吉林省松原市乾安七中2018学年高一上学期第一次月考数

2018-2018学年吉林省松原市乾安七中高一（上）第一次月考数
学试卷（理科）
一．选择题（本大题共12小题，每题5分共60分）
1．已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=（）
A．∅B．{2}C．{0}D．{﹣2}
2．函数y=的值域是（）
A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（0，+∞）D．（1，+∞）
3．下列函数中哪个与函数y=x相等（）
A．y=B．y=C．y=D．y=
4．若函数f（x）=x2﹣ax+2（a为常数）在[1，+∞）上单调递增，则a∈（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）
5．下列函数中，既是偶函数，又在（﹣∞，0）上单调递减的是（）
A．B．y=e﹣x C．y=1﹣x2D．y=x2
6．已知集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．1或﹣1或0
7．已知函数y=f（2x+1）定义域是[﹣1，0]，则y=f（x+1）的定义域是（）A．[﹣1，1]B．[0，2]C．[﹣2，0]D．[﹣2，2]
8．函数f（x）=的图象（）
A．关于y轴对称B．关于x轴对称
C．关于原点对称D．关于直线y=x对称
9．已知f（+1）=x+2，且f（a）=3，则实数a的值是（）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．4
10．已知f（x）=a﹣x（a＞0且a≠1），且f（﹣2）＞f（﹣3），则a的取值范围是（）
A．a＞0 B．a＞1 C．a＜1 D．0＜a＜1
11．若对任意的x∈[﹣1，2]，都有x2﹣2x+a≤0（a为常数），则a的取值范围
是（）
A．（﹣∞，﹣3]B．（﹣∞，0]C．[1，+∞）D．（﹣∞，1]
12．定义在R上的函数f（x）满足：①f（0）=0，②f（x）+f（1﹣x）=1，③f（）
=f（x）且当0≤x1＜x2≤1时，f（x1）≤f（x2），则f（）+f（）等于（）
A．1 B．C．D．
二．填空题（本大题共4小题，每题5分共20分）
13．设函数f（x）=，则f（3）=．
14．已知函数y=a x﹣4+b （a＞0，且a≠1 ）的图象恒过定点（4，6 ），则b=．
15．若函数f（x）=，x∈（﹣∞，b）∪（b+2，+∞）是奇函数，则a+b=．
16．已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f （x+y）=f（x）+f （y）+0.5，且f （0.5）=0，当x＞0.5时，f（x）＞0，给出以下结论：
①f （0）=﹣0.5；
②f （﹣1）=﹣1.5；
③f（x）为R上的减函数；
④f（x）+0.5为奇函数；
⑤f（x）+1为偶函数．
其中正确结论的序号是．
三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．设二次函数y=f（x）的最小值为4，且f（0）=f（2）=6，求f（x）的解析式．18．集合A={x|3≤x≤9}，集合B={x|m+1＜x＜2m+4}，m∈R
（I）若m=1，求∁R（A∩B）
（II）若A∪B=A，求m的取值范围．
19．已知f（x）为R上的偶函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=x2+x﹣1，求x
∈（﹣∞，0）时，f（x）解析式．
20．已知奇函数y=f（x）的定义域为（﹣2，2），且f（x）在（﹣2，2）内是减函数，解不等式f（1﹣x）+f（1﹣3x）＜0．
21．已知函数f（x）对一切实数x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（3）=﹣2．
（1）试判定该函数的奇偶性；
（2）试判断该函数在R上的单调性；
（3）求f（x）在[﹣12，12]上的最大值和最小值．
22．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（1）求b的值；
（2）判断并证明函数f（x）的单调性；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0有解，求k的取值范围．
2018-2018学年吉林省松原市乾安七中高一（上）第一次
月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共12小题，每题5分共60分）
1．已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=（）
A．∅B．{2}C．{0}D．{﹣2}
【考点】交集及其运算．
【分析】先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．
【解答】解：∵A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，
∴A∩B={2}．
故选B
2．函数y=的值域是（）
A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（0，+∞）D．（1，+∞）
【考点】函数的值域．
【分析】通过函数的解析式，直接得到函数的值域即可．
【解答】解：函数y=可知：，即y≥1．
