计算机控制系统理论基础
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令
（2-5）
s j
，得零阶保持器的频率特性
jT jT 2 jT 2
1 e Gh ( j ) j
e
(e
e
jT 2
)
j
sin(T / 2) T e T / 2
jT 2
（2-6）
因为
T
2
s
，那么上式可表示为
第二章 1----24
2 sin( / s ) j s G h ( j ) e s / s
图2-4 f(t)及f*(t)的频谱 a)f(t) 的频谱
F ( j )
b) f*(t)的频谱f*(t)
2.采样周期T的选择
由于被控对象的物理过程及参数变化比较复杂，系统 有用信号的最高角频率ωmax是很难确定的。采样定理仅从 理论上给出了采样周期的上限，实际采样周期要受多方面 因素的制约。下表列出了一些常见控制参数的经验采样值。
f * (t )
f h (t )
图2-6 零阶保持器的输入输出特性
第二章 1----22 若给零阶保持器的输入端加上单位脉冲，则输出为一个高 度为1持续时间为T的矩形波gh(t) ， gh(t)即脉冲响应函数， 它可分解为两个单位阶跃函数的叠加，
g h (t )
1 T 0 t
g h (t )
1
t
0 T
第二章 计算机控制系统理论基础
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节
采样过程与采样定理 零阶保持器 z变换理论 采样控制系统的数学模型 采样控制系统的稳定性分析 采样控制系统的稳态误差分析 采样控制系统的动态性能分析
第二章 1----2
第二章 计算机控制系统理论基础
本章主要阐述计算机控制系统的基本概念和基本方法。
图2-8 零阶保持的频率特性
作业
根据下图的模拟量曲线和采样/保持信号，绘制 出S/H输出曲线。
第一节 采样过程与采样定理
一、信号变换理论 计算机只能接受和处理二进制代码“0”和“1”及其组合， 这些二进制数可以表示某一物理量的大小，称之为离散量或数字 量。但实际系统中的被控量是在时间上连续的信号，一般称之为 连续量或模拟量。 模拟量进行离散化并转换成数字量后，才能由计算机处理。 因此，计算机控制系统也可以称为数字控制系统、离散控制系统 或采样控制系统，模拟控制系统也称为连续控制系统。 离散控制系统和模拟控制系统的本质区别在于：模拟控制系统 的给定量、反馈量和偏差信号都是连续型的时间函数，而微机控 制系统中的所有信号都是时间上离散型的数字信号。
－1
图2-7 零阶保持器单位脉冲响应
如图2-7所示，其表达式为：
g (t ) 1(t ) 1(t T ) h
（2-4）
第二章 1----23
如图2-7所示，其表达式为：
g (t ) 1(t ) 1(t T ) h
（2-4）
式中，T为采样周期。对式（2-4）取拉氏变换，得
1 e TS G ( s) L1(t ) 1(t 1) h s
* k 0 k 0 k 0
f (0) (t ) f (T ) (t T ) f (2T ) (t 2T )
(2-3)
第二章 1----8
采样的幅值调制过程如图2-3所示。
图2-3 ƒ(t)对单位脉冲序列的调制
四、 量化
因为采样后得到的离散模拟信号本质上还是模拟信号， 不能直接送入计算机，故还需经过量化，变成数字信号后 才能被计算机接收和处理。 量化就是用一组数码(如二进制码)来逼近离散模拟信 号的幅值，将其转换为数字信号的。将离散模拟信号转换 为数字信号的过程称为量化过程，其中进行量化处理的装 置为模/数(A/D)转换器。
五、采样定理 从信号的采样过程可知，采样后得到的离散模拟信号没 有包括全部时间上的信号值，而是只知道采样时刻的信号值。 除此之外时刻的值是不知道的。这就是说，采样过程损失了 信号在采样时刻之间的信息。如何才能是采样信号包含原信 号的全部信息？显然，采样周期T的合理选取是重要的，采 样周期T越短，采样信号f*(t)就越接近连续信号f(t)。但是 如果采样周期太短，就会把许多时间用于采样，而失去了实 时控制的机会。因此要合理地选择采样周期是关键。这就是 下面要介绍的香农采样定理。
