高中数学： 函数定义域的类型和求法练习
高中数学例题：函数定义域的求法
高中数学例题：函数定义域的求法例1.求下列函数的定义域(用区间表示).(1)2-1()-3x f x x =； (2)()f x =； (3)()f x =. 【思路点拨】由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围. (1)是分式，只要分母不为0即可；(2)是二次根式，需根式有意义；(3)只要使得根式和分式都有意义即可．【答案】（1）(,(3,3)(3,)-∞-+∞；（2）8,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）(]6,2-． 【解析】 (1)21()3x f x x -=-的定义域为x 2-3≠0，(,(3,3)(3,)x ∴≠∴-∞-+∞定义域为：；(2)88()-80,,33f x x x ⎡⎫=≥≥∴+∞⎪⎢⎣⎭3得，定义域为；(3)(]202() 6,260-6x x f x x x -≥≤⎧⎧=∴-⎨⎨+>>⎩⎩得定义域为. 【总结升华】使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x 有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域（用区间表示）：(1)3f (x)|x 1|2=--； (2)1f (x)x 1=-；（3）()f x =【答案】（1）(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；（2）[)3,1(1,)-⋃+∞；（3）[]0,1．【解析】(1)当|x-1|-2=0，即x=-1或x=3时，3|x1|2--无意义，当|x-1|-2≠0，即x≠-1且x≠3时，分式有意义，所以函数的定义域是(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；(2)要使函数有意义，须使x10x3x1x30-≠⎧≥-≠⎨+≥⎩，即且，所以函数的定义域是[)3,1(1,)-⋃+∞；(3)要使函数有意义，须使1x0,x0.-≥⎧⎨≥⎩，所以函数的定义域为[]0,1.【总结升华】小结几类函数的定义域：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(即求各集合的交集)(5)满足实际问题有意义.例2.（1）已知函数()f x的定义域为[1，2]，求函数(21)y f x=+的定义域；（2）已知函数(21)y f x=+的定义域[1，2]，求函数()f x的定义域；（3）已知函数(21)y f x =+的定义域[1，2]，求函数(21)y f x =-的定义域.【思路点拨】（1）若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．（2）若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域．【答案】（1）[1，12]；（2）[3，5]；（3）[2，3]．【解析】（1）设21x t +=，由于函数()y f t =定义域为[1，2]，，故12t ≤≤，即1212x ≤+≤，解得102x ≤≤，所以函数(21)y f x =+的定义域为[1，12].（2）设21x t +=，因为12x ≤≤，所以3215x ≤+≤，即35t ≤≤，函数()y f t =的定义域为[3，5] .由此得函数()y f x =的定义域为[3，5] .（3）因为函数(21)y f x =+的定义域为[1，2]，即12x ≤≤，所以3215x ≤+≤，所以函数()y f x =的定义域为[3，5]，由3215x ≤-≤，得23x ≤≤，所以函数(21)y f x =-的定义域为[2，3] .【总结升华】求抽象函数的定义域，一要理解定义域的含义是x 的取值范围；二要运用整体思想，也就是在同一对应关系f 下括号内的范围是一样的.举一反三：【变式1】已知(1)f x +的定义域为[)2,3-，求1(2)f x+的定义域.【答案】11,,32⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭【解析】(1)f x +的定义域为[)2,3-，∴23x -≤<，∴114x -≤+<，∴1124x-≤+<，解得：12x >或13x ≤-，所以1(2)f x+的定义域为11,,32⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭.例3.已知函数y =的定义域为R ，求实数a 的取值范围.【思路点拨】确定a 的取值范围，使之对任意x R∈，都有2430ax ax ++≠，即方程2430ax ax ++=无实根.【答案】30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】当0a =时，2430ax ax ++≠对任意x R ∈恒成立.当0a ≠时，要使2430ax ax ++≠恒成立，即方程2430ax ax ++=无实根.只需判别式2(4)124(43)0a a a a ∆=-=-<，于是304a <<.综上，a 的取值范围是30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【总结升华】（1）函数有意义，分母2430ax ax ++≠恒成立，转化为0a ≠时，二次方程2430ax ax ++=无实根是关键一步.（2）由于判别式是对二次方程的实系数而言，所以这里应分0a =、0a ≠两种情况讨论.（3）本题是求定义域的逆向问题，即已知函数的定义域求解析式中所含字母的取值范围.。
(完整word版)求函数定义域和值域方法和典型题归纳,推荐文档
<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。
则称f:为A 到B 的一个函数。
2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。
由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。
3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。
（2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。
4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。
（1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。
（2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。
二、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。
（1）常见要是满足有意义的情况简总：①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。
③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0.④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1）⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1.（2()log (1)x f x x =-）注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。
专题05 函数：定义域归类大全-2023学年高一数学培优练(人教A版2019第一册)(解析版)
专题5函数：定义域归类大全目录【题型一】开偶次方根函数定义域............................................................................................................................2【题型二】解绝对值函数不等式求定义域................................................................................................................3【题型三】抽象函数定义域1：(x)→f(g(x))型.........................................................................................................4【题型四】抽象函数定义域2：f(g(x))→f(x)型........................................................................................................6【题型五】抽象函数定义域3：f(g(x))→f(h （x ）)型..............................................................................................7【题型六】抽象函数定义域4：f(x)→f(g（x）)+f(h（x）).............................................................................8【题型七】抽相与具体函数混合型............................................................................................................................9【题型八】嵌入型（内外复合）函数型定义域......................................................................................................11【题型九】恒成立含参型..........................................................................................................................................12【题型十】对数函数定义域......................................................................................................................................14【题型十一】定义域：解指数函数不等式..............................................................................................................15【题型十二】正切函数定义域................................................................................................................................16【题型十三】解正弦函数不等式求定义域..............................................................................................................17【题型十四】解余弦函数不等式求定义域..............................................................................................................18【题型十五】求分段函数定义域..............................................................................................................................20【题型十六】实际应用题中的定义域应用..............................................................................................................21培优第一阶——基础过关练......................................................................................................................................23培优第二阶——能力提升练......................................................................................................................................26培优第三阶——培优拔尖练.. (30)综述：常考函数的定义域：1.()()00f x f x ⇒≠⎡⎤⎣⎦；②.()()10f x f x ⇒≠；③()0f x ⇒≥；④.()()log 0a f x f x ⇒>；⑤.()()tan ,2f x f x k k Z ππ⇒≠+∈；⑥.实际问题中，需根据实际问题限制范围.【题型一】开偶次方根函数定义域【典例分析】（2021·福建·厦门市海沧中学高一期中）函数()f x =的定义域为（）A ．[]0,3B ．[]1,3C ．[)3,+∞D ．(]1,3【答案】D【分析】根据二次根式的性质及二次不等式的解法即可得出结果.【详解】解：由题意可得()3010x x x ⎧-≥⎨->⎩，解得13x <≤.1.（2022·全国·高一专题练习）已知函数()f x =(,1]-∞，则实数a 的取值集合为（）A ．{1}B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．(,1)(1,)-∞⋃+∞【答案】A【分析】求出函数的定义域，对比即可得出.【详解】由0a x -≥可得x a ≤，即()f x 的定义域为(,]a -∞，所以1a =，则实数a 的取值集合为{}1.故选：A.2.（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）函数31y x =的定义域是（）A ．(],1-∞B ．()()1,00,1-U C ．[)(]1,00,1- D ．(]0,1【答案】C【分析】函数定义域满足23100x x ⎧-≥⎨≠⎩，求解即可【详解】由题，函数定义域满足23100x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得[)(]1,00,1x ∈- .故选：C3.（2022·全国·高一专题练习）函数()0(1)f x x =-的定义域为（）A ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()2,11,3∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭C ．()2,11,3∞⎡⎫⋃+⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，以及零次幂的底数不等于0，建立不等式组，求解即可.【详解】解：由已知得32>010x x -⎧⎨-≠⎩，解得2>3x 且1x ≠，所以函数()0(1)f x x =-的定义域为()2,11,3∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭，故选：B.【题型二】解绝对值函数不等式求定义域【典例分析】.（2022·江苏·高一）函数y =）A ．()0,∞+B ．(),0∞-C ．()()0,11,+∞ D ．()()(),11,00,-∞-⋃-⋃+∞【答案】C【分析】根据0次幂的底数不等于0，偶次根式的被开方数非负，分母不等于0列不等式，解不等式即可求解.