所以函数的值域为：[1，+∞）．
故选：B．
3．下列函数中哪个与函数y=x相等（）
A．y=B．y=C．y=D．y=
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【分析】确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案．
【解答】解：A．y=的定义域是{x|x≥0}，而函数y=x的定义域R，故不
是同一函数．
B．y=的定义域是{x|x≠0}，而函数y=x的定义域R，故不是同一函数．C．y==|x|与y=x的对应法则、值域皆不同，故不是同一函数．
D．y==x与y=x是同一函数．
故选：D．
4．若函数f（x）=x2﹣ax+2（a为常数）在[1，+∞）上单调递增，则a∈（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）
【考点】二次函数的性质．
【分析】求出函数的对称轴，得到函数的递增区间，结合集合的包含关系，求出a的范围即可．
【解答】解：函数f（x）=x2﹣ax+2的单调增区间为[，+∞），
又函数f（x）=x2﹣ax+1在区间[1，+∞）上为单调递增函数，
知[1，+∞）是它递增区间的子区间，
∴≤1，解得：a≤2，
故选：C．
5．下列函数中，既是偶函数，又在（﹣∞，0）上单调递减的是（）
A．B．y=e﹣x C．y=1﹣x2D．y=x2
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】判断函数的奇偶性以及函数的单调性即可．
【解答】解：y=是奇函数；y=e﹣x，不是偶函数；y=1﹣x2是偶函数，但是在（﹣∞，0）上单调递增，y=x2满足题意．
故选：D．
6．已知集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．1或﹣1或0
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】利用A∪B=A⇒B⊆A，写出A的子集，求出各个子集对应的m的值．【解答】解：∵A∪B=A∴B⊆A
∴B=∅；B={﹣1}；B={1}
当B=∅时，m=0
当B={﹣1}时，m=﹣1
当B={1}时，m=1
故m的值是0；1；﹣1
故选：D
7．已知函数y=f（2x+1）定义域是[﹣1，0]，则y=f（x+1）的定义域是（）A．[﹣1，1]B．[0，2]C．[﹣2，0]D．[﹣2，2]
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】由函数f（2x+1）的定义域是[﹣1，0]，求出函数f（x）的定义域，再由x+1在函数f（x）的定义域内求解x的取值集合得到函数y=f（x+1）的定义域，．【解答】解：由函数f（2x+1）的定义域是[﹣1，0]，得﹣1≤x≤0．
∴﹣1≤2x+1≤1，即函数f（x）的定义域是[﹣1，1]，
再由﹣1≤x+1≤1，得：﹣2≤x≤0．
∴函数y=f（x+1）的定义域是[﹣2，0]．
故选：C．
8．函数f（x）=的图象（）
A．关于y轴对称B．关于x轴对称
C．关于原点对称D．关于直线y=x对称
【考点】奇偶函数图象的对称性．
【分析】将函数进行化简，利用函数的奇偶性的定义进行判断．
【解答】解：因为═，所以f（﹣x）=2﹣x+2x=2x+2﹣
x=f（x），
所以函数f（x）是偶函数，即函数图象关于y轴对称．
故选A．
9．已知f（+1）=x+2，且f（a）=3，则实数a的值是（）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．4
【考点】函数的值．
【分析】设，则x=（t﹣1）2，t≥1，从而f（t）=（t﹣1）2+2t﹣2=t2﹣1，由此能求出a．
【解答】解：∵f（+1）=x+2，且f（a）=3，
设，则x=（t﹣1）2，t≥1，
∴f（t）=（t﹣1）2+2t﹣2=t2﹣1，
∴a2﹣1=3，
解得a=2或a=﹣2（舍）．
故选：B．
10．已知f（x）=a﹣x（a＞0且a≠1），且f（﹣2）＞f（﹣3），则a的取值范围是（）
A．a＞0 B．a＞1 C．a＜1 D．0＜a＜1
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【分析】由f（﹣2）＞f（﹣3）知，函数f（x）=a﹣x =是增函数，故有
＞1，从而得到a的取值范围．
【解答】解：∵f（﹣2）＞f（﹣3），
∴f（x）=a﹣x =是增函数，
∴＞1，
∴0＜a＜1，
则a的取值范围是0＜a＜1，
故选D．
11．若对任意的x∈[﹣1，2]，都有x2﹣2x+a≤0（a为常数），则a的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣3]B．（﹣∞，0]C．[1，+∞）D．（﹣∞，1]
【考点】二次函数的性质．
【分析】结合二次函数的性质，得到函数f（x）的单调区间，求出函数的最小值，从而得到a的范围．
【解答】解：若对任意的x∈[﹣1，2]，都有x2﹣2x+a≤0（a为常数）
⇔对任意的x∈[﹣1，2]，a≤﹣x2+2x（a为常数），
令f（x）=﹣x2+2x，x∈[﹣1，2]，
由f（x）的对称轴x=1，得：f（x）在[﹣1，1）递增，在（1，2]递减，
∴f（x）min=f（﹣1）=﹣3，
∴a≤﹣3，
故选：A．
12．定义在R上的函数f（x）满足：①f（0）=0，②f（x）+f（1﹣x）=1，③f（）
=f（x）且当0≤x1＜x2≤1时，f（x1）≤f（x2），则f（）+f（）等于（）