基本概念
模拟信号:是指在时间和幅值上都是连续的信号。数学上用连续函 数f(t)表示。 离散模拟信号：时间上离散，而在幅值上表示连续量信号的大小。 用f*(t)表示。 数字信号：时间上离散，幅值也离散的信号。用f (kT)表示。 采样：利用采样开关，将模拟信号按照一定的时间间隔重复开闭 变成离散模拟信号的过程。该时间间隔T称为采样周期。 量化：采用一组二进制数码来逼近离散模拟信号的幅值，将其转 换成数字信号。用A/D转换器完成。
量化单位为： q＝ (fmax－fmin)/(2n-1 )
例如，模拟信号fmax ＝10V,fmin ＝0V，取n＝8，则 q=10V/(2 8-1)≈4mV，量化误差最大值 emax ＝±q/2≈±2mV。 由以上分析可以看出： （1）在A/D转换器的输出位数n足够多时，可以使量化误差 达到足够小，就可以认为数字信号近似于采样信号。 （2）如果在采样过程中，采样频率也足够高，就可以用采 样、量化后得到的一系列离散的二进制数字量来表示某 一时间上连续的模拟信号，从而可以由计算机来进行控 制计算和处理。
三、采样过程 • • 所谓采样过程，就是利用采样开关将连续信号转换成离散 信号的过程。 系统中，采样开关每隔时间T闭合一次，T称为采样周期。 采样开关每次闭合的时间为h，一般情况下，h << T 。 因此在分析采样系统时， h可近似忽略不计。于是，原来 在时间上连续的信号就变成了离散的信号。 因此，采样过程可视为单位理想脉冲序列被输入的连续 信号进行幅值调制的过程，采样过程的数学描述为：
1.香农采样定理
香农(Shannon)采样定理：为了使采样信号f*(t)能反 映连续信号f(t)的变化规律，采样频率ωs(ωs=2πfs=2π/T) 至少应该是信号f(t)频谱最高频率ωmax 的两倍，即 ωs≥2ωmax 或者 Ts≤1/(2fmax) 当采样周期满足采样定理时，图2―4中的采样信号频 谱就不会发生重叠效应，这时就可以通过理想的低通滤波 器从采样信号f*(t)中完全恢复出f(t)来。
第二章 1----20 第二节 零阶保持器
一、信号复现
保持器是将采样信号复现为连续信号的装置。
a) 常用零 阶保持 器替代 图2-5
b) 理想滤波器及其输出信号频谱 b) 滤波器输出信号频谱
a) 理想的滤波器
C ( j )ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第二章 1----21 二、零阶保持器 零阶保持器的作用是把前一采样时刻kT的采样值一直 保持到下一个采样时刻(k+1)T，从而使采样信号f*(t) 变为阶梯信号fh (t)，图2-6所示为其输入、输出特性。
（2-7）
其频率特性如图2-8所示。图中采样角频 率 2 。 s T
第四章 1---25 零阶保持器: (1)在允许采样信号 的主频分量通过的 同时，还允许部分 高频分量通过。因 此，它不是一个理 想的低通滤波器。 (2)另外它的相频特 性具有滞后的相位 移，对采样系统的 稳定性带来不利影 响。
图2-2 采样过程
第二章 1----7
f (t ) f (t ) T (t )
*
（2-1）
其中
T (t ) (t KT )
k 0
（2-2）(单位理想脉冲序列)
由于离散信号仅在采样时刻有效，而t=kT处的f(t)值即为f(kT)， 故式（2-1）也可写作：
f (t ) f (t ) (t kT ) f (t ) (t kT ) f (kT ) (t kT )
第二章 计算机控制系统理论基础
二、采样控制系统 计算机控制系统结构框图如图2-1所示。 在A/D（采样器）——计算机——D/A（保持器）的通道上，传送的信号 不是连续的模拟量，而是离散信号，其信号只在一定间隔的采样瞬时上 存在。这种具有离散传输通道的系统，常称其为采样系统。
