(全优试卷)吉林省高三上学期第二次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案

数学（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项 是符合题目要求的.
1.已知集合{}|(1)(2)0A x x x =+-≤，集合B 为整数集，则A B =（ ）
A ．{}1,0-
B ．{}0,1
C ．{}2,1,0,1--
D ．{}1,0,1,2-
2.下列函数中，与函数
y =
定义域相同的函数为（ ） A ．1sin y x
=
B ．ln x
y x
= C ．x
y xe =
D ．sin x
y x
=
3.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．1y x =+
B ．3
y x =-
C ．1y x
=
D ．||y x x =
4.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ） A ．23i +
B ．23i -
C ．32i +
D ．32i -
5.下列命题中正确的是（ ） A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题
B ．“5x =”是“2450x x --=”的充分不必要条件
C ．命题“若1x <-，则2230x x -->”的否命题为：“若1x <-，则2230x x --≤”
D ．已知命题p ：x R ∃∈，210x x +-<，则p ⌝：x R ∃∈，210x x +-≥
6.已知函数2
21(1),
()2(1),
x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+->⎪⎩则1[
](2)f f 的值为（ ） A ．
15
16
B ．
89
C ．2716
-
D ．18
7.设函数21
()122
x x f x =-+，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数[]()y f x =的值域为（ ）
A ．{}0
B ．{}1,0-
C ．{}1,0,1-
D ．{}2,0-
8.已知函数()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 上的奇函数，且()(1)g x f x =-，若
(3)2f =，则(2015)f 的值为（ ）
A ．2
B ．0
C ．2-
D ．2±
9.已知12
3a =，1
3
1log 2b =，21
log 3
c =，则（ ） A ．a b c >>
B ．b c a >>
C ．c b a >>
D ．b a c >>
10.设函数2(0),
()2(0),x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩
若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则关于x 的方衡
()f x x =的解的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11.如图所示，点P 从点A 出发，按逆时针方向沿边长为a 的正三角形ABC 运动一周，O 为△ABC 的中心，设点P 走过的路程为x ，△OAP 的面积为()f x （当A 、O 、P 三点共线时，记面积为0），则函数()f x 的图象大致为（ ）
12.函数()f x 的导函数'()f x ，对x R ∀∈，都有'()()f x f x >成立，若(ln 2)2f =，则满足不等式()x
f x e >的x 的范围是（ ） A ．1x >
B ．01x <<
C ．ln 2x >
D ．0ln 2x <<
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.2|log (32)|y x =-的单调递增区间是 ．
14.若曲线ln (0)y x x =>的一条切线是直线1
2
y x b =
+，则实数b 的值为 ． 15.已知点(2,9)在函数()x
f x a =（0a >且1a ≠）图象上，对于函数()y f x =定义域中的任意1x ，2x （12x x ≠），有如下结论：
①1212()()()f x x f x f x +=⋅；②1212()()()f x x f x f x ⋅=+；③
1212
()()
0f x f x x x -<-；④
1212()()
(
)22
x x f x f x f ++<
． 上述结论中正确结论的序号是 ．
16.已知()y f x =的定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，5
sin ,02,44
()1()1,2,2
x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩若关
于x 的方程[]2
()()0f x af x b ++=（a ，b R ∈）有且仅有6个不同的实数根，在实数a 的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.
设函数2
()cos cos f x x x x a =++．
（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；
（2）当,63x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时，函数()f x 的最大值与最小值的和为32，求实数a 的值．
18.海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
（1）求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；
（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
19.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，△PAD 为等腰三角形，
90APD ∠=︒，平面PAD ⊥平面ABCD ，且1AB =，2AD =,E ,F 分别为PC ，BD
的中点．
（1）证明：//EF 平面PAD ； （2）证明：平面PAD ⊥平面PAD ； （3）求四棱锥P ABCD -的体积．
20.已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x 轴，焦距为2
倍． （1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）设(2,0)P ，过椭圆Γ左焦点F 的直线l 交Γ于A 、B 两点，若对满足条件的任意直线l ，不等式PA PB λ⋅≤（R λ∈）恒成立，求λ的最小值． 21.已知函数()ln f x mx x =+，其中m 为常数，e 为自然对数的底数． （1）当1m =-时，求()f x 的最大值；
（2）若()f x 在区间(0,]e 上的最大值为3-，求m 的值．
22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l
的参数方程为11,2x t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的
参数方程为cos ,
2sin x y θθ
=⎧⎨
=⎩（θ为参数）．
（1）将直线l 的参数方程化为极坐标方程；
（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．
吉林省实验中学2017届高三年级第二次模拟考试
数学（文科）答案
一、选择题
二、填空题
13.3
(1,)2 14.1ln2-+ 15.①③④ 16.599
(,)(,1)244
---- 三、解答题
17.解：（1）∵2
()cos cos f x x x x a =++1
2(1cos 2)22
x x =
++a +
12cos 22x x =
+12a ++1
sin(2)62
x a π=+++． ∴函数()f x 的最小正周期22
T π
π==． 令2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+()k Z ∈，
解得()3
6
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈，
当26
2
x π
π
+
=
，函数()f x 取最大值，即max 13()122
f x a a =++
=+． ∴33
22
a a ++
=，∴0a =．
18.解：（1）因为样本容量与总体中的个体数的比是
61
5015010050
=
++，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是150150⨯=，1150350⨯=，1
100250
⨯=．
所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.
