高三数学第六次质量检测试题 文含解析 试题

2021届高三数学第六次质量检测试题 文〔含解析〕
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

本套试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，满分是150分.考试时间是是120分钟.
第一卷〔选择题 一共60分〕
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.
1.平面向量()1,2a =-，()2,b m =，且//a b ，那么m =〔 〕 A. 4 B. 1
C. -1
D. -4
【答案】D 【解析】 【分析】
利用平面向量一共线定理即可得出． 【详解】解：
()1,2a =-，()2,b m =，且//a b ，
40m ∴+=，解得4m =-．
应选：D ．
【点睛】此题考察了向量一共线定理，考察了推理才能与计算才能，属于根底题． 2.集合{}|13A x x =-<<，{}
2
|40B x Z x x =∈-<，那么A
B =〔 〕
A. {}|03x x <<
B. {}1,2,3
C. {}1,2
D. {}2,3,4
【答案】C 【解析】 【分析】
解不等式求出集合A 、B ，再求A B ．
【详解】解：
{}2|40B x Z x x =∈-<
{}1,2,3B ∴=
{}|13A x x =-<< {}1,2A B ∴=
C
【点睛】此题考察理解不等式与交集的运算问题，属于根底题． 3.设3443i z i
-=+，()2
1f x x x =-+，那么()f z =〔 〕 A. i B. i -
C. 1i -+
D. 1i +
【答案】A 【解析】 【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解． 【详解】解：
3443i
z i
-=
+ ()()()()
344334434343i i i z i i i i ---∴=
==-++- ()21f x x x =-+
()()()2
1f z i i i ∴=---+=
应选：A
【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算，是根底的计算题． 4.以下四个命题中，正确命题的个数是〔 〕个
①假设平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，那么//αβ；②假设平面//α平面β，直线//m 平面α，那么//m β；③平面α⊥平面β，且l α
β=，点A α∈，假设直线AB l ⊥，那么AB β⊥；④直线
m 、n 为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，假设m n ⊥，那么αβ⊥.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】A 【解析】 【分析】
利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解． 【详解】解：
①假设平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，那么α与β相交或者平行，故①错误； ②假设平面//α平面β，直线//m 平面α，那么//m β或者m β⊂，故②错误；
③当点B 不在平面α内，满足AB l ⊥时，但AB 与β不垂直，故③错误； ④直线m 、n 为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β， 由面面垂直的性质得αβ⊥，故④正确． 应选：A ．
【点睛】此题主要考察了面面平行的性质，以及空间中直线与平面之间的位置关系，同时考察了空间想象才能，属于根底题． 5.以下说法错误的选项是( )
A. “假设2x ≠，那么2560x x -+≠〞的逆否命题是“假设2560x x -+=，那么2x =〞
B. “3x >〞是“2560x x -+>〞的充分不必要条件
C. “2
x R,560x x ∀∈-+≠〞的否认是“2000,560x R x x ∃∈-+=〞
D. 命题：“在锐角ABC 中，sin cos A B <〞为真命题 【答案】D 【解析】
依题意，根据逆否命题的定义可知选项A 正确；由2560x x -+>得3x >或者2,x <∴“3x >〞是“2560x x -+>〞的充分不必要条件，故B 正确；因为全称命题命题的否是特称命题，所以C 正确；锐角ABC ∆中，02
2
2A B A B π
π
π
+>⇒
>>
->，sin cos 2A sin B B π⎛⎫
∴>-= ⎪⎝⎭
，D ∴错误，应选D.
6.假设()tan sin 2f x x =，那么()1f -的值是〔 〕 A. sin 2- B. -1
C.
1
2
D. 1
【答案】B 【解析】 【分析】
令tan 1x =-，利用二倍角公式和同角的三角函数的根本关系式可得sin 2x 的值. 【详解】令tan 1x =-，那么222
2sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 1
x x x
x x x x x x ===++， 故sin 21x =-.