一
图2-1 采样控制系统结构图
（2-5）
s j
，得零阶保持器的频率特性
jT jT 2 jT 2
1 e Gh ( j ) j
e
(e
e
jT 2
)
j
sin(T / 2) T e T / 2
jT 2
（2-6）
因为
T
2
s
，那么上式可表示为
第二章 1----24
2 sin( / s ) j s G h ( j ) e s / s
图2-4 f(t)及f*(t)的频谱 a)f(t) 的频谱
F ( j )
b) f*(t)的频谱f*(t)
2.采样周期T的选择
由于被控对象的物理过程及参数变化比较复杂，系统 有用信号的最高角频率ωmax是很难确定的。采样定理仅从 理论上给出了采样周期的上限，实际采样周期要受多方面 因素的制约。下表列出了一些常见控制参数的经验采样值。
f * (t )
f h (t )
图2-6 零阶保持器的输入输出特性
第二章 1----22 若给零阶保持器的输入端加上单位脉冲，则输出为一个高 度为1持续时间为T的矩形波gh(t) ， gh(t)即脉冲响应函数， 它可分解为两个单位阶跃函数的叠加，
g h (t )
1 T 0 t
g h (t )
1
t
0 T
第二章 计算机控制系统理论基础
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节
采样过程与采样定理 零阶保持器 z变换理论 采样控制系统的数学模型 采样控制系统的稳定性分析 采样控制系统的稳态误差分析 采样控制系统的动态性能分析
第二章 1----2
第二章 计算机控制系统理论基础
本章主要阐述计算机控制系统的基本概念和基本方法。
图2-8 零阶保持的频率特性
作业
根据下图的模拟量曲线和采样/保持信号，绘制 出S/H输出曲线。
第一节 采样过程与采样定理
一、信号变换理论 计算机只能接受和处理二进制代码“0”和“1”及其组合， 这些二进制数可以表示某一物理量的大小，称之为离散量或数字 量。但实际系统中的被控量是在时间上连续的信号，一般称之为 连续量或模拟量。 模拟量进行离散化并转换成数字量后，才能由计算机处理。 因此，计算机控制系统也可以称为数字控制系统、离散控制系统 或采样控制系统，模拟控制系统也称为连续控制系统。 离散控制系统和模拟控制系统的本质区别在于：模拟控制系统 的给定量、反馈量和偏差信号都是连续型的时间函数，而微机控 制系统中的所有信号都是时间上离散型的数字信号。
－1
图2-7 零阶保持器单位脉冲响应
如图2-7所示，其表达式为：
g (t ) 1(t ) 1(t T ) h
（2-4）
第二章 1----23
如图2-7所示，其表达式为：
g (t ) 1(t ) 1(t T ) h
（2-4）
式中，T为采样周期。对式（2-4）取拉氏变换，得
1 e TS G ( s) L1(t ) 1(t 1) h s
* k 0 k 0 k 0
f (0) (t ) f (T ) (t T ) f (2T ) (t 2T )
(2-3)
第二章 1----8
采样的幅值调制过程如图2-3所示。
图2-3 ƒ(t)对单位脉冲序列的调制
四、 量化
因为采样后得到的离散模拟信号本质上还是模拟信号， 不能直接送入计算机，故还需经过量化，变成数字信号后 才能被计算机接收和处理。 量化就是用一组数码(如二进制码)来逼近离散模拟信 号的幅值，将其转换为数字信号的。将离散模拟信号转换 为数字信号的过程称为量化过程，其中进行量化处理的装 置为模/数(A/D)转换器。
五、采样定理 从信号的采样过程可知，采样后得到的离散模拟信号没 有包括全部时间上的信号值，而是只知道采样时刻的信号值。 除此之外时刻的值是不知道的。这就是说，采样过程损失了 信号在采样时刻之间的信息。如何才能是采样信号包含原信 号的全部信息？显然，采样周期T的合理选取是重要的，采 样周期T越短，采样信号f*(t)就越接近连续信号f(t)。但是 如果采样周期太短，就会把许多时间用于采样，而失去了实 时控制的机会。因此要合理地选择采样周期是关键。这就是 下面要介绍的香农采样定理。