【详解】由题意可得：1000x x x x x ⎧-≠⎪+≥⎨⎪+≠⎩，解得：0x >且1x ≠，所以原函数的定义域为()()0,11,+∞ ，1.（2022·广东·广州六中高一期末）函数y ___________.【答案】[2,0)-【分析】利用根式、分式的性质求函数定义域即可.【详解】由解析式知：240||0x x x ⎧-≥⎨-≠⎩，则220x x -≤≤⎧⎨<⎩，可得20x -≤<，∴函数的定义域为[2,0)-.故答案为：[2,0)-.2.（2021·江苏·常州市第二中学高一期中）函数()f x =________．【答案】13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦##1322x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【分析】根据解析式的形式得到关于x 的不等式，解不等式后可得函数的定义域.【详解】解：由题设可得2120x --≥，即122x -≤，故2122x -≤-≤，所以1322x -≤≤，故答案为：13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.3.（2021·北京市第九中学高一期中）函数y =________．【答案】(,1][2,)-∞⋃+∞【分析】满足函数有意义的条件，即2310x --≥，解得定义域.【详解】由题知，2310x --≥，解得2x ≥或1x ≤，故函数的定义域为：(,1][2,)-∞⋃+∞故答案为：(,1][2,)-∞⋃+∞【题型三】抽象函数定义域1：(x)→f(g(x))型【典例分析】（2022·江西·修水中等专业学校模拟预测）已知函数()y f x =的定义域为[]1,5-，则函数()221y f x =-的定义域为（）A ．[]0,3B ．[]3.3-C ．[D ．[]3,0-【答案】C【分析】由题可知解21215x -≤-≤即可得答案.【详解】解：因为函数()y f x =的定义域为[]1,5-，所以，21215x -≤-≤，即203x ≤≤，解得x ≤≤所以，函数()221y f x =-的定义域为[故选：C基本规律已知()f x 的定义域为[,]a b ，求(())f g x 的定义域：解不等式()a g x b ≤≤即可得解【变式训练】1.（2022·全国·高一专题练习）已知()()013x f x x-=-，则()1f x +的定义域为（）A ．()(),11,3-∞⋃B ．()(),22,4-∞⋃C ．()(),00,2-∞ D ．(),2-∞【答案】C【分析】先求得()f x 的定义域，然后将1x +看作一个整体代入计算即可.【详解】由题可知：10330x x x -≠⎧⇒<⎨->⎩且1x ≠所以函数定义域为{3x x <且}1x ≠令13x +<且11x +≠，所以2x <且0x ≠所以()(),00,2x ∈-∞ ，所以()1f x +的定义域为()(),00,2-∞ 故选：C2.（2015·上海·闵行中学高一期中）已知函数()1y f x =+的定义域为[]23-，，则函数()21y f x =-的定义域为（）A ．502⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．[]14-，C ．5522⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．3722⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【答案】C【分析】先求1x +取值范围，再根据两函数关系得21x -取值范围，解得结果为所求定义域.【详解】因为函数()1y f x =+的定义域为[]23-，，所以1[1,4]x +∈-，因此55[1,4]02||51222x x x ∈-∴≤≤∴≤≤--即函数()21y f x =-的定义域为5522⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选：C3.（2018·江西·南康中学高一期中）已知函数()f x 的定义域为[3,)+∞，则函数1(1)f x+的定义域为（）A ．4(,]3-∞B ．4(1,]3C ．1(0,]2D ．1(,]2-∞【答案】C【分析】由已知函数定义域，可得113x+≥，求解分式不等式得答案．【详解】解：∵函数()f x 的定义域为[3,)+∞，∴由113x +≥，得12x ≥，则102x <≤．∴函数1(1)f x +的定义域为1(0,]2．故选：C ．【题型四】抽象函数定义域2：f(g(x))→f(x)型【典例分析】（2023·全国·高一专题练习）已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是[)1,+∞，则函数()y f x =的定义域是_______．【答案】(]1,2【分析】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，根据函数值域的求解方法可求得()g x 的值域即为所求的()f x 的定义域.【详解】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，则()()222111111111x x x x g x x x x x x x x+-+==+=+≥+-+--+，1y x x =- 在[)1,+∞上单调递增，10x x∴-≥，10111x x∴<≤-+，()12g x ∴<≤，f x ∴的定义域为(]1,21,21.（2019·陕西·渭南市尚德中学高一阶段练习）若函数(1)f x -的定义域为[1,2]-，那么函数()f x 中的x 的取值范围是________.【答案】[2,1]-【分析】根据函数(1)f x -的定义域求出()f x 的定义域即可．【详解】解： 函数(1)f x -的定义域为[1-，2]，即12x -≤≤211x ∴-≤-≤1[2x ∴-∈-，1]，故函数()f x 的定义域为[2,1]-，故答案为：[2,1]-.2.（2020·山西·太原五中高一阶段练习）若函数(21)f x -的定义域为[0,1]，则函数()f x 的定义域为（）A ．[1,0]-B ．[3,0]-C ．[0,1]D ．[1,1]-【答案】D【解析】由函数(21)f x -的定义域为[0,1]，可求出1211-≤-≤x ，令x 代替21x -，可得11x -≤≤，即可求出函数()f x 的定义域.【详解】因为函数(21)f x -的定义域为[0,1]，由01x ，得1211-≤-≤x ，所以()y f x =的定义域是[1,1]-，故选：D3.（2023·全国·高一专题练习）已知()21f x -的定义域为⎡⎣，则()f x 的定义域为（）A ．[]22-,B ．[]0,2C ．[]1,2-D ．⎡⎣【答案】C【分析】由x ≤≤2x -.【详解】因为2(1)f x -的定义域为[，所以x ≤≤所以2112x -≤-≤，所以()f x 的定义域为[1,2]-．故选：C【题型五】抽象函数定义域3：f(g(x))→f(h （x ）)型【典例分析】（2022·全国·高一课时练习）函数()3=-y f x 的定义域为[]4,7，则()2y f x =的定义域为（）A ．()1,4B ．[]1,2C ．()()2,11,2--⋃D ．[][]2,11,2-- 【答案】D【分析】利用抽象函数的定义域解法结合一元二次不等式的解法即可求解.【详解】解：因为函数()3=-y f x 的定义域为[]4,7所以47x ≤≤即134x ≤-≤所以214x ≤≤解得：[][]2,11,2x ∈--⋃所以()2y f x =的定义域为[][]2,11,2-- 故选：D.1.（2021·辽宁·沈阳市第一中学高一期中）函数()1f x +的定义域为[]1,2-，则函数()2f x 的定义域为（）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】当[]1,2x ∈-得到[]1,13x +∈，根据123x ≤≤解得答案.【详解】函数()1f x +的定义域为[]1,2-，即[]1,2x ∈-，故[]0,2x ∈，[]1,13x +∈.123x ≤≤，解得13,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选：D.2.（2022·全国·高一课时练习）若函数()22f x -的定义域为[]1,3-，则函数()f x 的定义域为______；若函数()23f x -的定义域为[)1,3，则函数()13f x -的定义域为______.【答案】[]2,7-22,33⎛⎤-⎥⎝⎦【分析】根据抽象函数定义域求解即可.【详解】因为函数()22f x -的定义域为[]1,3-，即13x -≤≤，所以209x ≤≤，2227x -≤-≤，故函数()f x 的定义域为[]2,7-.因为函数()23f x -的定义域为[)1,3，即13x ≤<，所以1233x -≤-<，则函数()f x 的定义域为[)1,3-，令1133x -≤-<，得2233x -<≤，所以函数()13f x -的定义域为22,33⎛⎤- ⎥⎝⎦.故答案为:[]2,7-，22,33⎛⎤- ⎥⎝⎦3.（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一阶段练习）(21)f x -的定义域为[0,1)，则(13)f x -的定义域为（）A ．(2,4]-B ．12,2⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,6⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【分析】先由[0,1)x ∈，求出21x -的范围，可求出()f x 的定义域，而对于相同的对应关系，21x -的范围和13x -相同，从而可求出(13)f x -的定义域.【详解】因为01x ≤<，所以022x ≤<，所以1211x -≤-<，所以()f x 的定义域为[1,1)-，所以由1131x -≤-<，得203x <≤，所以(13)f x -的定义域为20,3⎛⎤⎥⎝⎦，故选：C 【题型六】抽象函数定义域4：f(x)→f(g（x）)+f(h（x）)【典例分析】（2021·全国·高一单元测试）已知函数()f x 的定义域为()0,1，若10,2c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数()()()g x f x c f x c =++-的定义域为（）A ．(),1c c --B ．(),1c c -C ．()1,c c -D ．(),1c c +【答案】B【分析】由已知函数的定义域有0101x c x c <+<⎧⎨<-<⎩，即可求复合函数的定义域.【详解】由题意得：0101x c x c <+<⎧⎨<-<⎩，即11c x c c x c-<<-⎧⎨<<+⎩，又10,2c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴1c x c <<-．故选：B1.（2021·安徽蚌埠·高一期末）已知函数()f x 的定义域是[]0,2，则函数()1122g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域是（）A ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,2【答案】A【解析】根据函数定义域的性质进行求解即可.【详解】因为函数()f x 的定义域是[]0,2，所以有：102132122022x x x ⎧≤+≤⎪⎪⇒≤≤⎨⎪≤-≤⎪⎩.故选：A2.（2020·安徽·繁昌皖江中学高一期中）已知函数()f x 的定义域为[0,4]，求函数2(3)()y f x f x =++的定义域为（）A ．[2,1]--B ．[1,2]C ．[2,1]-D ．[1,2]-【答案】C【分析】根据抽象函数的定义域得到关于x 的不等式组，解出即可【详解】函数()f x 的定义域为[0,4]，所以函数2(3)()y f x f x =++的定义域满足：203404x x ≤+≤⎧⎨≤≤⎩解得3122x x -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，即21x -≤≤所以函数2(3)()y f x f x =++的定义域为[2,1]-故选：：C3.（2021·江西·黎川县第一中学高一阶段练习）若函数()y f x =的定义域是[0,1]，则函数()()(2)(01)F x f x a f x a a =+++<<的定义域是（）A ．1,22a a -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．,12a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[,1]a a --D ．1,2a a -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】根据抽象函数定义域的求法列不等式组，解不等式组求得()F x 的定义域.【详解】依题意101102122a x a x a a a x a x ⎧-≤≤-⎧≤+≤⎪⎪⇒⎨⎨-≤+≤-≤≤⎪⎪⎩⎩，由于01a <<，所以111101222a a a a a -----=>⇒->，0222a a a a a ⎛⎫---=-<⇒-<- ⎪⎝⎭，所以由1122a x aa a x -≤≤-⎧⎪⎨--≤≤⎪⎩解得122a a x --≤≤.所以()F x 的定义域为1,22a a -⎡⎤-⎢⎣⎦.故选：A【题型七】抽相与具体函数混合型【典例分析】（2022·黑龙江·铁人中学高一期末）已知函数()22f x -的定义域为{}|1x x <，则函数()211f x x --的定义域为（）A ．(,1)-∞B ．(,1)-∞-C ．()(),11,0-∞--U D ．()(),11,1-∞-- 【答案】D【分析】先求出()f x 的定义域，再根据分母不为零和前者可求题设中函数的定义域.【详解】因为函数()22f x -的定义域为{}|1x x <，故220x -<，所以()f x 的定义域为(),0-∞，故函数()211f x x --中的x 需满足：21010x x -<⎧⎨-≠⎩，故1,1x x <≠-，故函数()211f x x --的定义域为()(),11,1-∞-- ，故选：D.1.（2021·河南·高一期中）已知函数()21y f x =-的定义域是[]2,3-，则y =是（）A ．[]2,5-B ．(]2,3-C ．[]1,3-D ．(]2,5-【答案】D【分析】根据给定复合函数求出()f x 的定义域，再列式求解作答.【详解】因函数()21y f x =-的定义域是[]2,3-，即()21f x -中[]2,3x ∈-，则21[5,5]x -∈-，因此，y =5520x x -≤≤⎧⎨+>⎩，解得25x -<≤，所以y =(]2,5-.故选：D2.（2022·全国·高一专题练习）设()f x 22x f f x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域为．A ．（－4,0)∪（0,4)B ．（－4，－1)∪（1,4)C ．（－2，－1)∪（1,2)D ．（－4，－2)∪（2,4)【答案】B【详解】试题分析：要使函数有意义，则2>02x x +-解得22x ∈-（，），22x f f x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有意义，须确保两个式子都要有意义，则222{222x x-<<-<<⇒4114x ∈--⋃（，）（，），故选B .考点：1.函数的定义域；2.简单不等式的解法.3.2021·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习）若函数()1f x +的定义域为[]1,15-，则函数()2f x g x =）A ．[]1,4B ．(]1,4C ．[]1,14D ．(]1,14【答案】B【分析】首先根据函数()1f x +的定义域求出函数()y f x =的定义域，然后再列出()2f x g x =x 所满足的条件，从而可求出函数()2f x g x =.【详解】因为函数()1f x +的定义域为[]1,15-，所以115x -≤≤，所以0116x ≤+≤，所以函数()y f x =的定义域为[]0,16，所以要使函数()2f x g x =201610x x ⎧≤≤⎨->⎩，解得14x <≤，所以函数()2f x g x =(]1,4.