【点睛】三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：〔1〕看函数名的差异；〔2〕看构造的差异；〔3〕看角的差异；〔4〕看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式〔或者公式的逆用〕、角的分拆与整合〔用的角表示未知的角〕、升幂降幂法．
7.假设函数f(x)与g(x)＝2x -的图象关于直线y ＝x 对称，那么f(4－x 2)的单调递增区间是( ) A. (－2,2] B. [0，＋∞) C. [0,2) D. (－∞，0]
【答案】C 【解析】
【详解】由得：12
()log f x x =，那么
212
2
()log (44)x x f =－－ 12
()log f x x =在()
0,∞+上单调递减，24y x =－，当0y >时，在[0,2)上单调递减，于是f(4－x 2)的单调递增区间是[0,2)
8.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在直线CC 1上，直线OP 与B 1D 1所成的角为α，那么sin α为〔 〕
A. 1 C.
12
D. 变化的值
【答案】A 【解析】 【分析】
证明11B D ⊥平面11AAC C 得到11OP B D ⊥，计算得到答案.
【详解】易知：11111,B D AC BD AA ⊥⊥，1111A A AC A ⋂=，故11B D ⊥平面11AAC C ，
OP ⊆平面11AAC C ，故11OP B D ⊥，故,sin 12
π
αα=
=.
应选：A.
【点睛】此题考察了异面直线夹角，证明11B D ⊥平面11AAC C 是解题的关键.
9.()f x 是R 上的偶函数，假设将()f x 的图象向右平移一个单位，那么得到一个奇函数的图象，假设
()21f =-，那么()()()()1232019f f f f +++⋅⋅⋅+=〔 〕
A. 2021
B. 1
C. -1
D. -2021
【答案】C
【分析】
由题意()f x 是R 上的偶函数，(1)f x -是R 上的奇函数，由此可以得出函数的周期为4，再由()21f =-求出(2)1f -=-，由奇函数的性质得出(1)0f -=，从而可得()10f =，求出一个周期上的四个函数的和，即可求出()()()()1232019f f f f +++⋅⋅⋅+的值．
【详解】解：由题意()f x 是R 上的偶函数，(1)f x -是R 上的奇函数，
()()f x f x ∴-=，(1)(1)f x f x --=--，①
(1)(1)f x f x ∴--=+，②
由①②得(1)(1)f x f x +=--③恒成立， (1)(3)f x f x ∴-=--④
由③④得(1)(3)f x f x +=-恒成立，
∴函数的周期是4，下研究函数一个周期上的函数的值
由于()f x 的图象向右平移一个单位后，那么得到一个奇函数的图象即(01)0f -=，即(1)0f -=，由偶函数知()10f =，由周期性知()30f =
由()21f =-得(2)1f -=-，由(1)(1)f x f x +=--，知(0)1f =，故()41f =故有
()()()()12340f f f f ∴+++=
()()()()()()()()12320191230101f f f f f f f ∴+++⋅⋅⋅+=++=+-+=-
应选：C ．
【点睛】此题考察函数奇偶性的运用，求解此题的关键是根据函数的性质求出函数的周期以及一个周期中函数值的和，然后根据周期性求出函数值的和．
10.设曲线()()
*
cos f x m x m R =∈上任一点(),x y 处切线斜率为()g x ，那么函数()2
y x g x = 的局
部图象可以为
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】
∵()cos ()f x m x m R *=∈上任一点(),x y 处切线斜率为()g x ∴()()sin g x f x m x =-'=
∴函数222()()sin sin y x g x x m x mx x ==-=-，那么该函数为奇函数，且当0x +→时，0y <. 应选D.
点睛：〔1〕运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向；〔2〕在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的互相关系，结合特征进展等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，
单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量大小关系.
11.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1n n a S +=，那么3
9121239
S S S S a a a a +++⋅⋅⋅+=〔 〕 A. 1013 B. 1035
C. 2037
D. 2059
【答案】A 【解析】 【分析】
根据1
1
12n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a ，求出前n 项和为n S ，即可得到21n n n S a =-，再用分组求和求得其前9项和. 【详解】解：
1n n a S +=
当1n =时111a S +=得11
2
a = 当2n ≥时111n n a S --+=
()110n n n n a S a S --∴+-+=
11
2
n n a a -∴=
数列{}n a 是以112
a =为首项，1
2q =为公比的等比数列.
12n
n a ⎛⎫
∴= ⎪⎝⎭
112n n S ⎛⎫
∴=- ⎪⎝⎭
21n n
n
S a ∴
=- 29103
9121239
22292111013S S S S a a a a ∴
+++⋅⋅⋅+=++-=-=
应选：A
【点睛】此题考察利用n S 求n a ，以及等比数列的前n 项和为n S ，属于根底题.
