2023-2024学年江苏省镇江市高二上册期末数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年江苏省镇江市高二上册期末数学模拟试题
一、单选题
1．直线10x +=的斜率为（）
A
B ．C
D ．【正确答案】C
10x +=可化为33
33
y x =
，即可得出斜率.
【详解】10x +=可化为3333
y x =，则k =
故选：C
本题主要考查了已知直线方程求斜率，属于基础题.
2．设复数z 的共轭复数z ，若(1i)i(C)z z +=∈，则z 对应的点位于复平面内的（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【正确答案】D
【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z ，再得到共轭复数z 对应的点的坐标得答案．【详解】依题意有()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z -=
==+++-，则11
i 22
z =-，∴z 对应的点为11,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，位于复平面内的第四象限.
故选：D
3．若两条直线126:0l x y +-=与2:70l x ay +-=平行，则1l 与2l 间的距离是（）
A B ．C ．
5
D ．5
【正确答案】C
【分析】通过平行的条件求出a ,然后利用平行线直接的距离公式求解即可.
【详解】两条直线126:0l x y +-=与2l :70x ay +-=平行,可得2a =,则1l 与2
l
间的距离是:
=
故选:C.
4．在数列{}n a 中，已知11a =且12n n a a n ++=，则其前27项和27S 的值为（）
A ．56
B ．365
C ．481
D ．666
【正确答案】B
【分析】利用分组求和和等差数列求和公式即可求解．【详解】依题意得()()()27123452627=12224226
S a a a a a a a +++++
++=+⨯+⨯+
+⨯()()
13226122426123652
⨯+=+⨯++
+=+⨯
=．故选：B ．
5．已知圆22
1:(1)2C x y -+=与圆222:(1)(2)4C x y ++-=交于,A B 两点，则线段AB 的中垂
线方程为（）
A ．10x y +-=
B ．4410x y -+=
C ．10x y --=
D ．210
x y +-=【正确答案】A
【分析】根据圆的标准方程得圆心坐标，然后分析出线段AB 的中垂线就是直线12C C ，再根据两点式求出方程，化为一般式可得结果.【详解】依题意可得1(1,0)C ，2(1,2)C -，
因为11||||C A C B =，22||||C A C B =，所以直线12C C 是线段AB 的垂直平分线，所以直线12C C 的方程为：01
2011
y x --=---，即10x y +-=.故选：A
6．双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的一条渐近线方程：0x -=，则其离心率为（
）
A
B ．2
C
D 【正确答案】A
【分析】根据双曲线的渐近线方程得出a 与b 的关系，即可求解出离心率.
【详解】双曲线的一条渐近线方程：0,x y x =，
3
b a ∴
=
，
∴双曲线的离心率为：c e a ===故选：A.
7．函数2(1)(2)(3)(4)1y x x x x x =+++++在0x =处的导数为（）A ．1
B ．24
C ．37
D ．48
【正确答案】D
【分析】利用导数的运算法则及基本初等函数的导数公式，结合导函数值的定义即可求解.【详解】设()(1)(2)(3)(4)g x x x x x =++++，则()21y xg x =+，()()()()()22122y x g x xg x g x xg x '''''=++=+，
所以()0(01)(02)(03)(04)24g =+⨯+⨯+⨯+=，所以()()0
2020022448x y g g ='
'=⨯+⨯⨯=⨯=.
故函数2(1)(2)(3)(4)1y x x x x x =+++++在0x =处的导数为48.故选：D.
8．已知(8.5,)D t =数列{}n a 满足22112(1)(1)1,N n n n n a a a a n *
+++=+-+∈，若对任意正实数λ，
总存在1a D ∈和相邻两项1,k k a a +，使得10k k a a λ++=成立，则实数t 的最小值为（）
A ．9
B ．9.5
C ．10.5
D ．17
【正确答案】B
【分析】根据数列的递推关系化简可得11n n a a +-=-，再利用等差数列的通项公式及存在性问题，结合恒成立问题及解不等式即可求解.