基本概念
模拟信号:是指在时间和幅值上都是连续的信号。数学上用连续函 数f(t)表示。 离散模拟信号：时间上离散，而在幅值上表示连续量信号的大小。 用f*(t)表示。 数字信号：时间上离散，幅值也离散的信号。用f (kT)表示。 采样：利用采样开关，将模拟信号按照一定的时间间隔重复开闭 变成离散模拟信号的过程。该时间间隔T称为采样周期。 量化：采用一组二进制数码来逼近离散模拟信号的幅值，将其转 换成数字信号。用A/D转换器完成。
量化单位为： q＝ (fmax－fmin)/(2n-1 )
例如，模拟信号fmax ＝10V,fmin ＝0V，取n＝8，则 q=10V/(2 8-1)≈4mV，量化误差最大值 emax ＝±q/2≈±2mV。 由以上分析可以看出： （1）在A/D转换器的输出位数n足够多时，可以使量化误差 达到足够小，就可以认为数字信号近似于采样信号。 （2）如果在采样过程中，采样频率也足够高，就可以用采 样、量化后得到的一系列离散的二进制数字量来表示某 一时间上连续的模拟信号，从而可以由计算机来进行控 制计算和处理。
三、采样过程 • • 所谓采样过程，就是利用采样开关将连续信号转换成离散 信号的过程。 系统中，采样开关每隔时间T闭合一次，T称为采样周期。 采样开关每次闭合的时间为h，一般情况下，h << T 。 因此在分析采样系统时， h可近似忽略不计。于是，原来 在时间上连续的信号就变成了离散的信号。 因此，采样过程可视为单位理想脉冲序列被输入的连续 信号进行幅值调制的过程，采样过程的数学描述为：
1.香农采样定理
香农(Shannon)采样定理：为了使采样信号f*(t)能反 映连续信号f(t)的变化规律，采样频率ωs(ωs=2πfs=2π/T) 至少应该是信号f(t)频谱最高频率ωmax 的两倍，即 ωs≥2ωmax 或者 Ts≤1/(2fmax) 当采样周期满足采样定理时，图2―4中的采样信号频 谱就不会发生重叠效应，这时就可以通过理想的低通滤波 器从采样信号f*(t)中完全恢复出f(t)来。
第二章 1----20 第二节 零阶保持器
一、信号复现
保持器是将采样信号复现为连续信号的装置。
a) 常用零 阶保持 器替代 图2-5
b) 理想滤波器及其输出信号频谱 b) 滤波器输出信号频谱
a) 理想的滤波器
C ( j )ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第二章 1----21 二、零阶保持器 零阶保持器的作用是把前一采样时刻kT的采样值一直 保持到下一个采样时刻(k+1)T，从而使采样信号f*(t) 变为阶梯信号fh (t)，图2-6所示为其输入、输出特性。
（2-7）
其频率特性如图2-8所示。图中采样角频 率 2 。 s T
第四章 1---25 零阶保持器: (1)在允许采样信号 的主频分量通过的 同时，还允许部分 高频分量通过。因 此，它不是一个理 想的低通滤波器。 (2)另外它的相频特 性具有滞后的相位 移，对采样系统的 稳定性带来不利影 响。
图2-2 采样过程
第二章 1----7
f (t ) f (t ) T (t )
*
（2-1）
其中
T (t ) (t KT )
k 0
（2-2）(单位理想脉冲序列)
由于离散信号仅在采样时刻有效，而t=kT处的f(t)值即为f(kT)， 故式（2-1）也可写作：
f (t ) f (t ) (t kT ) f (t ) (t kT ) f (kT ) (t kT )
第二章 计算机控制系统理论基础
二、采样控制系统 计算机控制系统结构框图如图2-1所示。 在A/D（采样器）——计算机——D/A（保持器）的通道上，传送的信号 不是连续的模拟量，而是离散信号，其信号只在一定间隔的采样瞬时上 存在。这种具有离散传输通道的系统，常称其为采样系统。
一
图2-1 采样控制系统结构图