12.抛物线2
2y mx =与椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>有一样的焦点F ，P 是两曲线的公一共点，假设
56
m
PF =
，那么椭圆的离心率为〔 〕
C.
22
- D.
12
【答案】D 【解析】 【分析】
根据两个曲线的焦点一样,可得2
m c =.由抛物线定义可得22
23m y =.结合两式即可用c 表示出P 点坐标.
代入椭圆方程,化简后根据齐次式形式即可求得离心率.
【详解】抛物线2
2y mx =与椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>有一样的焦点F ,P 是两曲线的公一共点,
所以,02m F ⎛⎫
⎪⎝⎭
,即椭圆中的2m c =
设2,2y P y m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,由抛物线定义可知222y m
PF m =+ 由题意56
m PF =,即25226y m m
m +=
化简可得2
2
23
m y =
将2
m c =变形为2m c =代入等式可得22
83c y =
那么P
的坐标可化为23c P ⎛ ⎝⎭
由点P 在椭圆上,代入可得22
22
222
48931
c c a b b a c
⎧⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎩,化简可得422443790c a c a -+= 除以4a 可化为4243790e e -+=即()()
22
4190e e --=
解得2
1
4
e =
或者29e = 因为()0,1e ∈ 所以12
e = 应选:D
【点睛】此题考察了抛物线与椭圆HY 方程及性质的综合应用,一共焦点下两个方程的关系,齐次式下离心率的求法,属于中档题.
第二卷〔非选择题 一共90分〕
二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.将答案填写上在题中的横线上. 13.抛物线2
2x y =-的准线方程是____________ 【答案】18
x 【解析】 【分析】
先将抛物线方程化为HY 方程，即可求解.
【详解】由2
2x y =-，所以2
12y x =-
，故准线方程为18
x =. 【点睛】此题主要考察抛物线的简单性质，属于根底题型.
14.假设x y z R ∈、、，且226x y z ++=，那么222
x y z ++的最小值为______.
【答案】4 【解析】
由条件利用柯西不等式可得222222(212)()(22)36x y z x y ++++++=，由此求得222
x y z ++ 的最小
值．
【详解】解：由于222222(212)()(22)36x y z x y ++++++=，
即2229()36x y z ++，2224x y z ∴++，即222
x y z ++ 的最小值为4，
故答案为：4．
【点睛】此题主要考察柯西不等式的应用，属于根底题．
15.函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()2x
f x
g x x +=+，那么
()2log 3f =______.
【答案】
53
【解析】 【分析】
根据函数奇偶性定义,并令x x =-代入即可解方程组求得()f x .将2log 3代入解析式即可求解. 【详解】函数()f x ,()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数 那么()()f x f x =-,()()g x g x =-- 因为()()2x
f x
g x x +=+
那么()()2
x
f x
g x x --+-=-,即()()2x f x g x x --=-
那么()222
x x
f x -+=
所以
()22log 3
log 3
21
32
2532
23
log 3f -++=
==
故答案为:
53
【点睛】此题考察了函数奇偶性定义及性质应用,函数解析式的求法,属于根底题.
16.定义在区间()0,2上的函数()2
1f x x x t =-+-恰有1个零点，那么实数t 的取值范围是____
【答案】11t -<≤或者54
t = 【解析】
分为函数()f x 有一个点零点和两个零点分类讨论，假设()f x 一个点零点那么0∆=，假设()f x 有两个零点，再分为三种情况求解.
【详解】〔1〕假设函数()f x 只有一个零点，那么14(1)0t ∆=--=，即5
4
t =
， 此时()2
21142f x x x x ⎛⎫
=-+=- ⎪⎝⎭
，函数只有一个零点12，符合题意；
〔2〕假设函数()f x 有两个零点，且在区间()0,2恰有1个零点，
那么()()020f f <或者()()0020f f ⎧=⎪⎨>⎪⎩或者()()00
20f f ⎧>⎪⎨=⎪⎩
，
由()()020f f <得()()110t t -+<，解得11t -<<，
由()()0020f f ⎧=⎪⎨>⎪⎩得10
10t t -=⎧⎨+>⎩ ，解得1t = ，
由()()0020f f ⎧>⎪⎨=⎪⎩
得1010t t ->⎧⎨+=⎩，无解.