故选：B ．【题型八】嵌入型（内外复合）函数型定义域【典例分析】（2021·全国·高一课时练习）已知()11f x x =+，则()()f f x 的定义域为（）A ．{}|2x x ≠-B ．{}|1x x ≠-C ．{1x x ≠-且}2x ≠-D ．{0x x ≠且}1x ≠-【答案】C【分析】利用分母不为0及复合函数的内层函数不等于0求解具体函数定义域【详解】因为1()1f x x =+，所以1x ≠-，又因为在(())f f x 中，()1f x ≠-，所以111x ≠-+，所以2x ≠-，所以(())f f x 的定义域为{1x x ≠-且}2x ≠-.故选：C1.（2020·江西省临川第二中学高一阶段练习）已知函数()f x 的定义域为(0,1]，()g 2x x =+，那么()()f g x 的定义域是（）A ．(2,3]B ．[0,1)C ．(0,1]D ．(2,1]--【答案】D【解析】本题首先可根据题意得出()01g x <≤，然后通过计算即可得出结果.【详解】因为函数()f x 的定义域为(0,1]，()g 2x x =+，所以函数()()f g x 需要满足()01g x <≤，即021x <+≤，解得21x -<≤-，()()f g x 的定义域是(2,1]--，故选：D.2.（2020·全国·高一）设()11f x x-＝，则()f f x ⎡⎤⎣⎦＝________.【答案】1x x-(0x ≠，且1x ≠)【分析】将()f x 的解析表达式中的x 用()f x 替换，然后化简整理即得，注意根据原函数的定义域确定复合函数()()f f x 的定义域【详解】∵()11f x x=-，∴()()1111111111x 1x f f x x f x x x-⎡⎤===⎣⎦------＝.由于()11f x x =-中1x ≠，∴()f f x ⎡⎤⎣⎦中()1f x ≠，即111x≠-，∴0x ≠，且1x ≠，故答案为：1x x-(0x ≠，且1x ≠)【题型九】恒成立含参型【典例分析】（2022·全国·高一专题练习）若函数()f x =的定义域为R ，则a 的范围是（）A ．[0,4]B ．[0,4)C ．D ．(0,4)【答案】A【分析】根据给定条件，可得210ax ax ++≥，再分类讨论求解作答.【详解】依题意，R x ∀∈，210ax ax ++≥成立，当0a =时，10≥成立，即0a =，当0a ≠时，2Δ40a a a >⎧⎨=-≤⎩，解得04a <≤，因此得04a ≤≤，所以a 的范围是[0,4].故选：A1.（2021·四川·遂宁中学高一阶段练习）已知函数()f x =的定义域是R ，则m的取值范围是（）A ．04m ≤<B ．01m ≤≤C ．4m ≥D ．04m ≤≤【答案】A【分析】对m 分0,0m m =≠两种情况讨论得解.【详解】解：由题得210mx mx ++≠的解集为R .当0m =时，10≠，符合题意；当0m ≠时，240,04m m m ∆=-<∴<<.综合得04m ≤<.故选：A2.（2022·全国·高一专题练习）已知y =的定义域是R ，则实数a 的取值范围是()A．⎛ ⎝⎭B．⎫⎪⎪⎝⎭C．33,22⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭⎝⎭D．3322⎛-+ ⎝⎭【答案】D【分析】结合函数特征和已知条件可得到21(1)04ax a x +-+>解集为R ，当0a =时，可得到与已知条件矛盾；当0a ≠时，结合一元二次函数图像即可求解.【详解】由题意可知，21(1)04ax a x +-+>的解集为R ，①当0a =时，易知211(1)044ax a x x +-+=-+>，即14x <，这与21(1)04ax a x +-+>的解集为R 矛盾；②当0a ≠时，若要21(1)04ax a x +-+>的解集为R ，则只需21(1)4y ax a x =+-+图像开口向上，且与x 轴无交点，即判别式小于0，即20(1)0a a a >⎧⎨∆=--<⎩a <<综上所述，实数a的取值范围是33,22⎛+ ⎝⎭.故选：D.3.（2021·广东·深圳市南山外国语学校（集团）高级中学高一阶段练习）若函数()f x =R ，则实数m 的取值范围是（）A ．(0,4B ．[)0,4C ．[]0,4D ．(]0,4【答案】B【分析】由题意可知224mx mx ++>0的解集为R ，分0m =，0m <，0m >三种情况讨论，即可求解.【详解】解：函数的定义域为R ，即不等式的解集224mx mx ++>0的解集为R 当0m =时，得到40>，显然不等式的解集为R ；当0m <时，二次函数224y mx mx =++开口向下，函数值y 不恒大于0，故不等式的解集不可能为R ；当0m >时，二次函数224y mx mx =++开口向上，由不等式的解集为R ，等到二次函数与x 轴没有交点，24160m m ∆=-<，解得04m <<；综上所述，实数m 的取值范围[)0,4.故选：B【题型十】对数函数定义域【典例分析】（2020·黑龙江哈尔滨·高一阶段练习（理））函数y =R ，则实数a 的取值范围是A ．[0,)+∞B ．[1,0)(0,)-⋃+∞C ．(,1)-∞-D ．[1,1)-【答案】A【详解】当0a =时，y =R ;当0a ≠时，函数的值域为R ，则221ax x +-的开口向上，且判别式大于等于零，即0{440a a >+≥，解得0a >.故实数a 的取值范围是[0,)+∞.故选：A.1.（2022·山东·枣庄市第三中学高一开学考试）已知函数()f x 的定义域为()0,1，则()12log 21y f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦的定义域为___________.【答案】3,14⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据()f x 的定义域，求得()12log 21x -的取值范围，由此求得x 的取值范围，也即求得函数()12log 21y f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦的定义域.【详解】由于函数()f x 的定义域为()0,1，所以()12log 2011x <-<，即()111222log log 21lo 112g x -<<，由于12log y x =在定义域上递减，所以12112x <-<，解得314x <<.所以函数()12log 21y f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦的定义域为3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：3,14⎛⎫⎪⎝⎭2.（2021·山东省实验中学高一阶段练习）函数()f x =的定义域为___________.【答案】(]1,3##{|13}x x <≤【分析】由函数的解析式中含有二次根式和对数式，可由二次根式的被开方数非负及对数式的真数大于零联立不等式组，解之即可.需注意不等式的定义域须写成集合或区间形式.【详解】解：由题意可得，自变量x 须满足不等式组：41log (1)0210x x ⎧--≥⎪⎨⎪->⎩41log (1)210x x ⎧-≤⎪⇔⎨⎪->⎩1210x x -≤⎧⇔⎨->⎩13x ⇔<≤所以函数()f x ={|13}x x <≤.故答案为：{|13}x x <≤.3.（2019·黑龙江·哈九中高一阶段练习（文））已知集合{}10A x x =->，22log 1x B x y x ⎧⎫-==⎨⎬+⎩⎭，则()A B =R ð（）A ．[)0,1B ．()1,2C ．(]1,2D ．[)2,+∞【答案】C【分析】求出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义可求出集合()R A B ð.【详解】{}()101,A x x =->=+∞ ，()()222log 0,12,11x x B x y xx x ⎧⎫⎧⎫--===>=-∞-⋃+∞⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭，则[]1,2R B =-ð，因此，()(]1,2R A B = ð.故选：C.【题型十一】定义域：解指数函数不等式【典例分析】（2022·全国·高一专题练习）已知函数()f x =[)2,+∞，则=a _________．【答案】4【分析】由已知可得不等式20x a -≥的解集为[)2,+∞，可知2x =为方程20x a -=的根，即可求得实数a 的值.【详解】由题意可知，不等式20x a -≥的解集为[)2,+∞，则220a -=，解得4a =，当4a =时，由240x -≥，可得2242x ≥=，解得2x ≥，合乎题意.故答案为：4.1.（2023·全国·高一专题练习）已知函数()ln f x x =()2f x 的定义域为（）A ．()01，B ．()12，C ．(]04，D ．(]02，【答案】D【分析】通过求解f (x )的定义域，确定f (2x )的中2x 的范围，求出x 范围，就可确定f (2x )定义域【详解】要使函数()ln f x x =+01620xx >⎧⎨-≥⎩，解得04x <≤，()f x 的定义域为(]0,4，由024x <≤，解得02x <≤，()2f x 的定义域为(]0,2，故选D.2.（2022·全国·高一专题练习）函数()f x =___________.【答案】(,0]-∞【分析】根据具体函数的定义域求法，结合指数函数的单调性求解.【详解】解：由1102x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得011122⎛⎫⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ，所以0x ≤，所以函数的定义域为(,0]-∞，故答案为：(,0]-∞3.（2022·全国·高一专题练习）函数y ________.【答案】(－∞，－2]∪[2，＋∞)【分析】根据开偶数次方根号里的数大于等于零，结合指数函数的单调性解之即可得解.【详解】由题意有22390x --≥，即22233x -≥，所以222x -≥，即24x ≥，所以2x ≥或2x -≤，故所求函数的定义域为(－∞，－2]∪[2，＋∞).故答案为：(－∞，－2]∪[2，＋∞).【题型十二】正切函数定义域【典例分析】（2022·安徽·泾县中学高一开学考试）函数()f x 的定义域为___________.【答案】|,Z 44x k x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【分析】根据开偶数次发，根号里的数大于等于零，解正切函数不等式即可得解.【详解】解：由21tan 0x -≥，有1tan 1x -≤≤，可得ππππ44k x k -+≤≤，k ∈Z ，所以函数()f x 的定义域为|,Z 44x k x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.故答案为：|,Z 44x k x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.1.（2022·云南昭通·高一期末）函数3tan 24y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的定义域为___________.【答案】5|,Z 82k x x k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【分析】先得到使函数有意义的关系式32,Z 42x k k πππ-≠+∈，求解即可.【详解】若使函数有意义，需满足：32,Z 42x k k πππ-≠+∈，解得5,Z 82k x k ππ≠+∈；故答案为：5|,Z 82k x x k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭2.（2022·全国·高一课时练习）函数tan(6)4y x π=+的定义域为________．【答案】{|,Z}624k x x k ππ≠+∈【分析】由6,Z 42x k k πππ+≠+∈，即得.【详解】由题意，要使函数tan(6)4y x π=+的解析式有意义，自变量x 须满足：6,Z 42x k k πππ+≠+∈，解得,Z 624k x k ππ≠+∈，故函数tan(6)4y x π=+的定义域为{|,Z}624k x x k ππ≠+∈，故答案为：{|,Z}624k x x k ππ≠+∈【题型十三】解正弦函数不等式求定义域【典例分析】（2022·北京八中高一期中）函数()2()lg 14sin f x x =-的定义域为________.【答案】,,66k k k Zππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭【分析】根据对数的真数大于0，解不等式即可得出答案.【详解】由题意得：214sin 0x ->，所以sin 1122x <-<，所以,66k x k k Z ππππ-+<<+∈，函数()f x 的定义域为：,,66k k k Zππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭1.（2023·全国·高一专题练习）函数y =___________.【答案】5(2,2Z)66k k k ππππ++∈【分析】根据给定条件，列出不等式，解正弦不等式即可作答.【详解】依题意，1sin 02x ->，即1sin 2x >，解得522,Z 66k x k k ππππ+<<+∈，所以所求定义域为5(2,2Z)66k k k ππππ++∈.故答案为：5(2,2Z)66k k k ππππ++∈2.（2023·全国·高一专题练习）函数()f x =________________．【答案】(][]4,0,ππ-- 【分析】根据f(x )解析式列出不等式组，解不等式组即可得到定义域﹒【详解】()f x = 2sin 0160x x ⎧∴⎨->⎩ ，解得22,44k x k k Zx πππ+∈⎧⎨-<<⎩ ，对于22,k x k k Z πππ+∈ ，当0k =时，0x π ，当1k =时，23x ππ ，当1k =-时，2x ππ-- ，当2k =-时，43x ππ-- ，∴不等式组的解为：4x π-<- 或0.x π ()f x ∴的定义域为][(4,0,.ππ⎤--⋃⎦故答案为：][(4,0,.ππ⎤--⋃⎦3..（2023·全国·高一专题练习）函数()f x =的定义域为__________.【答案】5{|22,}44x k x k k Z ππππ-≤≤+∈【分析】由二次根式中被开方数非负，结合正弦函数性质可得．【详解】由题意10x ≥，sin 2x ≤，所以52244k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈．故答案为：5{|22,}44x k x k k Z ππππ-≤≤+∈．【题型十四】解余弦函数不等式求定义域【典例分析】（2022·陕西省安康中学高一期末）函数1()ln cos 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为_______________．【答案】ππ2π,2π,33⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭k k k Z【分析】由题可知，解不等式1cos 2x >即可得出原函数的定义域.【详解】对于函数1()ln cos 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，有1cos 02x ->，即1cos 2x >，解得()ππ2π2π33-<<+∈k x k k Z ，因此，函数1()ln cos 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为ππ2π2π,33x k x k k ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z .故答案为：ππ2π,2π,33⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭k k k Z .【提分秘籍】基本规律余弦函数定义域是全体实数，本身没有限制。
