一般形式的柯西不等式-高中数学知识点讲解(含答案)

一般形式的柯西不等式（北京习题集）（教师版）
一．填空题（共5小题）
1．（2017秋•朝阳区期末）高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题．一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：
（1）图1矩形中白色区域面积等于图2矩形中白色区域面积； （2）图1阴影区域面积用a ，b ，c ，d 表示为 ； （3）图22222a b c d BAD ++∠；
（4）则柯西不等式用字母a ，b ，c ，d 可以表示为22222()()()ac bd a b c d +++． 请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导过程： ．
2．（2017秋•宣武区校级期中）已知95个数1a ，2a ，3a ，⋯，95a ，{1i a ∈-，1}，195i ，则12139495
a a a a a a ++⋯+的最小正值是 ．
3．（2017秋•海淀区校级期末）已知实数a ，b ，c 满足3a b c ++=，222226a b c ++=，则c 的取值范围是 ． 4．（2013•宣武区校级模拟）若正数a ，b ，c 满足41a b c ++=2a b c 的最大值为 ． 5．（2008•海淀区自主招生）已知：x ，y ，z R ∈，2221x y z ++=，则23x y z --的最大值为 ．
一般形式的柯西不等式（北京习题集）（教师版）
参考答案与试题解析
一．填空题（共5小题）
1．（2017秋•朝阳区期末）高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题．一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：
（1）图1矩形中白色区域面积等于图2矩形中白色区域面积； （2）图1阴影区域面积用a ，b ，c ，d 表示为 1S bd ac =+ ； （3）图22222a b c d BAD ++∠；
（4）则柯西不等式用字母a ，b ，c ，d 可以表示为22222()()()ac bd a b c d +++． 请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导过程： ． 【分析】利用矩形，平行四边形面积公式计算即可． 【解答】解：图1中阴影部分的面积1S bd ac =+， 由图1中阴影部分的面积1S bd ac =+，
图2中的面积为2()()S a d b c dc ab ac bd =++--=+，∴两图中的阴影部分面积相等；
sin 1BAD ∠，则22222()()()ac bd a b c d +++．当且仅当
a b
c d
=时，取等号． 故答案为：1S bd ac =+；由图1中阴影部分的面积1S bd ac =+，
图2中的面积为2()()S a d b c dc ab ac bd =++--=+，∴两图中的阴影部分面积相等；
sin 1BAD ∠，则22222()()()ac bd a b c d +++．当且仅当
a b
c d
=时，取等号． 【点评】本题考查柯西不等式的证明，考查不等式的性质，考查转化思想，属于基础题．
2．（2017秋•宣武区校级期中）已知95个数1a ，2a ，3a ，⋯，95a ，{1i a ∈-，1}，195i ，则12139495
a a a a a a ++⋯+的最小正值是 13 ．
【分析】令12139495t a a a a a a =++⋯+，进而可得222212139495129512
9522()()()t a a a a a a a a a a a a =++⋯+=++⋯+-++⋯+，分析易得222
12
9595a a a ++⋯+=，即212952()95t a a a =++⋯+-，分析1295a a a ++⋯+的特点，可得1295()11a a a ++⋯+=±时，t 取得最小值，将其代入212952()95t a a a =++⋯+-中，变形可得答案．
【解答】解：根据题意，令12139495t a a a a a a =++⋯+
则2222
12139495129512
9522()()()t a a a a a a a a a a a a =++⋯+=++⋯+-++⋯+， 又由1a ，2a ，⋯，95a 每个都只能取1+或1-两个值之一，则222
12
9595a a a ++⋯+= 即212952()95t a a a =++⋯+-，
要使t 取最小正数，t 中21295()a a a ++⋯+大于95即可， 而1295a a a ++⋯+为奇数个1-、1的和，不会得偶数， 则要使所求值取最小正数，须使1295()11a a a ++⋯+=±， 因此t 的最小值为12195
132
-=． 故答案为：13．
【点评】本题考查等式的恒等变形的应用，解题注意转化思想，利用
2222
12139495129512952()()()a a a a a a a a a a a a ++⋯+=++⋯+-++⋯+来解题．
3．（2017秋•海淀区校级期末）已知实数a ，b ，c 满足3a b c ++=，222226a b c ++=，则c 的取值范围是 3
[0,]2
．
【分析】3a b c ++=得，3a b c +=-，由222226a b c ++=可得222262a b c +=-，利用柯西不等式得2293(3)c c --，解出c 的范围即可．
【解答】解：由3a b c ++=得，3a b c +=-，由222226a b c ++=可得222262a b c +=-， 由柯西不等式可得2222231
(62)(1)(2)()(3)22
c a b a b c -=+++=-，
即2293(3)c c --，化简得2230c c -，解得302
c ， 因此，c 的取值范围为3
[0,]2
，
故答案为：3
[0,]2
．
【点评】本题考查利用柯西不等式求参数的取值范围，对等式进行合理变形与配凑，是解本题的关键，属于中等题．
4．（2013•宣武区校级模拟）若正数a ，b ，c 满足41a b c ++=的最大值为 ． 【分析】直接利用柯西不等式2222222()()()a b c m n p am bn cp ++++++进行求解即可．
【解答】解：由柯西不等式可知
2222222)(11(
)(11)22
a ++++⨯+
∴
25
(4)(2
a b c a b +++
即10
【点评】本题主要考查了柯西不等式的应用，同时考查了计算能力，属于基础题．
5．（2008•海淀区自主招生）已知：x ，y ，z R ∈，2221x y z ++=，则23x y z --
【分析】首先分析题目已知2221x y z ++=，求23x y z --的最大值，可以联想到柯西不等式
2222222()()()a b c e f g ae bf cg ++++++的应用，构造出柯西不等式即可得到答案．
【解答】解：由已知x ，y ，z R ∈，2221x y z ++=，和柯西不等式2222222()()()a b c e f g ae bf cg ++++++ 则构造出2222222[1(2)(3)]()(23)x y z x y z +-+-++--． 即：2(23)14x y z --
即：23x y z --
【点评】此题主要考查柯西不等式的应用问题，对于不等式2222222()()()a b c e f g ae bf cg ++++++的构造是题目的关键，需要同学们注意．。