所以，当11t -<≤时，函数()f x 有两个零点，且在区间()0,2恰有1个零点. 综上所述，实数t 的取值范围是11t -<≤或者5
4
t =
. 【点睛】此题考察函数零点所在区间.方法：1、根据二次函数的性质按零点个数分类讨论；2、别离参数t 转化为两个函数的交点问题求解.
三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤. 17.设函数()22cos 2cos 132
x
f x x π⎛
⎫=++- ⎪⎝⎭，x ∈R . 〔1〕求()f x 的值域；
〔2〕记ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为(),,a b c a b >，假设()0f B =，1b =，c =，
求a 的值.
【答案】〔1〕[]1,1-；〔2〕2. 【解析】 【分析】
〔1〕利用二倍角公式及两角和的余弦公式将()22cos 2cos 132
x
f x x π⎛
⎫=++- ⎪⎝⎭化简，变形后可以用三角函数的有界性求值域．
〔2〕由()0f B =求出B ，利用余弦定理建立关于a 的方程求出a ． 【详解】解：〔1〕()22cos cos
sin sin cos 33f x x x x ππ=-+cos 3x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
∵x ∈R ，∴1cos 13x π⎛
⎫
-≤+≤ ⎪⎝
⎭
， ∴()f x 值域为[]1,1-.
〔2〕由()0f B =得：cos 03B π⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
.在ABC ∆中，0B π<<，故6B π
=. 在ABC ∆中，由余弦定理得：2
2
2
2cos 6
b a
c ac π
=+-，
∴2
320a a ，∵1a b >=，解得：2a =.
【点睛】考察利用三角函数的有界性求值域与利用余弦定理解三角形，属于根底题，
18.某厂商调查甲乙两种不同型号汽车在10个不同地区卖场的销售量〔单位：台〕，并根据这10个卖场的销售情况，得到如下图的茎叶图，为了鼓励卖场，在同型号汽车的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号的“星级卖场〞.
〔Ⅰ〕求在这10个卖场中，甲型号汽车的“星级卖场〞的个数；
〔Ⅱ〕假设在这10个卖场中，乙型号汽车销售量的平均数为26.7，求a b <的概率；
〔Ⅲ〕假设1a =，记乙型号汽车销售量的方差为2s ，根据茎叶图推断b 为何值时，2s 到达最小值〔只写出结论〕.
注：方差()()
()
222
2121n S x x x x x x n ⎡
⎤=
-+-++-⎢⎥⎣
⎦
，其中x 是1x ，2x ，…，n x 的平均数.
【答案】〔1〕5 〔2〕()4
9
P A = 〔3〕0b =
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕根据茎叶图,代入即可求得甲型号汽车的平均值,即可求得“星级卖场〞的个数;
〔Ⅱ〕根据乙组数据的平均值,可代入求得8a b +=.由古典概型概率,列举出所有可能,即可求得符合
a b <的概率.
〔Ⅲ〕当1a =时,由方差公式可知,当b 的值越小,其方差值越小,即0b =时方差2s 获得最小值. 【详解】〔1〕根据茎叶图得到甲组数据的平均值：
()1
101018142225273041432410
x =
+++++++++=甲. 该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号的“星级卖场〞, 在这10个卖场中,甲型号汽车的“星级卖场〞的个数为5个. 〔2〕记事件A 为“a b <〞,乙组数据的平均值：
()1
1018202223313230304310
x a b =
+++++++++++乙26.7=, ∴8a b +=,
和取值一共9种,分别为：()0,8,()1,7,()2,6,()3,5,()4,4,()5,3,()6,2,()7,1,()8,0,其a b <的有4种,
∴a b <的概率()49
P A =
. 〔3〕由题意可知当b 的值越小,其方差值越小 所以0b =时,2S 到达最小值.
【点睛】此题考察了茎叶图的简单应用,古典概型概率的求法,方差的性质应用,属于根底题.