A．1 B．C．D．
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】反复运用条件f（x）+f（1﹣x）=1与f（）=f（x），求得f（0）、f（1），
推出x∈[，]时，f（x）=，最后把x=代入f（）=f（x）得f（）=f
（），再由f（）=求得结果
【解答】解：把x=0代入f（）=f（x）得f（0）=f（0），
∴f（0）=0，
把x=1代入f（x）+f（1﹣x）=1可知f（1）+f（0）=1，
∴f（1）=1，
∴f（）=f（1）=，
把x=代入f（x）+f（1﹣x）=1可得f（）+f（）=1，
∴f（）=，
又因为0≤x1＜x2≤1时，f（x1）≤f（x2），
所以x∈[，]时，f（x）=，
把x=代入f（）=f（x）得f（）=f（），
∵x∈[，]时，f（x）=，
∴f（）=，
∴f（）=f（）=，
∴f（）+f（）=+=，
故选：B．
二．填空题（本大题共4小题，每题5分共20分）
13．设函数f（x）=，则f（3）=16．
【考点】函数的值．
【分析】由3＜6，得f（3）=f（5）=f（7），由此能求出结果．
【解答】解：函数f（x）=，
∴f（3）=f（5）=f（7）=3×7﹣5=16．
故答案为：16．
14．已知函数y=a x﹣4+b （a＞0，且a≠1 ）的图象恒过定点（4，6 ），则b= 5．
【考点】指数函数的图象与性质．
【分析】令x=4，y=6得a0+b=6，即可求出b．
【解答】解：令x=4，y=6得a0+b=6，
所以b=1，
故答案为5．
15．若函数f（x）=，x∈（﹣∞，b）∪（b+2，+∞）是奇函数，则a+b=﹣1．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】由题意，f（0）=0，得a=0，利用定义域的对称性求出b，即可得出结论．
【解答】解：由题意，f（0）=0，得a=0；
∵x∈（﹣∞，b）∪（b+2，+∞），
∴b+b+2=0，
∴b=﹣1，
∴a+b=﹣1．
故答案为：﹣1．
16．已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f （x+y）=f（x）+f （y）+0.5，且f （0.5）=0，当x＞0.5时，f（x）＞0，给出以下结论：
①f （0）=﹣0.5；
②f （﹣1）=﹣1.5；
③f（x）为R上的减函数；
④f（x）+0.5为奇函数；
⑤f（x）+1为偶函数．
其中正确结论的序号是①②④．
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】①，由题意和x，y的任意性，取x=y=0代入可得f（0）；
②，取x=0.5，y=﹣0.5，可得f（﹣0.5），取x=y=﹣0.5代入可得f（﹣1）；
③，由①②知f（0）＞f（﹣1），f（x）不为R上的减函数，；
④，令y=﹣x代入可得f（x）+0.5+f（﹣x）+0.5=0；
⑤，f（0.5）+1≠f（﹣0.5）+1，可得f（x）+1不为偶函数；
【解答】解：对于①，由题意和x，y的任意性，取x=y=0代入可得f（0）=f（0）+f（0）+0.5，f（0）=﹣0.5故①正确；
对于②，取x=0.5，y=﹣0.5，可得f（0）=f（0.5）+f（﹣0.5）+0.5⇒f（﹣0.5）=﹣1，取x=y=﹣0.5代入可得f（﹣1）=f（﹣0.5）+f（﹣0.5）+0.5=﹣1.5，故②正确；
对于③，由①②知f（0）＞f（﹣1），∴f（x）不为R上的减函数，故③错；
对于④，令y=﹣x代入可得f（0）=f（x）+f（﹣x）+0.5⇒f（x）+0.5+f（﹣x）+0.5=0，即f（x）+0.5为奇函数，故④正确；
对于⑤，f（0.5）+1=1，f（﹣0.5）+1=0，∴f（x）+1=f（﹣x）+1不恒成立，f（x）+1不为偶函数，故⑤错；
故答案为：①②④
三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．设二次函数y=f（x）的最小值为4，且f（0）=f（2）=6，求f（x）的解析式．【考点】二次函数的性质．
【分析】本题可以根据条件找出抛物线的顶点，利用顶点式设出二次函数的解析式，再用一个点坐标代入，得到二次函数的解析式．
【解答】解：∵二次函数y=f（x）满足f（0）=f（2），
∴二次函数y=f（x）图象的对称轴为．
又∵二次函数y=f（x）的最小值为4，
∴二次函数y=f（x）图象的顶点坐标为（1，4），开口向上．
∴可设二次函数y=f（x）的解析式为f（x）=a（x﹣1）2+4（a＞0）．
∵f（0）=6，
∴a=2．
∴f（x）的解析式为f（x）=2x2﹣4x+6．
18．集合A={x|3≤x≤9}，集合B={x|m+1＜x＜2m+4}，m∈R
（I）若m=1，求∁R（A∩B）
（II）若A∪B=A，求m的取值范围．
【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．
【分析】（I）由m=1，求出集合B={x|2＜x＜6}，则A∩B可求，进一步求出∁R （A∩B）；
（II）若A∪B=A，则B⊆A，分类讨论，求m的取值范围．
【解答】解：（I）若m=1，集合B={x|2＜x＜6}，集合A={x|3≤x≤9}，
则A∩B={x|3≤x≤9}∩{x|2＜x＜6}={x|3≤x＜6}，
∴C R（A∩B）={x|x＜3或x≥6}；
（II）若A∪B=A，则B⊆A．
B=∅，m+1≥2m+4，∴m≤﹣3；
B≠∅，，∴2≤m≤2.5，
综上所述，m≤﹣3或2≤m≤2.5．
19．已知f（x）为R上的偶函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=x2+x﹣1，求x ∈（﹣∞，0）时，f（x）解析式．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】首先根据f（x）为R上的偶函数，得到f（﹣x）=f（x）然后利用当x ∈（0，+∞）时，f（x）=x2+x﹣1
进一步求得：当x∈（﹣∞，0）时，﹣x∈（0，+∞），所以f（﹣x）=x2﹣x﹣1所以：f（x）=x2﹣x﹣1（x＜0）
【解答】解：已知f（x）为R上的偶函数
f（﹣x）=f（x）
当x∈（0，+∞）时，f（x）=x2+x﹣1
则：当x∈（﹣∞，0）时，﹣x∈（0，+∞）
f（﹣x）=x2﹣x﹣1
所以：f（x）=x2﹣x﹣1（x＜0）
故答案为：f（x）=x2﹣x﹣1（x＜0）
20．已知奇函数y=f（x）的定义域为（﹣2，2），且f（x）在（﹣2，2）内是减函数，解不等式f（1﹣x）+f（1﹣3x）＜0．
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化进行求解即可．【解答】解：∵奇函数f（x）在定义域（﹣2，2）上是减函数，
∴不等式f（1﹣x）+f（1﹣3x）＜0等价为f（1﹣x）＜﹣f（1﹣3x）=f（3x﹣1），则不等式等价为﹣2＜3x﹣1＜1﹣x＜2
解得：x∈（﹣，），
即不等式f（1﹣x）+f（1﹣3x）＜0的解集为：（﹣，）
21．已知函数f（x）对一切实数x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（3）=﹣2．
（1）试判定该函数的奇偶性；
（2）试判断该函数在R上的单调性；
（3）求f（x）在[﹣12，12]上的最大值和最小值．
【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的判断．
【分析】（1）取x=y=0有f（0）=0，取y=﹣x可得，f（﹣x）=﹣f（x）；
（2）设x1＜x2，由条件可得f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1）＜0，从而可得结论；（3）根据函数为减函数，得出f（12）最小，f（﹣12）最大，关键是求出f（12）=f（6）+f（6）=2f（6）=2[f（3）+f（3）]=4f（3）=﹣8，问题得以解决
【解答】解（1）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）=f（0）+f（0）=2f（0），
∴f（0）=0．
令y=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（x）为奇函数．
（2）任取x1＜x2，则x2﹣x1＞0，
∴f（x2﹣x1）＜0，
∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1）＜0，
即f（x2）＜f（x1），
∴f（x）为R上的减函数，
（3）∵f（x）在[﹣12，12]上为减函数，
∴f（12）最小，f（﹣12）最大，
又f（12）=f（6）+f（6）=2f（6）=2[f（3）+f（3）]=4f（3）=﹣8，
∴f（﹣12）=﹣f（12）=8，
∴f（x）在[﹣12，12]上的最大值是8，最小值是﹣8
22．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（1）求b的值；
（2）判断并证明函数f（x）的单调性；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0有解，求k的取值范围．
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
【分析】（1）f（x）为奇函数，利用f（0）=0，解得b，并且验证即可得出．．
（2）由（1）可得：f（x）=，函数f（x）为增函数．任取实数x1＜x2，
只要证明f（x1）﹣f（x2）＜0即可．
（3）f（x）为奇函数，由不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0化为f（t2﹣2t）＜f （k﹣2t2），再利用单调性即可得出．
【解答】解：（1）∵f（x）为奇函数，∴f（0）=0，f（0）==0，解得b=1．经过验证满足条件．
（2）由（1）可得：f（x）=，函数f（x）为增函数．
证明：任取实数x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣
=，
∵x1＜x2，∴﹣x2＜﹣x1，＜，
∴﹣＜0，
又＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
∴函数f（x）为增函数．
（3）∵f（x）为奇函数，由不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0化为f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），即f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），
又∵f（t）为增函数，t2﹣2t＜k﹣2t2，∴3t2﹣2t＜k．
当t=﹣时，3t2﹣2t有最小值﹣，∴k．
2018年2月5日。