【详解】由22112(1)(1)1,n n n n a a a a +++=+-+得22
1112212n n n n n n a a a a a a +++-+=-+，
2211122210n n n n n n a a a a a a ++++-+-+=，即()()2
11210n n n n a a a a ++--+=+，于是有
()2
110n n a a +-+=，所以110+-+=n n a a ，即11n n a a +-=-，
所以}{n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，所以()()11111n a a n a n =+-⨯-=-+，
由10k k a a λ++=，得10k k a a λ-+=，所以11k a λ
=+，由于0λ>，则11λ+>，所以1
011λ
<
<+，可得01k a <<，因为11k a a k =-+，所以1011a k <-+<，即11k a k -<<，
因为总存在1(8.5,)a t ∈，使得10k k a a λ++=成立，即()1,(8.5,)k k t ⊆-，所以18.5k -≥，即9.5k ≥.
又t k ≥，所以实数t 的最小值为9.5.故选：B.
解决此题的关键是根据数列的递推关系得出数列为等差数列，利用等差数列的通项公式，结合存在性问题的处理办法及恒成立问题的处理办法即可求解.
二、多选题
9．若方程22142
x y t t +=--表示的曲线为C ，则下列说法正确的有（
）
A ．若24t <<，则曲线C 为椭圆
B ．若曲线
C 为双曲线，则2t <或4t >C ．若曲线C 为椭圆，则椭圆的焦距为2t
D ．若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则23t <<【正确答案】BD
【分析】根据t 的取值，结合圆与圆锥曲线方程的特征逐一判断即可.
【详解】对于A ，当402042t t t t ->⎧⎪
->⎨⎪-≠-⎩
时，即23t <<或34t <<，此时曲线C 为椭圆，故A 错；
对于B ，若曲线C 为双曲线，则(4)(2)0t t -⋅-<，即2t <或4t >，故B 对；
对于C ，若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则椭圆的焦距为
=，若曲线C 为焦点在y
轴上的椭圆，则椭圆的焦距为
=C 错；对于D ，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则420t t ->->，解得23t <<，故D 对.故选：BD.
10．若数列{}n a 满足12121,1,(3,N )n n n a a a a a n n *
--===+≥∈，则称数列{}n a 为斐波那契数列，
又称黄金分割数列，在现代物理、准晶体结构.化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用，则下列结论成立的是（）
A ．713a =
B ．135********
a a a a a ++++=C ．733S =D ．62420202021
a a a a a +++
+=【正确答案】ABC
【分析】根据已知条件及数列的项的定义，结合数列的前n 和的定义即可求解.【详解】对于A ，由121,1,a a ==得3212a a a =+=，
4323,a a a =+=5435,a a a =+=6548,a a a =+=76513,a a a =+=故A 正确；
对于B ，2111212334n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a ++--------=+=+++=+++++1n S ==+L ，所以202020181232018352019111a S a a a a a a a =+=+++++=+++
+1352019a a a a =+++
+,故
B 正确；
对于C ，由121,1,a a ==32a =，43,a =55,a =68,a =713,a =得7123456733S a a a a a a a =++++++=，故C 正确；
对于D ，24620202234520182019
a a a a a a a a a a a ++++=+++++++123420182019201920211a a a a a a S a =++++++==-L ,故D 错误.
故选：ABC.
11．已知复数111i z a b =+，222i z a b =+（1a ，1b ，2a ，2b 均为实数），下列说法正确的是（）
A ．若122z z =，则12
z z >B ．1z 的虚部为1
b C ．若12=z z ，则2212
z z =D ．2
2
11
z z =【正确答案】BD
【分析】根据复数和复数的模的概念，判断选项正误.【详解】对于A ，复数不等比较大小，A 项错误；
对于B ，复数111i z a b =+，1a 是实部，1b 是虚部，B 项正确；
对于C ，12=z z =，而222111112i z a b a b =-+，222222222i z a b a b =-+，不
能得到22
12z z =，所以C 项错误；
对于D ，2
22111z a b ==+，222111112i z a b a b =-+，
222111z a b =+，所以2
211z z =，D 项正确；
故选：BD.