19.抛物线：2
4y x =的焦点为F ，直线l ：()()20y k x k =->与抛物线交于A ，B 两点，AF ，BF
的延长线与抛物线交于C ，D 两点. 〔1〕假设AFB ∆的面积等于3，求k 的值； 〔2〕记直线CD 的斜率为CD k ，证明：CD
k k
为定值，并求出该定值. 【答案】〔1〕2；〔2〕证明见解析，2. 【解析】
【分析】
〔1〕设出抛物线上两点A 、B 的坐标，由24(2)
y x
y k x ⎧=⎨=-⎩消去x ，根据AFB ∆的面积和根与系数的关系
即可求出k 的值；
〔2〕设出抛物线上点C 、D ，利用向量法和三点一共线的知识，求出点C 与D 的坐标表示，再计算CD 的斜率，即可证明
CD
k k
为定值． 【详解】解：〔1〕设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2
22,4y B y ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 由()
2
42y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得2480ky y k --=，216320k ∆=+>，∴124y y k +=，128y y =-，
12112AFB y y S ∆⨯=
=
⨯-3==，解得2k =. 〔2〕设233,4y C y ⎛⎫
⎪⎝⎭，那么2111,4y y FA ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭，2331,4y y FC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
， 因为A ，F ，C 一共线，所以2
2313111044y y y y ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即2
3131440y y y y ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭
， 解得：31y y =〔舍〕或者314y y =-
，所以21144,C y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理22244,D y y ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， 121212221244
244CD
y y y y k k y y y y -
+==-=+-，故2CD k k =〔定值〕.
【点睛】此题考察了直线与双曲线、直线与抛物线的应用问题，也考察了弦长公式以及根与系数的应用问题，属于中档题．
20.如下图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面,//ABCD AB
DC ，
228,2BD AD PD AB DC =====
〔1〕设M 是PC 上一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； 〔2〕假设M 是PC 的中点，求三棱锥P DMB -的体积． 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕16
3
． 【解析】
试题分析：〔1〕由勾股定理可得AD BD ⊥，又PD ⊥平面,ABCD BD ⊆平面ABCD PD BD ⊥，
又PD AD D
⋂=BD ⊥平面PAD 平面MBD ⊥平面PAD ；
〔2〕由M 是PC 的中点可得P DMB C DMB M BCD V V V ---==．又点M 到平面ABCD 的间隔 等于
1
24
PD =，可求得1168233M BCD V -=⨯⨯=，即三棱锥P DMB -的体积为16
3
．
试题解析：〔1〕在ABD ∆中，
2224,8,45,AD BD AB AB BD AB ===+=，
AD BD ⊥
又PD ⊥平面,ABCD BD ⊆平面ABCD PD BD ⊥，
又PD AD D
⋂=BD ⊥平面PAD
又BD ⊆平面MBD ，
平面MBD ⊥平面PAD ，
〔2〕因为M 是PC 的中点，所以P DMB C DMB M BCD V V V ---==
在四边形ABCD 中，由可求得8BCD S ∆=，又点M 到平面ABCD 的间隔 等于1
24
PD =， 所以1168233M BCD V -=
⨯⨯=，即三棱锥P DMB -的体积为163
考点：1、线面垂直；2、面面垂直；3、锥体的体积．
21.函数2
()ln f x x ax =-在1x =处的切线与直线10x y -+=垂直. 〔1〕求函数()'()y f x xf x =+〔
'()f x 为()f x 的导函数〕的单调递增区间；
〔2〕记函数2
3()()(1)2
g x f x x b x =+-+，设1x ，212()x x x <是函数()g x 的两个极值点，假设
211e b e
+≥-，证明：2x e ≥.
【答案】〔1
〕；〔2〕见解析. 【解析】
试题分析：〔1〕由题意求得f x ，根据()11f '=-，求得1a =，进而利用0f
x ，即可求解函数
的单调递增区间；
〔2〕由()g x ，求得()g x '，根据12,x x 是()g x 的两个极值点，转化为方程的两个根，得出1212,x x x x +，得到2211
1x b e x e +
=+≥+，令1()h x x x
=+，即可证明结论. 试题解析
〔1〕由题意可得：()1
'2f x ax x
=
-，()'1121f a =-=-，可得：1a =； 又()()2
'31y f x xf x lnx x =+=-+，所以2
116'6x y x x x -=-= (0)x >；
当x ⎛∈ ⎝⎭
时，'0y >，y 单调递增；
当时x ∞⎫∈+⎪⎪⎝⎭，'0y <，y
单调递减；故函数的单调增区间为x ⎛∈ ⎝⎭
. 〔2〕()()2112g x lnx x b x =+-+，()()1'1g x x b x =+-+ ()211
x b x x
-++=，
因为1x ，2x 是()g x 的两个极值点，故1x ，2x 是方程()2
110x b x -++=的两个根，由韦达定理可知：
12121{
1
x x b x x +=+=，
12x x <，可知21x >，又2211
1x b e x e
+
=+≥+， 令()1
h x x x
=+
，可证()h x 在()1,∞+递增，由()()2h x h e ≥，从而可证2x e ≥. 考点：导数在函数中的应用.