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法(含答案)
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法一. 求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 求函数的解析式3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y 。
（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数f ［g （x ）］的表达式，求f （x ）的表达式时可以令t ＝g （x ），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f （x ）和f （－x ），或f （x ）和f （1/x ）的一个方程，则可以x 代换－x （或1/x ），构造出另一个方程，解此方程组，消去f （－x ）（或f （1/x ））即可求出f （x ）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y ＝f ［g （x ）］的定义域的求解，应先由y ＝f （u ）求出u 的范围，即g （x ）的范围，再从中解出x 的范围I 1；再由g （x ）求出y ＝g （x ）的定义域I 2，I 1和I 2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
专题04 求函数的定义域、值域(解析版)
专题04 求函数的定义域、值域【热点聚焦与扩展】函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，也是高考的热点.函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.所以在掌握定义域求法的基础上，掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决.（一）函数的定义域1.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.2.①若的定义域为，则不等式的解集即为函数的定义域； ②若的定义域为，则函数在上的的值域即为函数的定义域．3.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.4.与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义； 第三类是不给出函数的解析式，而由的定义域确定函数的定义域或由的定义域确定函数的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决． （二）函数的值域1.利用函数的单调性:若是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值.2.利用配方法:形如型,用此种方法,注意自变量x 的范围.3.利用三角函数的有界性,如.4.利用“分离常数”法:形如y= 或 (至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法. 一般地，()y f x =(),a b ()a g x b <<()()y f g x =()()y f g x =(),a b ()g x (),a b ()y f x =()f x )]([x g f )]([x g f ()f x )(x f ],[b a )(a f )(b f )(x f ],[b a 2(0)y ax bx c a =++≠sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-ax b cx d ++2ax bx ey cx d++=+c a ,① ：换元→分离常数→反比例函数模型② ：换元→分离常数→模型③ ：同时除以分子：→②的模型 ④ ：分离常数→③的模型共同点：让分式的分子变为常数5.利用换元法: 在高中阶段，与指对数，三角函数相关的常见的复合函数分为两种： ① ：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，在求值域时可先确定的范围，再求出函数的范围. ② ：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，所以可利用换元将解析式转为的形式，然后求值域即可. ③形如,可用此法求其值域. 6.利用基本不等式法:7.导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域8.分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围．数形结合法也可很方便的计算值域. 9.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部 分剔除.10.数形结合法：即作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合.（1）的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该 函数的图象，从而利用图象求得函数的值域.（2）函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形结合求得值域，ax by cx d+=+2ax bx cy dx e++=+a y x x =±2dx ey ax bx c+=++21y ax bx c dx e=+++22ax bx cy dx ex f++=++()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()f x ()()(),log ,sin xay f ay f x y f x ===()y f t =y ax b =+()f x ()f x如：分式→直线的斜率；被开方数为平方和的根式→两点间距离公式.（三）常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（1）一次函数（）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域. （2）二次函数（），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）. （3）反比例函数：（1）图像关于原点中心对称（2）当 ，当. （4）对勾函数： ① 解析式特点：的系数为1；注：因为此类函数的值域与相关，求的值时要先保证的系数为，再去确定的值 例：，并不能直接确定，而是先要变形为，再求得② 极值点：③ 极值点坐标：y kx b =+2y ax bx c =++1y x=,0x y →+∞→,0x y →-∞→()0ay x a x=+>x 0a>a a x 1a 42y x x =+4a =22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2a=x x ==(,-④ 定义域：⑤ 自然定义域下的值域： （5）函数： 注意与对勾函数进行对比① 解析式特点：的系数为1； ② 函数的零点：③ 值域：（5）指数函数（）：其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为（6）对数函数（）其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为【经典例题】()(),00,-∞+∞(),2,a ⎡-∞-+∞⎣()0ay x a x=->x 0a >x =R xy a =1a >01a <<()0,+∞log a y x =1a >01a <<()0,+∞例1.【2020年高考北京卷11】函数1()=ln 1f x x x ++的定义域是__________． 【答案】(0,)+∞【解析】要使得函数1()ln 1f x x x =++有意义，则100x x +≠⎧⎨>⎩，即0x >，∴定义域为(0,)+∞． 【专家解读】本题考查了分式函数、对数函数定义域的求法，考查数学运算学科素养．例2．【河南省部分重点高中2020届高三三模】函数ln y x=的定义域是（ ）A ．（0，1）∪（1，4]B ．（0，4]C ．（0，1）D ．（0，1）∪[4，+∞） 【答案】A 【解析】2340ln ln 0,0x x x y x x x ⎧-++≥-=⎨≠>⎩14(0,1)(1,4]0,1x x x x -≤≤⎧∴∴∈⋃⎨>≠⎩故选：A【专家解读】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.例3．【福建省2020届高三考前冲刺适应性模拟卷】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为（） A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1 D ．(]1,4 【答案】C【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠ .所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩解得01x ≤<故答案为C例4．【山东省济宁市第一中学2020届高三三模】函数()1lnxf x x =-的定义域为（ ）A ．[)()0,11,⋃+∞B ．()()0,11,⋃+∞C ．[)0,+∞D ．()0,+∞【答案】B【解析】函数ln ()1xf x x =-，∴010x x >⎧⎨-≠⎩， 解得x ＞0且x≠1，∴f （x ）的定义域为（0，1）∪（1，+∞）．故选：B ．例5．【黑龙江省哈尔滨市第一中学校2020届高三三模】已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ） A ．(1,1)- B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2【答案】B【解析】因为函数()f x 的定义域为(1,0)-，故函数(21)f x +有意义只需-1210x <+<即可，解得1-1-2x <<，选B ．例6．【山东省实验中学2020年高三三模】若函数()f x 的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．22（﹣，）B ．22∞∞⋃+（﹣，﹣）（，）C ．][22∞∞⋃+（﹣，﹣，）D ．[]22﹣，【答案】D【解析】因为函数()f x =R ，所以开口向上的二次函数的图象，与x 轴没有交点，即240,22a a ∆=-≤-≤≤，即实数a 的取值范围为[]22﹣，，故选D. 【专家解读】本题考查函数的定义域、二次函数的图象与性质以及一元二次方程的根与系数的关系，属于简答题.对于定义域为R 求参数的题型，主要有三种：（1）根式型，()f x =，只需00a >⎧⎨∆≤⎩；（2）对数型，()()2log m f x ax bx c =++，只需00a >⎧⎨∆<⎩，（3）分式型，()21f x ax bx c =++，只需00a ≠⎧⎨∆<⎩. 例7．【山东省泰安市2020届高三6月全真模拟（三模）数学试题】已知函数()f x =()11f x x -+的定义域为（ ）A ．(),1-∞B ．(),1-∞-C ．()(),11,0-∞--D ．()(),11,1-∞--【答案】D【解析】令24x x >，即21x <，解得0x <. 若()11f x x -+有意义，则10,10x x -<⎧⎨+≠⎩，即()(),11,1x ∈-∞-⋃-.故选：D.【专家解读】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力，属于基础题.【精选精练】1．【江西省宜春市宜丰中学2020高三三模】函数()()2log 1f x x =- ） A ．(),1-∞ B ．[)1,1-C ．(]1,1-D ．[)-1,+∞ 【答案】B【解析】使函数有意义的x 满足1010x x ->⎧⎨+≥⎩解得11x -≤<即函数()()2log 1f x x =-+[)1,1-.故选B.【专家解读】本题考查了具体函数定义域，属于基础题.2．【2020届北京市东城区高三三模】下列函数中，与函数()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域和值域都相同的是（ ）A ．22y x x =+，0x >B ．1y x =+C ．10x y -=D ．1y x x=+【答案】C【解析】由指数函数性质知：()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ，值域为()0,∞+.对于A ，定义域为()0,∞+，与()f x 不同，A 错误； 对于B ，值域为[)0,+∞，与()f x 不同，B 错误；对于C ，定义域为R ，值域为()0,∞+，与()f x 相同，C 正确； 对于D ，定义域为{}0x x ≠，与()f x 不同，D 错误. 故选：C .【专家解读】本题考查函数定义域和值域的求解问题，属于基础题.3．【吉林省梅河口市第五中学2020届高三第七次模拟考】已知函数()21,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a=有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3122344x x x x x -++的取值范围是（ ） A ．(]6,9 B ．()6,9C．()+∞D．)⎡+∞⎣【答案】A【解析】作出函数()21,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩的图像如下：因为方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<， 所以有122x x +=-，341x x =，故()31232343442x x x x x x x -++=+， 再由2log 1x =可得2x =或12x =， 即3112x ≤<，令4()2g x x x =+，(112x ≤<)， 则24()2g x x'=-，因为112x ≤<，所以24()20g x x'=-<，即函数4()2g x x x =+在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减， 又1()1892g =+=，(1)246g =+=，所以(]()6,9g x ∈. 即()3122344x x x x x -++的取值范围是(]6,9 故选A【专家解读】本题主要考查根据方程的根求取值范围的问题，通常需要结合函数图像求解，灵活运用数形结合的思想即可，属于常考题型.4．【浙江省宁波市镇海中学2020届高三仿真测试数学试题】若函数()f x 满足()()a f x b a b ≤≤<，定义b a -的最小值为()f x 的值域跨度，则下列函数中值域跨度不为2的是（ ）A ．()cos21f x x =+B ．()f x =C ．()1f x x x =--D ．()3232x xx xf x -=+ 【答案】B【解析】∵1cos21x -≤≤，∴0cos212x ≤+≤， 即函数()cos21f x x =+的值域为[]0,2，值域跨度为2； ∵()2221122x x x -++=--+≤， ∴()f x =⎡⎣；∵1,0()121,011,1x f x x x x x x -≤⎧⎪=--=-<<⎨⎪≥⎩，∴函数()1f x x x =--的值域为[]1,1-，值域跨度为2；∵323222222()11(1,1)323232312x x x x x xxx x x x x x f x -+-⋅⋅===-=-∈-+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，值域跨度为2；故选：B.【专家解读】本题主要考查函数值域的求法，掌握初等函数的性质是解题的关键，属于中档题.5．【2020届湖北省高三高考模拟调研考试】函数y x = ）.A．2⎡⎤-⎣⎦B ．[]0,4C．0,2⎡+⎣D．2⎡-+⎣【答案】A【解析】因为y x = 由240x x -，解得04x ．可得函数()y f x x ==-[]0,4．又()1f x '==．