福建省长乐高级中学2018-2019学年高二数学上学期第一次月考试题

福建省长乐高级中学2018—2019学年高二数学上学期第一次月考试题
说明：1、本试卷分第I 、II 两卷,考试时间：90分钟 满分：100分
2、Ⅰ卷的答案用2B 铅笔填涂到答题卡上;Ⅱ卷的答案用黑色签字笔填写在答题卡上。

第Ⅰ卷(选择题 共48分）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题4分，每小题只有一个答案符合题意） 1。

等差数列{a n ｝中，若2491132,a a a a +++=则67a a +=（ ）
A.9 B 。

12 C.15 D.16
2．△ABC 中，角A ，B,C 所对的边分别是a ，b,c ，若acosB=bcosA ，则△ABC 是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形
3．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝2,B ＝45°，则角A ＝( )
A ．30°或150°
B ．60°或120°
C ．60°
D ．30° 4。

在△ABC 中，5,3,7AB AC BC ===，则BAC ∠的大小为（ ）
A ．
23
π B ．
56
π C ．
34
π D ．
3
π 5．已知单调递增的等比数列{a n }中，a 2·a 6＝16,a 3＋a 5＝10,则数列｛a n }的前n 项和S n ＝
( ）
A ．2
n －2
－错误! B ．2
n －1
－错误! C ．2n －1 D ．2
n ＋1
－2
6．要测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A 、B 两点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝45°,∠CBA ＝75°，且AB ＝120 m ，由此可得河宽为(精确到1 cm ）( ) A ．170 m
B ．98 m
C ．95 m
D ．86 m
7。

等比数列{a n ｝的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则错误!等于（ )
A ．－3
B ．5
C ．－31
D ．33
8．在△ABC 中，已知a ＝错误!，b ＝错误!,A ＝30°，则c 等于( ）
A ．2错误!
B 。

错误!
C ．2错误!或错误!
D ．以上都不对
9．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝错误!，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )
A.错误!
B.错误!
C.错误!
D.错误!
10．已知数列｛a n }中，a 1=1，a n+1=a n +3，若a n =2014，则n=（ ）
A ．667
B ．668
C ．669
D ．672
11．根据下列条件,判断三角形解的情况，其中正确的是( ）
A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解
B ．b ＝18,c ＝20，B ＝60°，有一解
C ．a ＝5，c ＝2,A ＝90°，无解
D ．a ＝30,b ＝25，A ＝150°，有一解
12．数列}{n a 是公差不为零的等差数列，并且1385,,a a a 是等比数列}{n b 的相邻三项。

若b 2=5，则n b =（ ） A ．5·1)3
5(-n
B ．3·1)35(-n
C ．3·1)5
3(-n
D ．5·1)5
3(-n
第II 卷（非选择题 共52分)
二、填空题（本大题包括4小题,每小题4分,共16分）
13．已知数列{}n a 前n 项和248n S n n =-，则{}n a 的通项公式为________．
14．太湖中有一小岛C ,沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A 处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 到达B 处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.
15．设△ABC 的内角A ，B ,C 所对边的长分别为a ,b ，c 。

若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________．
16。

设等比数列{a n ｝满足a 1＋a 3＝10,a 2＋a 4＝5,则a 1a 2…a n 的最大值为________．
三、解答题（本大题包括4小题，每小题9分，共36分）
17。

在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3sin cos b A a B =．
（1）求角B ;
（2）若3b =，sin 3sin C A =,求a ，c 的值．
18．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＝2，cos B ＝错误!.
（1）若b ＝4，求sin A 的值；
(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b 、c 的值．
19．(本小题12分）已知数列错误!为等差数列，且a 1＝2,a 1＋a 2＋a 3＝12.
(1）求数列错误!的通项公式；
(2)令b n＝3n a，求证数列错误!为等比数列;
(3）令c n＝错误!，求数列错误!的前n项和S n.
20．(本小题12分）在数列错误!中，a1＝1，a n＋1＝2a n＋2n.
(1）设b n＝错误!。

证明：数列错误!是等差数列；
(2)求数列错误!的前n项和S n。

长乐高级中学2018—2019第一学期第一次月考
高二数学（文理科）参考答案
一、 选择题（本题包括20小题，每小题3分，每小题只有一个答案符合题意）
1D,2A,3D,4A,5B,6C,7D ，8C ，9B,10D,11D ，12B
二、填空题(本大题包括4小题，每小题4分,共16分）
13。

a n =2n-49 14.3
6 15。

错误! 16。

64
三、解答题(本大题包括4小题，每小题9分,共36分） 17．
【解析】（1）（4分）由3sin cos b A a B =及正弦定理,可得3sin sin sin cos B A A B =． 在ABC △中，sin 0A ≠，所以3sin cos B B =,所以3tan 3
B =． 又0B <<π，所以6
B π=
． （2）（5分）由sin 3sin C A =及正弦定理，可得3c a = ①，
由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,可得222
32cos 6
a c ac π=+-,
即2239a c ac +-= ②，联立①②，解得3a =，33c =． 18.解：（1）(4分）因为cos B ＝错误!>0，0<B<π， 所以sin B ＝错误!＝错误!。

由正弦定理得错误!＝错误!， 所以sin A ＝错误! sin B ＝错误!.
(2）(5分）因为S △ABC ＝错误!acsin B ＝错误!c ＝4， 所以c ＝5.
由余弦定理得b 2
＝a 2
＋c 2
－2accos B ＝22
＋52
－2×2×5×错误!＝17, 所以b ＝17。

19．解：(1）(3分)因为a 1＋a 2＋a 3＝12， 所以a 2＝4，所以公差d ＝2， 所以a n ＝2n 。

(2）（3分）证明：因为b n＝3,
所以错误!＝错误!＝9，
所以错误!为首项b1＝9,公比q＝9的等比数列．
(3）（3分）因为c n＝错误!
＝错误!错误!,
所以S n＝c1＋c2＋…＋c n
＝错误!错误!
错误!＝错误!错误!＝错误!。

20．解：（1) （4分)证明：由已知a n＋1＝2a n＋2n，得
b n＋1＝错误!＝错误!＝错误!＋1
＝b n＋1,
∴b n＋1－b n＝1，又b1＝a1＝1。

∴错误!是首项为1，公差为1的等差数列．
（2) （5分)由（1)知，b n＝n，错误!＝b n＝n。

∴a n＝n·2n－1。

∴S n＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，两边乘以2得：
2S n＝1·21＋2·22＋…＋（n－1）·2n－1＋n·2n，
两式相减得：－S n＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n）2n－1,∴S n＝（n－1)·2n＋1.
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