点睛：此题主要考察了导数在函数中的应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，以及函数的单调性的应用的综合应用，着重考察了学生分析问题和解答问题的才能，
此题的解答中把12,x x 是()g x 的两个极值点，转化为方程的两个根，创设函数，利用函数的单调性求解是解答的关键.
请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分.
22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：27cos 7sin x y αα
⎧=+⎪⎨=⎪⎩〔α为参数〕.以O 为极点，x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8cos ρθ=，直线l 的极坐标方程为()3
θρπ
=∈R .
〔Ⅰ〕求曲线1C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；
〔Ⅱ〕假设直线l 与1C ，2C 在第一象限分别交于A ，B 两点，P 为2C PAB ∆面积的最大值. 【答案】〔Ⅰ〕2
4cos 30ρρθ--=，3y x =；〔Ⅱ〕23+ 【解析】 【分析】
(Ⅰ)先求出曲线1C 的普通方程,再把普通方程化为极坐标方程.再写出直线的直角坐标方程.( Ⅱ)先求出211AB ρρ=-=,再求出以AB 为底边的PAB ∆的高的最大值为423+, 再求PAB ∆面积的最
大值.
【详解】(Ⅰ)依题意得,曲线1C 的普通方程为()2
227x y -+=, 曲线1C 的极坐标方程为2
4cos 30ρρθ--=,
直线l 的直角坐标方程为3y x =．
(Ⅱ)曲线2C 的直角坐标方程为()2
2416x y -+=,设1,3A πρ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
,2,
3B πρ⎛⎫
⎪⎝
⎭
, 那么2
114cos
303
π
ρρ--=,即211230ρρ--=,得13ρ=或者11ρ=-(舍),
28cos
43
π
ρ==,那么211AB ρρ=-=,
()24,0C 到l 的间隔
为d =
=以AB 为底边的PAB ∆
的高的最大值为4+,
那么PAB ∆
的面积的最大值为
(
1
1422
⨯⨯+=【点睛】(1)此题主要考察参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考察直线和圆的位置关系，考察面积的最值的求法，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能.〔2〕此题的解题的关键是求出211AB ρρ=
-=.
23.函数()()21f x x a x a R =-+-∈. 〔1〕当1a =时，求()2f x ≤的解集；
〔2〕假设()121f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，务实数a 的取值范围.
【答案】〔1〕4|03x x ⎧
⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；〔2〕51,2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
. 【解析】 【分析】
〔1〕当1a =时，()121f x x x =-+-，分类去绝对值讨论即可；〔2〕由()21f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，得当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，不等式()21f x x ≤+恒成立，然后去绝对值参变别离转化为函数的最值问题即可.
【详解】解：〔1〕当1a =时，()121f x x x =-+-，
()21212f x x x ≤⇒-+-≤，
上述不等式可化为121122x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩，或者1121212x x x ⎧
<<⎪
⎨⎪-+-≤⎩或者11212x x x ≥⎧⎨
-+-≤⎩， 解得120x x ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩，或者1
122x x ⎧<<⎪⎨⎪≤⎩，或者143x x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩
，
∴102x ≤≤
或者112x <<或者413x ≤≤，∴原不等式的解集为4|03x x ⎧
⎫
≤≤⎨⎬⎩⎭
.
〔2〕∵()21f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
∴当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，不等式()21f x x ≤+恒成立，
即2121x a x x -+-≤+在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上恒成立， ∴2121x a x x -+-≤+，即2x a -≤，∴22x a -≤-≤， ∴22x a x -≤≤+在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上恒成立， ∴()()max min 22x a x -≤≤+， ∴512
a -≤≤
， ∴a 的取值范围是51,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
.
【点睛】此题考察了分类讨论解绝对值不等式，不等式的恒成立问题，参变别离法是解决恒成立有关问题的好方法.
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。