令()(2)g x x =-，则()()()1222410g x x x x -'=--+>，即()f x '在[]0,4上单调递增，(2)0x -=，解得2x =即()f x在0,2⎡⎣上单调递减，在2⎡⎤⎣⎦上单调递增，所以2x =为极小值点，又(22f -=-(0)0f =，()44f =．∴函数y x =的值域为2⎡⎤-⎣⎦．故选：A ．【专家解读】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．【东北三省三校2020届高三第四次模拟考试】已知函数()2cos 4x x xf x a=+是偶函数，则函数()f x 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．3【答案】C【解析】因为函数()2cos 4x x xf x a=+是偶函数，所以()()f x f x -=，即()2cos 2cos 44x x x xx x a a---=++，化简可得：()4141x xa -=-， 解得：1a =，即()2cos cos =4122x x xxx xf x -=++. 又因为c o s 1x ≤，222x x -+≥，所以()12f x ≤（当且仅当0x =时两个“=”同时成立）. 故选：C.【专家解读】本题考查偶函数的定义，考查求函数的最值，合理利用基本不等式和函数性质是解答本题的关键，属于中档题.7．【江西省赣州一中2020年高三三模】已知函数2()32(3)3f x x m x m =-+++的值域为[0,)+∞，则实数m 的取值范围为（ ）A ．{0,3}-B ．[3,0]-C ．(,3][0,)-∞-⋃+∞D ．{0,3}【答案】A【解析】∵函数2()32(3)3f x x m x m =-+++的值域为[0,)+∞， ∴2[2(3)]43(3)0m m ∆=-+-⨯⨯+= ∴30m =-或∴实数m 的取值范围为{0,3}-【专家解读】本题考查通过观察二次函数的图象，根据函数的值域求参数的取值范围.8．【2020届湖南省五岳高三6月联考】函数()26512x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．(]0,16B ．[)16,+∞C ．10,16⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】设2265(3)44u x x x =-+=--≥-，则()1,42uf u u ⎛⎫=≥- ⎪⎝⎭， 因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，所以()()0416f u f <≤-=，即值域为(]0,16. 故选:A.【专家解读】本题考查了函数值域的求解.本题的难点是利用换元法，结合函数的性质求值域.一般地，求函数的值域时，常结合函数的图像、导数、函数的性质、基本不等式进行求解.9．【2020届百校联考高考考前冲刺必刷卷】函数()284f x x x =-+在[]1,8上的值域为（ ）A ．[]12,3--B ．[]16,4-C ．[]3,4-D ．[]12,4-【答案】D【解析】函数()284f x x x =-+的对称轴为4x =，由于二次函数()f x 的开口向上，故函数()f x 在4x =处取到最小值()24484412f =-⨯+=-，最大值为()2888844f =-⨯+=，故所求值域为[]12,4-. 故选：D.【专家解读】本题考查了二次函数性质的简单应用，由定义域求函数的值域，属于基础题.10．【2020届福建省福州第一中学高三考试数学试题】若函数y (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]， 所以a >1，y [0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)1，f (1)＝0，所以a ＝2， 所log a56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C【专家解读】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.11．【2020届上海市高三高考压轴卷数学试题】函数()lg 2cos 21y x =-的定义域是______. 【答案】553,,,36666ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦【解析】因为()lg 2cos 21y x =-，所以2902cos 210x x ⎧-≥⎨->⎩，所以331cos 22x x -≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，所以33,66x k x k k Z ππππ-≤≤⎧⎪⎨-<<+∈⎪⎩， 解得536x π-≤<-或66x ππ-<<或536x π<≤. 故答案为：553,,,36666ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦ 【专家解读】本题主要考查函数定义域的求法以及一元二次不等式，三角不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．【2020届江苏省淮安市新淮高级中学高三调研数学试题】函数()2134lg x y x x -=--的定义域是____________【答案】()(),11,1-∞--【解析】()2134lg x y x x -=--∴210340x x x ->⎧∴⎨--≠⎩解得1x <且1x ≠-即即函数()2134lg x y x x -=--的定义域为()(),11,1-∞--，故答案为：()(),11,1-∞--【专家解读】本题主要考查了分式函数与对数函数的定义域，以及不等式组的解法，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．13．【2020届上海市高考模拟数学试题】对于函数()f x =,其中0b >,若()f x 的定义域与值域相同,则非零实数a 的值为______________. 【答案】-4【解析】函数()f x ，其中0b > 若0a >，由于20ax bx +≥，即()0x ax b +≥， ∴对于正数b ，()f x 的定义域为:,[0,)b D a⎛⎤=-∞-+∞ ⎥⎝⎦，但()f x 的值域[)0,A ⊆+∞，故D A ≠，不合要求.若0a <，对于正数b ，()f x 的定义域为D 0,a b ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦. 由于此时max [()]2b f x f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭A ⎡=⎢⎣. 由题意，有b a -=，由于0b >，所以4a =﹣. 故答案为：﹣4【专家解读】本题考查了函数的定义域和值域，意在考查学生的计算能力.14．【2020届陕西省咸阳市高三高考模拟检测数学试题】如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”. 试写出y =“同域函数”的解析式为____________.【答案】23xy =-，[]1,2x ∈（答案不唯一）【解析】由1020x x -≥⎧⎨-≥⎩得：12x ≤≤ y ∴=[]1,2又y =∴值域为[]1,1-y ∴=的一个“同域函数”为23x y =-，[]1,2x ∈故答案为：23xy =-，[]1,2x ∈（答案不唯一）【专家解读】本题考查函数新定义的问题，关键是能够明确新定义的含义实际是确定定义域和值域相同的函数，通过求解函数的定义域和值域得到所求函数.15．【浙江省衢州二中2020届高三下学期6月模拟数学试题】已知函数()f x =[)0,+∞，则实数t 的取值范围是__________．【答案】1(,]4-∞【解析】令221ty x x =+-， 当0t <时，22211,(0)t t y x m m x x m =+-=+-=>，因为1t y m m=+-在(0,)+∞上单调递增，因此221ty x x=+-值域为[),0,R +∞为R 的子集，所以0t <；当0t =时，222111t y x x x=+-=-≥-， [)0,+∞为[1,)-+∞的子集，所以0t =；当0t >时，22111,t y x x =+-≥=，当且仅当||x =[)0,+∞为1,)+∞的子集，所以11004t ≤∴<≤； 综上，14t ≤故答案为：1(,]4-∞【专家解读】本题考查函数值域、利用基本不等式求值域，考查分类讨论思想方法以及基本求解能力，属中档题.16．【2020届江苏省南京市第二十九中高三三模】已知函数()[]11,1,05xf x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，()22log +3,g x a x a x ⎤=∈⎥⎢⎥⎣⎦，若对任意的0x ⎤∈⎥⎢⎥⎣⎦，总存在[]11,0x ∈-使得()()01g x f x =成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】01a ≤≤【解析】因为函数()151xf x ⎛⎫= ⎪⎭-⎝在[1,0]-上单调递减，所以(0)()(1)f f x f ≤≤-，即0()4f x ≤≤， 所以函数()f x 的值域为[0,4]，因为对任意的0x ⎤∈⎥⎢⎥⎣⎦，总存在[]11,0x ∈-使得()()01g x f x =成立， 故()g x 的值域是()f x 值域的子集，对22()log 3g x a x a =+，2]2x ∈， 当0a =时，()0g x =，符合题意； 当0a ≠时，函数()g x在,2]2单调递增，所以2213()32a a g x a a -≤≤+，所以22103234a a a a ⎧≤-⎪⎨⎪+≤⎩，，解得01a ≤≤，又0a ≠，所以01a <≤， 综上，实数a 的取值范围是[0,1]． 故答案为：[0,1]【专家解读】本题主要考查等式型双变量存在性和任意性混搭问题，对于形如“任意的1x A ∈，都存在2x B ∈，使得12()()g x f x =成立”此类问题“等价转化”策略是利用()g x 的值域是()f x 值域的子集来求解参数的范围．。
高中数学求函数解析式解题方法大全与配套练习
高中数学求函数解析式解题方法大全及配套练习一、定义法：根据函数的定义求解析式用定义法。
【例1】【例2】【例3】【例4】二、待定系数法：（主要用于二次函数）已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式。
它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。
其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。
【例1】【解析】【例2】已知二次函数f（x）满足f（0）=0，f（x+1）= f（x）+2x+8，求f（x）的解析式.解：设二次函数f（x）= ax2+bx+c，则f（0）= c= 0 ①f（x+1）（x+1）= ax2+（2a+b）x+a+b②由f（x+1）= f（x）+2x+8 与①、②得解得故f（x）= x2+7x.【例3】三、换元（或代换）法：道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。
使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。
如：已知复合函数f [g（x）]的解析式，求原函数f（x）的解析式，把g（x）看成一个整体t，进行换元，从而求出f（x）的方法。
实施换元后,应注意新变量的取值围,即为函数的定义域.【例1】【解析】【例2】【例3】【例4】（1）在（1（2）1（3）【例5】（1（2）由【例6】四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．【例1】解则解得，上，(五)配凑法【例1】：2x当然，上例也可直接使用换元法即由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。
【例2】：分析：此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便。
实质上，配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的函数来表示出来，在通过整体换元。
和换元法一样，最后结果要注明定义域。
高中数学函数的定义域测试题(含答案)
高中数学函数的定义域测试题(含答案)高二数学函数的定义域与值域、单调性与奇偶性苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：函数的定义域与值域、单调性与奇偶性二. 教学目标：理解函数的性质，能够运用函数的性质解决问题。
三. 教学重点：函数性质的运用．四. 教学难点：函数性质的理解。
［学习过程］一、知识归纳：1. 求函数的解析式（1）求函数解析式的常用方法：①换元法（注意新元的取值范围）②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）③整体代换（配凑法）④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）（2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。
（3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。
2. 求函数的定义域求用解析式y＝f（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：①若f（x）是整式，则函数的定义域是实数集R；②若f（x）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f（x）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若f（x）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f（x）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.3. 求函数值域（最值）的一般方法：（1）利用基本初等函数的值域；（2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如型的函数）（4）函数的单调性：特别关注的图象及性质（5）部分分式法、判别式法（分式函数）（6）换元法（无理函数）（7）导数法（高次函数）（8）反函数法（9）数形结合法4. 求函数的单调性（1）定义法：（2）导数法：（3）利用复合函数的单调性：（4）关于函数单调性还有以下一些常见结论：①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______；②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性；（5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等（6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。
高中数学求函数定义域和值域专题训练含答案
高中数学求函数定义域和值域专题训练含答案姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、填空题（共1题）1、已知函数的定义域为，值域是，则的值域是，的定义域是．二、计算题（共8题）1、试求下列函数的定义域与值域:(1)f(x)=(x-1)2+1,x∈{-1,0,1,2,3};2、试求下列函数的定义域与值域:f(x)=(x-1)2+1;3、试求下列函数的定义域与值域:f(x)=;4、试求下列函数的定义域与值域:f(x)=x-.5、求下列函数的定义域：6、求下列函数的定义域：7、已知函数其定义域为[0，2][8，10].（1）当t=2时，求函数的值域；（2）当t=2时，求函数的反函数；（3）当在定义域内有反函数时，求t的取值范围.8、已知函数（1）求的定义域；（2）求的值域；（3）设为锐角，且，求的值。