12．已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为2
1,4
y x E =
的焦点为F ，直线l 与E 交于,A B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为2，则下列结论正确的是（）
A ．A
B 的最大值为6B ．E 的焦点坐标为1(0,
)16
C ．若2AF FB =
，则直线AB 的方程为14
y x =±+D ．若OA OB ⊥,则AOB 面积的最小值为16【正确答案】ACD
【分析】对于A ：利用抛物线定义，三角形三边关系即可求解；对于B ：根据抛物线的焦点性质即可求解；
对于C ：联立直线方程与抛物线方程，消元后利用韦达定理，利用给定的条件即可求解；对于D ：先求出直线所过的定点，利用面积公式即可求解.
【详解】对于A ：如图：
设AB 的中点为M ，分别过,,A B M 作准线的垂线，
垂足分别为,,C D N ，因为M 到x 轴的距离为2，所以213MN =+=，由抛物线的定义知AC AF =，BD BF =,所以26MN AC BD AF BF =+=+=，因为AF BF AB +≥，
所以6AB ≤，所以AB 的最大值为6.故选项A 正确；
对于B ：由题知，抛物线E 的标准方程为24x y =，所以焦点坐标为()0,1.故选项B 错误；
对于C ：由2AF FB =
得直线AB 过点()0,1F ，直线的斜率存在，设直线AB 的方程为1y kx =+，
联立方程得21
4y kx x y
=+⎧⎨=⎩，化简得2440x kx --=，
则有4A B x x =-.
由于2AF FB =
，所以()(),12,1A A B B x y x y --=-，可得2A B x x =-
，解得A x =±2
124
A A y x ==，
所以4k =，直线AB
的方程为14
y x =±+.故选项C 正确；
对于D ：设()11,A x y ，()22,B x y ，由OA OB ⊥，得12120x x y y +=，又2
112
224
4x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，所以()2
12121016
x x x x +
=，由题知，120x x ≠，所以1216x x =-，
又22
12
21122121444
AB
x x y y x x k
x x x x -
-+===--，故直线AB 的方程为()12
114
x x y y x x +-=-，又2
114
x y =，所以1212124444x x x x x x y x x ++=-=+，
则有直线AB 恒过点()0,4，
所以121
416
2
ABC
S
x x =⨯⨯-=，
所以ABC 面积的最小值为16.故选项D 正确；故选：ACD.
三、填空题
13．函数()2
25y f x x ==-+在区间[]2,2x +∆内的平均变化率为______．
【正确答案】82x --∆【分析】先求
y x ∆∆,再求x ∆趋于0时，y x
∆∆的值.【详解】∵()()()()
2
2
22225225y f x f x ∆=+∆-=-+∆+--⨯+()2
82x x =-∆-∆，
∴
82y
x x
∆=--∆∆，即平均变化率为82x --∆.本题考查平均变化率定义及其求法,考查基本求解能力,属基础题.
14．若抛物线24y x =的准线与圆22:()1C x a y -+=相切，则=a ___________.【正确答案】2-或0
【分析】先求得抛物线的准线方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得a .【详解】抛物线24y x =的准线方程为=1x -，圆22:()1C x a y -+=的圆心为(),0a ，半径1r =，由于圆C 与准线=1x -相切，所以11a --=，解得2a =-或0.故2-或0
15．有一种病毒在人群中传播，使人群成为三种类型：没感染病毒但可能会感染病毒的S 型；感染病毒尚未康复的I 型；感染病毒后康复的R 型（所有康复者都对病毒免疫）.根据统计数据，每隔一周，S 型人群有95%仍为S 型，5%成为I 型；I 型人群中有65%仍为I 型，35%成为R 型；R 型人群仍为R 型，若人口数为A 的人群在病毒爆发前全部是S 型，记病毒爆发n 周后的S 型人数为n S ，I 型人数为n I ，则=n I _____________（用A 和n 表示，
其中N n *∈）
【正确答案】0.950.656
n n
A
-【分析】根据题意得到195n n S S +=%，1565n n n I S I +%=+%，然后分别利用等比数列的定义及通项公式求解.
【详解】解：由题意得：195n n S S +=%，则{}n S 是以95%为公比，以95A %⋅为首项的等比数列，
所以()
()1
959595n n
n S A -%⋅
=%=%⋅，
又1565n n n I S I +%=+%，即()195565n n n
I I A +=+%⋅%%，则()()1110595595910631553n n n n I A I A ++⎛⎫%=⋅%⋅%⋅%-⎭
-
⎪⎝+⋅%%⋅ ，()10559563n n A I ⎥%⋅%⎡
⎤=-⎢⎣⋅⎦%，
所以()105953n n I A ⎧
⎫⋅%⋅-%⎨⎬⎩⎭
是以65%为公比，以1055953A A -%⋅⋅%⋅%为首项的等比数列，
所以()()()11
1010135955595655653
36n n n n I A -----%⎛⎫
⋅%⋅%=%⋅⋅%⋅%=⋅%⋅%
⋅ ⎪⎝⎭
，
所以()()110135955653
6n n
n I A A -=
⋅%⋅%⋅%⋅%⋅=-0.950.656
n n A -，
故0.950.656
n n
A
-16．过双曲线22
221x y a b -=（0,0a b >>）的左焦点F 作直线l 与双曲线交,A B 两点，使得
3AB b =，若这样的直线有且仅有两条，则离心率e 的取值范围是______________.
【正确答案】)⋃+∞【分析】求出直线l 垂直于x 轴时线段AB 长，再根据这样的直线有且仅有两条列出不等式，求出
b
a
的范围作答.【详解】令双曲线半焦距为c ，则(,0)F c -，由22
2
21x c x y
a b =-⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2
||b y a =，即双曲线的通径长为2
2b a
，而双曲线实轴长为2a ，
由于过左焦点F 作直线l 与双曲线交,A B 两点，使得3AB b =的直线有且仅有两条，
则当直线l 与双曲线两支相交时，23223b a
b b a
>⎧⎪⎨>⎪
⎩，解得32b a >
，c e a =，当直线l 与双曲线左支相交于两点时，2
2323b b a a b
⎧>⎪⎨⎪>⎩
，解得203b a <<
，1e <所以离心率e 的取值范围是1313
(1,,)32
⋃+∞.
故(1,
)(,)32
⋃+∞双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a ，c ，代入公式c e a
=
；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222c a b =+转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．
四、解答题
17．在“①1n n a a +>，2951a a =，4720a a +=；②5125S a =，23a =；③2
n S n =”三个条件中
任选一个，补充到下面问题中，并解答.