（2）在这6件样品中随机抽取2件共有2
615C =个不同的基本事件，且这些事件是等可能
发生的，
记“这2件商品来自相同地区”为事件A ，则这2件商品可能都来自B 地区或C 地区，
则A 中包含22
234C C +=种不同的基本事件，
故4()15P A =
，即这2件商品来自相同地区的概率为415
． 19.解：（1）如图，连接AC ，
∵四边形ABCD 为矩形且F 是BD 的中点， ∴F 也是AC 的中点． 又E 是PC 的中点，//EF AP ，
∵EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，∴//EF 平面PAD ． （2）证明：∵面PAD ⊥平面ABCD ，CD AD ⊥，平面PAD 平面ABCD AD =，
∴CD ⊥平面PAD ，
∵CD ⊂平面PDC ，∴平面PDC ⊥平面PAD ． （3）取AD 的中点为O ，连接PO ，
∵平面PAD ⊥平面ABCD ，△PAD 为等腰直角三角形， ∴PO ⊥平面ABCD ，即OP 为四棱锥P ABCD -的高． ∵2AD =，∴1PO =，又1AB =， ∴四棱锥P ABCD -的体积1233
V PO AB AD =⋅⋅=．
20.解：（1）依题意，a =
，1c =，
解得22a =，2
1b =，
∴椭圆Γ的标准方程为2
212
x y +=． （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以
1122(2,)(2,)PA PB x y x y ⋅=-⋅-1212(2)(2)x x y y =--+，
当直线l 垂直于x 轴时，121x x ==-，12y y =-且211
2
y =
，此时1(3,)PA y =-，21(3,)(3,)PB y y =-=--，
所以22117(3)2
PA PB y ⋅=--=
． 当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l ：(1)y k x =+，
由22
(1),22,
y k x x y =+⎧⎨+=⎩整理得2222
(12)4220k x k x k +++-=， 所以2122412k x x k +=-+，2122
22
12k x x k -=+，
所以2
1212122()4(1)(1)PA PB x x x x k x x ⋅=-+++++
2221212(1)(2)()4k x x k x x k =++-+++
22
222(1)12k k k -=++22
22
4(2)412k k k k
--⋅+++ 2217221
k k +=+2
17131722(21)2k =-<+． 要使不等式PA PB λ⋅≤（R λ∈）恒成立，只需max ()PA PB λ≥⋅17
2
=
，即λ的最小值为172
． 21.解：（1）当1m =-时，()ln f x x x =-+，定义域为(0,)+∞． 求导得1
'()1f x x
=-+
， 令'()0f x =，得1x =，
当x 变化时，'()f x ，()f x 变化情况如下：
由表可知()f x 的最大值为(1)1f =-． （2）求导得1'()f x m x
=+
． ①当0m ≥时，'()0f x >恒成立，此时()f x 在(0,]e 上单调递增，最大值为
()13f e me =+=-，解得4
m e
=-
，不符合要求； ②当0m <时，令'()0f x =，得1
x m
=-，
若e m
1
-≥，此时'()0f x ≥在(0,]e 上恒成立，此时()f x 在(0,]e w 上单调递增，最大值为
()13f e me =+=-，解得4
m e
=-，不符合要求；
若1e m -<，此时'()0f x >在1(0,]m -上成立，'()0f x <在1(,]e m
-上成立，此时()f x 在
(0,]e 上先增后减，最大值为11
()1ln()3f m m -=-+-=-，解得2m e =-，符合要求．
综上可知，m 的值为2e -．
22.解：椭圆C 的普通方程为22
14y x +=，将直线l
的参数方程1122
x t y ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2
2
14
y x +=，
得22(
)
12(1)12
4t +
+=，即27160t t +=，解得10t =，2167
t =-，
所以1216
||||7
AB t t =-=．。