三、解答题（共11题）1、（1）求函数的定义域；（2）若函数的定义域为，求函数的定义域；（3）求函数的值域.2、（1）求函数的定义域;（2）求函数的值域;（3）已知函数的值域为，求的值.3、（1）求函数的定义域。
（2）求函数的值域。
4、若，函数（其中）（1）求函数的定义域；（2）求函数的值域5、已知函数f(x)＝lg(x－1).(1)求函数f(x)的定义域和值域；(2)证明f(x)在定义域上是增函数.6、求函数y＝的定义域与值域；7、设函数(1) 求f(x)的定义域(2) 求函数f(x)的值域8、（1）设全集，集合，若，求；（2）求函数的定义域和值域.9、已知函数,(1)若函数定义域为,求的值;(2)若函数值域为,求的值;(3)若在单调递增,求的取值范围;10、求下列函数的定义域和值域：11、求下列函数的定义域和值域；============参考答案============一、填空题1、二、计算题1、 (1)函数的定义域为{-1,0,1,2,3},则f(-1)=[(-1)-1]2+1=5,同理可得f(0)=2,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=5,所以函数的值域为{1,2,5}.2、函数的定义域为R,因为(x-1)2+1≥1,所以函数的值域为{y|y≥1}..;3、函数的定义域是{x|x≠1},y==5+,所以函数的值域为{y| y≠5}.4、)要使函数式有意义,需x+1≥0,即x≥-1,故函数的定义域是{x|x≥-1}.设t=,则x=t2-1(t≥0),于是f(t)=t2-1-t=(t-)2-.又因为t≥0,故f(t)≥-.所以函数的值域是{y|y≥-}.5、6、7、解：（1）当t=2时，在[0，2]上为单调减函数，此时的取值范围是[－3，1]在[8，10]上为单调递增函数，此时的取值范围是[33，61]的值域是[－3，1][33，61].（2）当时，得当得.互换x, y，得所求反函数为.（3）由于所以当的定义域内有反函数时，结合图像知有以下情况：（Ⅰ）；（Ⅱ）当其中由则（Ⅱ中）综上所述，所求t的取值范围是。
值域和定义域的例题讲解
高中函数值域和定义域的大小,是高中数学常考的一个知识点,本文介绍了函数求值域最常用的九种方法和例题讲解.一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
高一数学函数的定义域与值域的常用方法
高一数学求函数的定义域与值域的常用法:求函数解析式 1、换元法： 例1.已知 题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将函数用一个变量代换。
心） X t 解：设 2 f （x ） X X X ,则1,x 1 。
x 2 X 1 x 2 ,试求 f （X ）。
1 t 1,代入条件式可得: f （t ）t 2 t 1，t ≠ 1。
故得: 说明：要注意转换后变量围的变化，必须确保等价变形。
2、构造程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出 另一个程，联立求解。
f (X) 例2. ( 1)已知 (2)已知 f (X) 2f(2f(1) 3X 24X 5 XX）3X 2解：（1）由条件式，以 • 1 消去 X ,则得: X 代2_ X X,则得 8 3x4X 5f(1) X X 24x 3(2) 由条件式，以一 X 代X 则得： X 24x -3。
f( 去说明： 定义域由解析式确定，不需要另外给出。
例4.求下列函数的解析式： （1） (2) (3) ,试求f (X)；f(x).3厶 X试求 2f(x)5 3OX) 2f (X)3X 24X5,与条件式联立,,与条件式联立，消,则得: 本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系, 故所求函数的 已知 已知 已知 f （X ）是二次函数，且f （0） f （∙一 X 1） 心） X 3f （x ） 2, f (X 1) f(X) X 1 ,求 f(X)； 2 X ,求 f (x)， f (x 1)， f (x 2) 1 1 亠 2 ,求 X X f (X)；（4） 【题意分析】（1） 设法求出a,b,c 即可。
若能将X 2 - X 适当变形，用.XX 1 设 为一个整体，不妨设为 X X ， 已知 2 f ( x) X 3 ,求 f (x)。
由已知f (X)是二次函数，所以可设 f(X) ax 2 bx c(a 0)，(2) (3) 1的式子表示就容易解决了。
专题 函数的定义域和值域
专题：函数的定义域、值域之宇文皓月创作A 一、基本知识①函数的定义域：函数自变量的取值范围。
此定义包涵以下内容：⑴自变量即是函数方程中的某一个未知数，可以是x ，也可以是其他字母b a ,；如：12++=ax ax y 的定义域是[]1,1-，无法确定是x 或a 的范围，但1)(2++=ax ax x f 和1)(2++=ax ax a g 就非常明确；⑵复合函数的定义域：①)1(+x f 的定义域是[]1,1-[]1,1-∈⇒x ，不是[]1,11-∈+x ；②)]([x g f 的内函数的值域是外函数定义域的子集。
⑶分段函数的定义域：分段函数各子函数的定义域交集为φ，值域为各子函数的并集。
题型一、惯例函数的定义域例1、求下列函数的定义域1．（1）x x x x x x f +-++-=02)1(65)(； （2）1132---=x x x y ； 2.函数)1lg(11)(++-=x x x f 的定义域是 （ ）A ．(-∞,-1)B ．(1,+∞)C ．(-1,1)∪(1,+∞)D ．R3. 函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是 （ ）A ．（∞-，31-）B ．(31-，31）C ．(31-，1）D ．(31-，∞+）4．若函数()f x 的定义域为[,]a b ，且0b a >->，则函数()()()g x f x f x =--的定义域是（ ）A ．[,]a bB ．[,]b a --C ．[,]b b -D ．[,]a a -5. 已知()f x =11+x ，则函数(())f f x 的定义域是 ( )A ．{|1}x x ≠-B ．{|2}x x ≠-C ．{|12}x x x ≠-≠-且D ．{|12}x x x ≠-≠-或6. 函数＝y =R ，则k 的取值范围是（）A.09k k ≥≤-或B.1k ≥C.91k -≤≤D. 01k <≤7．已知函数22(3)1xy ax a x -=--+的定义域是R , 则实数a 的范围是_________________.题型二、抽象函数的定义域例2、1．若函数()f x 的定义域为[－2，2]，则函数f 的定义域是（ ）A ．[－4，4]B ．[－2，2]C ． [0，2]D ． [0，4]2．已知函数)(x f 的定义域为[0，4]，求函数)()3(2x f x f y ++=的定义域为（ ）A ．[2,1]--B ．[1,2]C ．[2,1]-D ．[1,2]-3.若函数)2(+x f 的定义域为[－2，2]，则函数)12(-x f 的定义域是_________________.B 一、基本知识①函数的值域：在定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有取值所组成的集合。
高中数学中抽象函数的解法及练习
抽象函数问题有关解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x-=- 2.凑配法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 拼凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例2：已知3311()f x x x x+=+，求()f x解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。
高中高考数学：函数的定义域的求法
例 3： （1）已知函数 f ( x) 的定义域为 [0,4] ，求函数 g ( x) = f ( x + 1) + f ( x ) 的定义域. +x x 1 （2）函数 f ( x) =ln 1 ，求函数 g ( x) = f ( ) + f ( ) 的定义域. 1− x 2 x
2
0 ≤ x +1≤ 4 解： （1） g ( x) = f ( x + 1) + f ( x ) 中满足 ，解得： − 1 ≤ x ≤ 2 ， 0≤ x ≤4
1 + cot x ； （2） y = 1 − lg(2 sin x + 1) − tan x
中要满足：
25 − x 2 ≥ 0 cos x > 0
， （通过画数轴以及二者的对称性，可得）
π π π 3π 解得： − 5 ≤ x < − 32 ,或− < x < ,或 < x ≤5； 2 2 2 π π π 3π 故原函数的定义域为 [−5,− 32 ) ∪ ( − , ) ∪ ( ,5] . 2 2 2 3π π π 3π (或写成 {x | − 5 ≤ x < − ,或− < x < ,或 < x ≤ 5 }) 2 2 2 2
，解得：1 < x < 3 ,且 x ≠ 2
故原函数的定义域为 (1,2) ∪ (2,3) . (或写成{x | 1 < x < 3 ,且 x ≠ 2 } )
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Hale Waihona Puke 例 3：求下列函数的定义域： （1） f ( x) = 解： （1） f ( x) =
25 − x + lg cos x
高中数学必修一-专题三-函数的定义域与值域(含详解).docx
专题三函数的定义域和值域一.选择题（共12小题）1.函数f(J二応的定义域是( )A. ( - 1, +00)B. ( 一1, 1) U (1, +8) C・[一1, +00) D. [ - 1, 1)U （1, +oo）2.已知函数f （x）二换的定义域为（1, 2）,则函数f（X?）的定义域是（）A. （1, 2） B・（1, 4） C. R D・（一伍,-1） U （1, ^2）3. 已知函数f （x）二圻孑的定义域是R,则实数a 的取值范围是（）ax +ax~3A. a>丄B・ - 12VaW0 C・ - 12<a<0 D・ aW丄3 34. 集合A二{x|0WxW4}, B二{y|0WyW2},下列不能表示从A到B的函数的是5. 下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是（）A./°►x x^y=2 x C.C6. 下列函数与函数y二x相等的是（）._ 2A・尸（换）2 B.尸存C・尸（饭）$ D.宀下列四组函数，表示同一函数的是(f (x)二J X 2-4‘ £(X )二2f(x)二x, g(x)仝—X{1， V3> B ・(-8, 0] C ・[1, +8) D. R10・若函数y=7ax 2+2ax+3的值域为〔0，+°°),则a 的取值范围是( )A. (3, +8) B ・[3, +8) C ・(-8, 0] U [3, +00)D.(・8,0)U[3, + oo )11. 二次函数 f (x) =x 2 - 4x+l (xe [3, 5])的值域为( )A ・[-2, 6]B ・[一3, +8)C ・[-3, 6]D ・[一 3, - 2] 12. 若函数f(x)=1/-2x+4的定义域、值域都是[2, 2b],则()乙A. b=2B. bG [1, 2]C. be (1, 2) D ・ b 二 1 或 b 二2二. 填空题(共4小题)13. 函数f (x)二(3-2X _ * $的定义域为 _______ ，值域为 _______ ・ 14. 函数f(x)二JI3+佑忑-1的定义域是 __________ .15. 函数y=Vkx 2-4kx+k+6的定义域为R ，则k 的取值范围 _________ 16. 函数f(x)二的值域为 ______________ ・三. 解答题（共6小题）A. ①B-A. f(x)二g Cx) =xB. C. D. f (x) = |x+l | , g (x) =4x+l, -X-1, X-l9. 己知函数 f (x) =V2x-l ，xe {1, 2, 3}.则函数f (x)的值域是( )A. ②③④C. ①③④D.17.求下列函数的定义域:（1）尸厶+8&3-x;(2) 18・已知函数f (x)1+x2(1) 求 f (1) +f (2) +f (3) +f (丄)+f (丄)的值;2 3(2) 求f (x)的值域.19. 已知函数y=V x2+6inx+in+8的定义域为R，求实数m的取值范围.220. 当x>0吋，求函数yz：3+x+x的值域.1+x21-已知函数f （x）二"*+3+』2 '（1）求函数的定义域；（2）求f（-3）, f（春）的值.322.求函数f（X）=x2+ x - 2 | , xe [0, 4]的值域.专题三(2)函数的概念参考答案与试题解析一.选择题(共12小题)1. 函数f(£二仮石占的定义域是( )A. ( - 1, +8)B.(・ 1, 1) U (1, +8) C・［一1, +8) D. ［ - 1, 1) U (1, +8)【分析】由根式内部的代数式大于等于0,且分式的分母不为0联立不等式组求解.【解答】解：由卩+1空0,解得x^_i且X"Ix-lT^O・・・函数f(£二頁石的定义域是［-1，1)U (1, +oo)・故选：D.【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题.2. 已知函数f (x)二仄的定义域为(1, 2),则函数f(X?)的定义域是( )A. (1, 2) B・(1, 4) C. R D・(一典,-1) U (1, ^2)【分析】由已知函数的定义域可得1<X2<2,求解不等式组得答案.【解答】解：・・•数f (x)二换的定义域为(1, 2),・・・由1<X2<2,得- V2<x< - 1或1 <x<“^・即函数f 2)的定义域是(-辺，-1) U (1,V2). 故选：D.【点评】本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题.3.已知函数f (x)二圻孑的定义域是R,则实数a的取值范围是( )ax +ax~3A. a>丄B・一12VaW0 C・-12<a<0 D・ aW丄3 3【分析】由函数f (x)二申*一1的定义域是R,表示函数的分母恒不为零，即ax+ax~3方程ax2+ax - 3=0无解，根据-•元二次方程根的个数与判断式△的关系，我们易得数a的取值范围.f曲工o【解答】解：由护0或2，、/-4aX (-3X0可得-12VaW0,故选：B.【点评】求函数的定义域时要注意：(1)当函数是由解析式给岀时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.(2)当函数是由实际问题给岀时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义(如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等).(3)若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集•若函数定义域为空集，则函数不存在.(4)对于(4)题要注意：①对在同一对应法则f下的量"x〃"x+a〃"x - 所要满足的范围是一样的；②函数g(X)中的自变量是x,所以求g (x)的定义域应求g (x)中的x的范围.4.集合A二{x|0WxW4}, B二{y|0WyW2},下列不能表示从A到B的函数的是A. f：B・ f： x->y=2 x C・ f：D・巳【分析】根据函数的定义分别进行判断即可.【解答】解：C的对应法则是f： xTy二Zx,可得f (4)二邑B,不满足映射的定 3 3义，故C的对应法则不能构成映射.故C的对应f中不能构成A到B的映射.故选：C.【点评】本题给岀集合A、B,要求我们找出从A到B的映射的个数，着重考查了映射的定义及其判断的知识，属于基础题.5. 下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是( )【分析】利用函数定义，根据X取值的任意性，以及y的唯一性分别进行判断. 【解答】解：B中，当x>0吋，y有两个值和x对应，不满足函数y的唯一性，A, C, D满足函数的定义，故选：B.【点评】本题主要考查函数的定义的应用，根据函数的定义和性质是解决本题的关键.6. 