矩阵方程A^TXB4-B^TX^TA=C的一般解及其最佳逼近解

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ｇｅｎｃｅｏｆｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｐｒｏｖｅｄａｎｄｔｈｅｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｒａｔｅｉｓｅｓｔｉｍａｔｅｄ．Ｓｅｃｏｎｄｌｙ，ｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｍｏｄｉｆｉｅｄ
ＡｂｓｔｒａｃｔＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｓｏｌｕｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｏｐｔｉｍａｌａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓｏｌｕｔｉｏｎｔｏｔｈｅｍａｔｒｉｘｅｑｕａｔｉｏｎ
表示矩阵Ａ和Ｂ的Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ积；Ａ与Ｂ的内积定义为（Ａ，Ｂ＞一ｔｒ（ＢｒＡ），由此内积导出的Ａ的Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ范数；如果＜Ａ，Ｂ＞一０，即ｔｒ（ＡＢ）＝０，则
Ｍｉｎｉｍｕｍｎｏｒｍｓｏ１ｕｔｉｏｎ
１引言
为了表达的方便，对一些特殊的符号进行标注．用Ｒ表示ｍ × 实矩阵的集合；给定Ａ，Ｂ∈ Ｒ，Ａ表示矩阵Ａ的转置，ｖｅｃ（Ａ）表示将矩阵Ａ按行拉直构成的列向量，ＡＢ
阵．
关键词矩阵方程正交投影迭代法最佳逼近解
极小范数解
ＧｅｎｅｒａｌＳｏｌｕｔｉｏｎｏｆＭａｔｒｉｘＥｑｕａｔｉｏｎＡＴＸＢ＋ＢＴＸＴＡ — Ｃ
ａｎｄＩｔｓＯｐｔｉｍａｌＡｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎＳｏｌｕｔｉｏｎ
ＬｅｉＭａｏｊｕｎＳｕｎＢｏＹｕａｎＹａｎｊｉｅ
（Ｓｃｈ００ｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔｉｎｇＳｃｉｅｎｃｅｓ，ＣｈａｎｇｓｈａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅｓａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ．Ｃｈａｎｇｓｈａ４１０００４．Ｃｈｉｎａ）
ｓｌｉｇｈｔｌｙｔｏｏｂｔａｉｎａｎｏｐｔｉｍａｌａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓｏｌｕｔｉｏｎ．
ＫｅｙｗｏｒｄｓＭａｔｒｉｘｅｑｕａｔｉｏｎＯｒｔｈｏｇｏｎａｌｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｉｔｅｒａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄＴｈｅｏｐｔｉｍａｌａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓｏｌｕｔｉｏｎ
雷茂俊孙波袁艳杰
（长沙理工大学数学与计算科学学院，长沙，４１００００）
摘要用正交投影迭代法讨论了矩阵方程ＡＸＢ＋ＢｘＡ — Ｃ的一般解及相应的最佳逼近解．首先利用矩阵的相关理论，给出了求矩阵方程的正交投影迭代解法，证明了算法的收敛性，并得出了收敛速率估计式；其次对该算法稍加修改，得到相应的最佳逼近．本文中，要求Ａ，Ｂ实正规矩阵，且满足ＡＢ —ＢＡ，ｃ是实矩
第３５卷第４期２０１５年ｌ２月
数学理论与应用
ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＡＬＴＨＥＯＲＹＡＮＤＡＰＰＬＩＣＡＴ１０ＮＳ
Ｖｏ１．３５Ｎ０．４
Ｄｅｃ．２Ｏ１５
矩阵方程ＡＴＸＢ＋ＢＴＸ丁Ａ — Ｃ的一般解及其最佳逼近解
ＡＸＢ＋ＢＸＡ — Ｃ，ｗｈｅｒｅｂｏｔｈＡａｎｄＢａｒｅｒｅａｌｎｏｒｍａｌｍａｔｒｉｃｅｓｓａｔｉｓｆｙｉｎｇＡＢ＝ＢＡ，ａｒｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ．
称Ａ和Ｂ正交；若满足ｃ。ｓ一＿丌一万
（。 ≤ ≤ 丌），则称为矩阵Ａ，Ｂ的夹角．若
收稿日期：２０１５年１０月２９日
Ｆｉｒｓｔｌｙ，ａｎｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｉｔｅｒａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｄｅｓｉｇｎｅｄｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｍａｔｒｉｘｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｔｈｅｃｏｎｖｅｒ —