
19.分析（1）根据题意可以把指数式43=64写成对数式；
（2）先设log a M=m，log a N=n，根据对数的定义可表示为指数式为：M=a m，N=a n，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；
（3）根据公式：log a（M•N）=log a M+log a N和log a=log a M﹣log a N的逆用，将所求式子表示为：log3（2×6÷4），计算可得结论．
解答解：（1）由题意可得，指数式43=64写成对数式为：3=log464，
故答案为：3=log464；
（2）设log a M=m，log a N=n，则M=a m，N=a n，
∴==a m﹣n，由对数的定义得m﹣n=log a，
又∵m﹣n=log a M﹣log a N，
∴log a=log a M﹣log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）log32+log36﹣log34，
=log3（2×6÷4），
=log33，
=1，
故答案为：1．
20.分析模仿例题，根据关于cosα的方程即可解决问题．。