下列函数与函数y二x相等的是（）._ 2A・尸（依）2 B・尸F C・y=（Vx）3 D・尸*■【分析】已知函数的定义域是R,分别判断四个函数的定义域和对应关系是否和己知函数一致即可.【解答】解：A.函数的定义域为{x|xNO},两个函数的定义域不同.B. 函数的定义域为R, y=|x|,对应关系不一致.C. 函数的定义域为R,两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数.D. 函数的定义域为{x|xHO},两个函数的定义域不同.故选：C.【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准是判断函数的定义域和对应关系是否一致，否则不是同一函数.7. 如图所示，可表示函数图象的是（）【分析】利用函数的定义分别对四个图象进行判断.【解答】解：由函数的定义可知，对定义域内的任何一个变化x,在有唯一的一 个变量y 与x 对应.则由定义可知①③④，满足函数定义.但②不满足，因为②图彖中，当x>0时，一个x 对应着两个y,所以不满足函数 取值的唯一性.所以不能表示为函数图象的是②. 故选：C.【点评】木题主要考查了函数的定义以及函数的应用.要求了解，对于一对一, 多对一是函数关系，一对多不是函数关系.&下列四组函数，表示同一函数的是()A ・ f(x)二g (X )二x氏 f(x)二厶2-4‘ £(X )二V7巨依R2C ・ f(x)二x, g(x)^—X「/、 | | /、 fx+1, X 》-1D. f (x) = |x+l |，g (x)=< l^-x-1, x-1【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数. 【解答】解：对于A, f (x)二｛尹二|x|，与g (x) =x 的对应关系不同，.••不是 同一函数；对于 B, f (x)二J*2-4(x$2 或 xW - 2),与 g (x)二代巨厶-2=厶2-4(x$2) 的定义域不同， ・•・不是同一函数；2对于C, f (x) =x (xWR),与g (x) =—=x (xHO)的定义域不同，・••不是同一A.①B.②③④C.①③④D.②函数;对于D, f (x) =|x+l|=f X+1, xjl ,与(X)二< x+1, 的定义域相同,l^-X-1 , x\ ~1 [~x~l, x<. -1对应关系也相同，是同一函数.故选：D.【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目.9.已知函数f (x) =V2x-l，xe {1, 2, 3}.则函数f (x)的值域是( )A. {1，品、B・(一8, o] C・[1, +8) D. R【分析】直接由已知函数解析式求得函数值得答案.【解答】解：f (x) =V2x-l，xe {1, 2, 3},当x=l 时，f (1) =1；当x=2 时，f (2) =V3;当x=3 时，f (3)二祈.・・・函数f (x)的值域是{1，岳V5).故选：A.【点评】木题考查函数值域的求法，是基础的计算题.10・若函数y=7ax2+2ax+3的值域为+°°)，则a的取值范围是( ) A. (3, +°°) B. [3, +°°) C・(-g, 0] U [3, +°°) D・(一oo, Q) U [3, + 8 )【分析】由题意：函数y是一个复合函数，值域为[0, +°° ),则函数f(x)=ax2+2ax+3 的值域要包括0.即最小值要小于等于0.【解答】解：由题意：函数y=V ax2+2ax+3是一个复合函数，要使值域为[0, +8),则函数f (x) =ax2+2ax+3的值域要包括0,即最小值要小于等于0・(a>0 = ( a>0则有:(f(-l)<0 ta-2a+3<0解得：a^3 所以a的取值范围是[3, +°°).故选：B.【点评】本题考查了复合函数的值域的求法，通过值域来求参数的问题.属于基础题.二次函数 f (x) =x2 - 4x+l (xe [3, 5])的值域为( )A・[一2, 6] B・[一3, +8) C・[一3, 6] D. [ - 3, - 2]【分析】利用二次函数的单调性即可求解值域.【解答】解：函数f (x) =x2 - 4x+l,其对称轴x=2,开口向上，Vxe [3, 5],・•・函数f (x)在[3, 5]单调递增，当x=3时，f (x)取得最小值为-2.当x=5时，f(X)取得最小值为6・••二次函数 f (x) =x2 - 4x+l (xe [3, 5])的值域为[・2, 6]. 故选:A.【点评】本题考查二次函数的单调性求解最值问题，属于函数函数性质应用题, 较容易.12.若函数f(x)二丄x2-2x+4的定义域、值域都是[2, 2b],则( )乙A. b=2B. be [1, 2] C・ be (1, 2) D・ b二 1 或b二2【分析】根据二次函数的性质建立关系解得b的值.【解答】解：函数仏)二知2-2X+4乙其对称轴x=2,・•・函数f (x)在定义域[2, 2b]是递增函数,且2b>2,即b>l.那么：f (2b) =2b即2b=— x 4b2 " 4b+42解得：b=2故选：A.【点评】本题考查了定义域、值域的关系，利用二次函数的性质，属于基础题.二.填空题(共4小题)13.函数f (x)二寸3-b-/的定义域为[一3, 1],值域为[0, 2]【分析】根据函数的定义域和值域的定义进行求解即可.【解答】解：要使函数有意义，则3-2X-X2^0,即X2+2X - 3W0,解得故函数的定义域为[-3, 1],设t=3 - 2x - x2,贝!J t=3 - 2x - x2= - (x+1) ?+4,则0WtW4,即0W五W2,即函数的值域为[0, 2],故答案为：[-3, 1], [0, 2]【点评】木题主要考查函数定义域和值域的求解，利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键.14. 函数f (x) = Vl_x +Vx+3T的定义域是[- 3, 1] •【分析】根据使函数的解析式有意义的原则，结合偶次根式的被开方数必须不小于0,我们可以构造关于自变量x的不等式组，解不等式组，可得答案.【解答】解：要使函数f(x)二石+后-1的解析式有意义自变量x须满足(id。
【高中数学过关练习】过关练10-求函数的定义域(取值范围)
过关练10 求函数的定义域（取值范围）一、单选题1．（2022·四川自贡·高一期末）函数421y x x =-的定义域为（ ）A ．[)0,1B ．()1,+∞C ．()()0,11,+∞ D ．[)()0,11,+∞【解析】由题意得2010x x ≥⎧⎨-≠⎩，解得0x ≥且1x ≠，故选：D2．（2022·新疆喀什·高一期末）函数2x y -=x 的取值范围是（ ） A ．2x >B ．2x ≥C ．2x ≥且0x ≠D ．0x ≠【解析】由题意知，200x x -≥⎧⎨≠⎩，解得2x ≥， 即函数2x y -[2,)+∞. 故选：B3．（2022·广东揭阳·高一期末）函数1()1f x x x =+的定义域是（ ）A ．RB ．[)1,-+∞C ．()(),00,∞-+∞ D ．[)()1,00,-+∞【解析】由题意100x x +≥⎧⎨≠⎩，解得[)()1,00,x ∈-+∞故选：D4．（2022·安徽·歙县教研室高一期末）函数223y x x --+ ） A ．[]3,1-B ．[]1,3-C ．(][),31,-∞-⋃+∞D ．(][),13,-∞-+∞【解析】依题意可得2230x x --+≥，即2230x x +-≤，即()()310x x +-≤，解得31x -≤≤，即函数的定义域为[]3,1x ∈-； 故选：A5．（2022·河南许昌·高一期末）已知{}2430M x x x =-+<，2{|4}N x y x =-，则M N ⋃=（ ） A ．(]1,2 B ．(](),21,3-∞-⋃C ．(](),23,-∞-+∞ D ．(](),21,-∞-⋃+∞【解析】由2430x x -+<可得13x <<，所以(1,3)M =, 由240x -≥可得2x -≤或2x ≥，所以(][),22,N =-∞-+∞,所以(](),21,MN =-∞-+∞.故选：D.6．（2022·浙江省东阳中学高一开学考试）已知函数()282f x x x +-()()3y f x f x =+-的定义域是（ ）A ．[-5，4]B ．[-2，7]C ．[-2，1]D ．[1，4]【解析】由()282f x x x +-2820x x +-≥， 解得24x -≤≤，所以函数()()3y f x f x =+-的定义域满足24234x x -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩ ，解得14x ≤≤， 所以函数的定义域为[1，4]. 故选：D7．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()y f x =的定义域为[8,1]-，则函数(21)()2f xg x x +=+的定义域是（ ） A ．(,2)(2,3]-∞-⋃- B ．[8,2)(2,1]--⋃- C ．9[,2]2--D ．](9[,2)2,02--⋃-【解析】由题意得：8211x -+，解得902x -， 由20x +≠解得2x ≠-，故函数的定义域是9,2)(2,02⎡⎤--⋃-⎢⎥⎣⎦.故选：D8．（2022·河南安阳·高一期末（理））若函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数(1)()1f xg x x +=-的定义域是（ ） A ．[0,2] B ．(1,3]C ．[1,1)-D ．[0,1)(1,2]⋃【解析】()y f x =的定义域是[]0,2，∴在()g x 中，01210x x ≤+≤⎧⎨-≠⎩，解得11x -≤<，故()g x 的定义域为[1,1)-.9．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()2f x +的定义域为()3,4-，则函数()()31g x x =-的定义域为（ ） A ．1,43⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,63⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】因为函数()2f x +的定义域为()3,4-，所以()f x 的定义域为()1,6-.又因为310x ->，即13x >，所以函数()g x 的定义域为1,63⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.10．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()f x a x =-(,1]-∞，则实数a 的取值集合为（ ） A ．{1}B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．(,1)(1,)-∞⋃+∞【解析】由0a x -≥可得x a ≤，即()f x 的定义域为(,]a -∞，所以1a =， 则实数a 的取值集合为{}1. 故选：A.11．（2022·全国·高一课时练习）若函数()2223x f x mx mx +=++的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 A ．()0,3 B ．[)0,3C ．[)()0,22,3 D ．[)(]0,22,3【解析】由于函数()f x 的定义域为R ,则关于x 的不等式2230mx mx ++≠恒成立. 当0m =时,不等式30≠恒成立；当0m ≠时,由24120m m ∆=-<,解得03m <<. 综上,得实数m 的取值范围是[)0,3 故选B12．（2022·全国·高一专题练习）若函数221y kx x =-+R ，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()0,∞+B ．[)0,∞+C ．[)1,+∞D ．R【解析】函数221y kx x =-+R 等价于2210kx x -+恒成立， 当0k =时，显然不恒成立；当0k ≠时，由0Δ440k k >=-，，得1k ，综上，实数k 的取值范围为[)1,+∞．13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()()23114f x m x m x =+-++的定义域为R ，则m 的取值范围是（ ） A ．12m -<<B ．12m -<≤C ．12m -≤≤D ．12m -≤<【解析】由题意得：()()231104m x m x +-++≥在R 上恒成立. 10m +=即1m =-时，()3f x =10m +≠时，只需()()2101310m m m +>⎧⎪⎨∆=+-+≤⎪⎩， 解得：12m -<≤， 综上：1,2m ，故选：C .14．（2022·全国·高一专题练习）已知21(1)4y ax a x =+-+的定义域是R ，则实数a 的取值范围是( )A ．35⎛+ ⎝⎭B ．35⎫-⎪⎪⎝⎭C ．3535,2⎛⎛⎫-+-∞+∞ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．3535-+⎝⎭【解析】由题意可知，21(1)04ax a x +-+>的解集为R ， ①当0a =时，易知211(1)044ax a x x +-+=-+>，即14x <，这与21(1)04ax a x +-+>的解集为R 矛盾；②当0a ≠时，若要21(1)04ax a x +-+>的解集为R ，则只需21(1)4y ax a x =+-+图像开口向上，且与x 轴无交点，即判别式小于0，即20(1)0a a a >⎧⎨∆=--<⎩3535a -+<< 综上所述，实数a 的取值范围是3535-+⎝⎭.故选：D.15．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知函数()f x 的定义域为[]0,1，则函数()21f x +的定义域为______；（2）已知函数()23f x -的定义域为[)1,3，则()13f x -的定义域为______． 【解析】（1）因为函数()f x 的定义域为[]0,1， 所以2011x ≤+≤，即210x -≤≤，所以0x =，所以函数()21f x +的定义域为{}0x x =．（2）因为函数()23f x -的定义域为[)1,3，即13x ≤<， 所以1233x -≤-<，即()f x 的定义域为[)1,3-， 所以1133x -≤-<，解得2233x -<≤，所以函数()13f x -的定义域为22,33⎛⎤- ⎥⎝⎦．故答案为：（1）{}0x x =；（2）22,33⎛⎤- ⎥⎝⎦.16．（2022·全国·高一课时练习）（1）若函数()1f x ax +(],1-∞，则实数a 的值为______；（2）若函数()1f x ax +(],1-∞上有意义，则实数a 的取值范围为______. 【解析】（1）根据题意，知关于x 的不等式10ax +≥的解集为(],1-∞. 当0a ≥时，不符合题意；当0a <时，关于x 的不等式10ax +≥的解集为1,a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，故11a -=，所以1a =-.综上，1a =-.（2）根据题意，知当(],1x ∈-∞时，关于x 的不等式10ax +≥恒成立. 当a ＝0时，符合题意；当a ≠0时，设()1g x ax =+，根据一次函数的性质，得()010a g <⎧⎨≥⎩解得10a -≤<.综上，10a -≤≤. 故答案为：-1；[]1,0-17．（2022·全国·高一专题练习）函数()12ax f x x a-=+A ，若3A ∈，则a 的取值范围是__________．【解析】由于3A ∈，所以()()3160310,,660a a a a a ⎧-+≥-≥⎨++≠⎩解得6a <-或13a ≥. 所以a 的取值范围是()1,6,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：()1,6,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭18．（2022·全国·高一课时练习）若函数2()f x x x a =-+R ，则实数a 的取值范围是________.【解析】由题意可知，20x x a -+≥对x R ∀∈恒成立， 又因为2y x x a =-+的图像开口向上，所以2y x x a =-+的图像与x 轴最多只有一个交点， 从而2(1)40a ∆=--≤，解得14a ≥， 故实数a 的取值范围是1[,)4+∞.故答案为：1[,)4+∞.19．（2022·全国·高一专题练习）函数2()31f x ax ax =++的定义域是R ，则实数a 的取值范围为________．【解析】因为函数()f x 的定义域是R . 所以不等式2310ax ax ++>恒成立．所以，当0a =时，不等式等价于10>，显然恒成立；当0a ≠时，则有0Δ0a >⎧⎨<⎩，即20940a a a >⎧⎨-<⎩，解得409a <<.综上，实数a 的取值范围为40,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为: 40,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭20．（2022·全国·高一专题练习）对于函数2()f x ax bx +,其中0b >,若()f x 的定义域与值域相同,则非零实数a 的值为______________. 【解析】函数2()f x ax bx +，其中0b > 若0a >，由于20ax bx +≥，即()0x ax b +≥，∴对于正数b ，()f x 的定义域为:,[0,)b D a ⎛⎤=-∞-+∞ ⎥⎝⎦，但()f x 的值域[)0,A ⊆+∞，故D A ≠，不合要求. 若0a <，对于正数b ，()f x 的定义域为D 0,a b ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.由于此时max [()]22b b f x f a a ⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭，故函数的值域0,2b A a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 由题意，有2b ba a-=-，由于0b >，所以4a =﹣. 故答案为：﹣4三、解答题21．（2022·四川南充·高一期末）已知函数21()4f x x =-. (1)求函数()f x 的定义域；(2)判断函数()f x 在(2,)+∞上的单调性，并用定义加以证明. 【解析】（1）要使函数有意义，当且仅当240x -≠. 由240x -≠得2x ≠±， 所以，函数21()4f x x =-的定义域为{2}x Rx ∈≠±∣. （2）函数21()4f x x =-在(2,)+∞上单调递减. 证明：任取1x ，2(2,)x ∈+∞，设12x x <，则210x x x ∆=-> ()()()()12122122222112114444x x x x y y y x x x x -+∆=-=-=----. ∵12x >，22x >∴2140x ->，2240x ->，120x x +>又12x x <，所以120x x -<，故0y ∆<，即21y y <， 因此，函数21()4f x x =-在(2,)+∞上单调递减. 22．（2022·江苏·高一课时练习）如图所示，在一张边长为20cm 的正方形铁皮的4个角上，各剪去一个边长是x cm 的小正方形，折成一个容积是3ycm 的无盖长方体铁盒，试写出用x 表示y 的函数关系式，并指出它的定义域．【解析】根据题意确定长方体的长宽高,再根据长方体体积公式得函数关系式,最后根据实际意义得定义域试题解析: ()()232410420100y x x x x x =-⋅=-+,100,0010x x x ->>∴<< ,所以定义域为()0,1023．（2022·全国·高一）将长为a 的铁丝折成矩形，求矩形面积y 关于一边长x 的解析式，并写出此函数的定义域．【解析】设矩形的一边长为x ，则另一边长为12 (a －2x )， 所以y ＝x ·12 (a －2x )＝－x 2＋12ax ， 由01(2)02x a x >⎧⎪⎨>⎪⎩－解得102x a <<，所以函数定义域为1|02x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.24．（2022·全国·高一专题练习）已知函数3243y ax ax ++的定义域为R ，求实数a 的取值范围.【解析】由题意，函数3243y ax ax =++R ，即2430ax ax ++≠在x ∈R 上恒成立，当0a =时，24330ax ax ++=≠对任意x ∈R 恒成立；当0a ≠时，要使2430ax ax ++≠恒成立，即方程2430ax ax ++=无实根， 只需判别式2(4)124(43)0a a a a ∆=-=-<，解得304a <<， 综上，实数a 的取值范围是30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.25．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()37y f x =-的定义域为[]2,3-，求函数()()11y f x f x =-+-的定义域．【解析】因为函数()37y f x =-的定义域为[]2,3-， 所以23x -≤≤，13372x -≤-≤， 所以函数()y f x =的定义域为[]13,2-，所以要使函数()()11y f x f x =-+-有意义，则有13121312x x -≤-≤⎧⎨-≤-≤⎩，解得13x -≤≤，所以函数()()11y f x f x =-+-的定义域为[]1,3-.26．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高一期末）若()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，且()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求()1f 的值；（2）若()21f =，解不等式1(3)2f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭.【解析】（1）令1x y ==，则有(1)(1)(1)f f f =-，(1)0f ∴=. （2）(2)1f =，()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令4x =，2y =，则()()4422f f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()4222f f ==∴不等式1(3)23f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭等价为不等式1(3)(4)f f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭， ∴()23(4)f x x f +<，又()f x 是()0,∞+上的增函数，∴2341030x x x x ⎧+<⎪⎪>⎨⎪+>⎪⎩，解得01x <<，即不等式的解集为()0,1.所以不等式1(3)2f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭的解集为()0,1.27．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()43f x kx =+（1）若函数()f x 的定义域为R ，求实数k 的值．（2）是否存在实数k ，使得函数()f x 的定义域为(),2-∞-？若存在，求出实数k 的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由题意，函数()f x 的定义域为R ，即关于x 的不等式430kx +>的解集为R ，当0k >时，不等式430kx +>的解集为34x x k ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭，不符合题意；当0k <时，不等式430kx +>的解集为34x x k ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭，不符合题意；当0k =时，30>恒成立，符合题意． 综上，实数k 的值是0．（2）假设存在满足题意的实数k ．由题意，得关于x 的不等式430kx +>的解集为(),2-∞-，所以0324k k<⎧⎪⎨-=-⎪⎩，即038k k <⎧⎪⎨=⎪⎩，无解，与假设矛盾．故不存在实数k ，使得函数()f x 的定义域为(),2-∞-．28．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()23f x x mx =++A . (1)若A =R ，求m 的取值范围； (2)若[]1,2A -⊆，求m 的取值范围.【解析】（1）解：由题得230x mx ++≥恒成立，所以2120m ∆=-≤，所以2323m -≤（2）解：由题得230y x mx =++≥在[]1,2-上恒成立，即min 0y ≥， 当12m-≤-，即2m ≥时，23y x mx =++在[]1,2-上单调递增， 则1x =-时，min 40y m =-≥，所以24m ≤≤； 当122m -<-<，即42m -<<，23y x mx =++在1,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,22m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2m x =-时，2min 304m y =-≥，所以232m -<； 当22m-≥，即4m ≤-时，23y x mx =++在[]1,2-上单调递减， 则2x =时，min 720y m =+≥，又4m <-，所以此时无解. 综上所述：23m ≥-。
高中数学必修一函数 解题方法
函数习题课(I) 函数定义域和值域的求法一、求函数定义域的方法(一) 直接法求定义域关注一些特殊函数的定义域或关注一些特殊的取值，从而使得函数有意义，直接限制自变量的取值范围。
一般需要关注的解题要点：（1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠例1 求下列函数定义域①21)(-=x x f ②xx x f -++=211)( ③0)32(2)3lg()(-++-=x x x x f ④2143)(2-+--=x x x x f ⑤373132+++-=x x y(二)解题时要关注定义域函数的三要素是定义域，值域和对应关系。
其中定义域是规定函数自变量取值范围的关键，是题目限制条件的体现。
由于常常被忽略，因此是命题人常将隐含条件设计于其中。
若想正确地解决函数相关问题，必须在解题时关注定义域，把它明确地写出来。
例2 已知函数)91(log 2)(3≤≤+=x x x f ，求函数[])()(22x f x f +的最大值。
例3 求函数x x x f a 2log )(2-= )10(≠>a a 且的单调增区间。
(三)有关抽象函数的定义域问题抽象函数的自变量始终是x(或其他字母)，但是由于对应法则所作用的x 形式不同(如x+2,x 2 等)，于是就有了有关抽象函数的定义域问题。
解决抽象函数的定义域问题需要紧紧抓住一点：括号里面的所有代数式的取值范围是相同的。
例4 已知函数)(x f 的定义域为[0,2]，求)12(+x f 的定义域。
例5 已知函数)12(+x f 的定义域为(-1,5]，求)(x f 的定义域。
例6 已知函数)1(+x f 的定义域为[0,2]，求)3(2x x f +的定义域。
二、求函数值域的方法(一)层层分析法(直接法)这种方法适合值域明显的复合函数或多个值域明显的函数相加减得到的函数求值域。
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函数定义域的类型和求法
一、常规型
即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例1、求函数的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足
由①解得或。
③
由②解得或④
③和④求交集得且或x>5。
故所求函数的定义域为。
例2、求函数的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足
由①解得③
由②解得④
由③和④求公共部分，得
故函数的定义域为
评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？
二、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（1）已知的定义域，求的定义域。
其解法是：已知的定义域是［a，b］求的定义域是解，即为所求的定义域。
例3、已知的定义域为［－2，2］，求的定义域。
解：令，得，即，因此，从而，故函数的定义域是。
（2）已知的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
例4、已知的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。
解：因为。
即函数f(x)的定义域是。
三、逆向型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。
特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例5 、已知函数的定义域为R求实数m的取值范围。
分析：函数的定义域为R，表明，使一切x∈R都成立，由项的系数是m，所以应分m=0或进行讨论。
解：当m=0时，函数的定义域为R；
当时，是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是
综上可知。
评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。
例6 、已知函数的定义域是R，求实数k的取值范围。
解：要使函数有意义，则必须≠0恒成立，因为的定义域为R，即无实数
①当k≠0时，恒成立，解得；
②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是。
四、实际问题型
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。
例7 、将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。
解：设矩形一边为x，则另一边长为于是可得矩形面积。
由问题的实际意义，知函数的定义域应满足。
故所求函数的解析式为，定义域为（0，）。
例8 、用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。
解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。
因为CD=AB=2x，所以，所以，
故
根据实际问题的意义知
故函数的解析式为，定义域（0，）。
五、参数型
对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。
例9 、已知的定义域为［0，1］，求函数的定义域。
解：因为的定义域为［0，1］，即。
故函数的定义域为下列不等式组的解集：
，即
即两个区间［－a，1－a］与［a，1+a］的交集，比较两个区间左、右端点，知
（1）当时，F（x）的定义域为；
（2）当时，F（x）的定义域为；
（3）当或时，上述两区间的交集为空集，此时F（x）不能构成函数。
六、隐含型
有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。
因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。
例10、求函数的单调区间。
解：由，即，解得。
即函数y的定义域为（－1，3）。
函数是由函数复合而成的。
，对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t在区间上是增函数；在区间上是减函数，而在其定义域上单调增；
，所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数。