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且___________，*n ∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】条件选择见解析；（1）21n a n =-；（2）21
n n
T n =
+.【分析】（1）若选择①，根据等差数列的性质可知2920a a +=，联立方程，求2a 和9a ，再根据等差数列通项公式，列首项和公差的方程组，即可求得通项公式；若选择②，根据等差数列的通项公式和前n 项和公式，列式求首项和公式，即可求得通项公式；若选择③，利用数列n a 与n S 的关系，求数列的通项公式；（2）根据（1）的结果，利用裂项相消法求和.【详解】解：（1）若选择①，由2951a a =与472920
a a a a +=+=
解得：293
17a a =⎧⎨=⎩或29173a a =⎧⎨=⎩（由于1n n a a +>，舍去）
设公差为d ，则21913817
a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11
2a d =⎧⎨
=⎩所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-若选择②，
设公差为d ，由5125S a =，得31525a a =；213
a a d =+=则111253
a d a a d +=⎧⎨+=⎩，解得11
2a d =⎧⎨
=⎩所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-若选择③，
因为11,1
,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩解得1,121,2
n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-（2）由题意得：()()
1
111212122121n b n n n n ⎛⎫
==
- ⎪
-+-+⎝⎭
所以
123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+111111111111233557212122121
n
n n n n ⎛⎫⎛⎫=
-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪
-+++⎝⎭⎝⎭18．已知圆22:2440C x y x y ++-+=，点(0,4)P .(1)求过点P 的圆的切线方程；(2)求224x y x y ++-的最小值.【正确答案】(1)0x =或34160x y -+=(2)4
-【分析】（1）根据已知条件及点与圆的位置关系的判断方法，利用直线的点斜式方程及直线
与圆的相切的条件，结合点到直线的距离公式即可求解；
（2）根据圆的方程求出x 范围，利用代入法和不等式的性质即可求解.【详解】（1）由222440x y x y ++-+=，得()()2
2
121x y ++-=，
所以圆C 的圆心坐标为()1,2C -，半径1r =，
所以1CP ==>,所以点P 在圆C 外，
当切线的斜率不存在时，切线方程为0x =，圆心()1,2C -到切线0x =的距离为
101d =--=，所以d r =，符合题意，
当切线的斜率为k ，则切线的方程为()40y k x -=-，即40kx y -+=，由圆心()1,2C -到切线的距离等于圆的半径1，得
1=，解得3
4
k =
，所以34160x y -+=，
故过点P 的圆的切线方程为0x =或34160x y -+=.
（2）由（1），得()()2
2
121x y ++-=，即()()2
2
1121x y +=-≤-，解得20x -≤≤，
由222440x y x y ++-+=，得22424y y x x -=---，所以22224244x y x y x x x x x ++-=+---=--，因为20x -≤≤，所以244x -≤--≤-，故224x y x y ++-的最小值为4-.19．已知函数()ln ,()tan f x x g x x ==.(1)求曲线()y g x =在3
x π
=
处切线方程；
(2)若直线l 过坐标原点且与曲线()y f x =相切，求直线l 的方程.
【正确答案】(1)4403
x y π
-+=(2)e 0
x y -=
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式写切线方程即可；（2）设切点坐标()00,ln x x ，然后利用导数的几何意义得到斜率0
1
k x =
，进而得到直线l 的方
程.
【详解】（1）()sin tan cos x g x x x ==，所以()2222cos sin 1cos cos x x g x x x
+'==，所以43g π⎛⎫'= ⎪⎝⎭
，3g π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
所以切线方程为：43y x π⎛
⎫- ⎪⎝⎭
，整理得4403x y π-+=.（2）()ln f x x =，所以()1
f x x
'=，设切点坐标为()00,ln x x ，所以切线斜率为01k x =，
则切线方程为：()000
1
ln y x x x x -=-，
又因为切线过原点，所以将()0,0代入切线方程得()000
1
ln x x x -=⋅-，解得0e x =，所以切线方程为：()1
1e e
y x -=
-，整理得e 0x y -=.20．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>经过点(1,0)A
，其渐近线方程为y =.
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)过点A 的直线AP AQ ，与曲线C 分别交于点P 和Q （点P 和Q 都异于点A ）
，若满足AP AQ ⊥，求证：直线PQ 过定点.
【正确答案】(1)2
2
1
2
y x -=(2)证明见解析
【分析】（1）由渐近线方程和双曲线过点(1,0)A ，求出,a b 的值，求出双曲线方程；（2）先考虑直线PQ 斜率存在时，设出其方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，利用0AP AQ ⋅=
得到b k =-或3b k =，排除不合要求的情况，求出所过定点，再考虑直线PQ 斜率不存在时，设(),P m n ，则(),Q m n -，由0AP AQ ⋅=
求出3m =-或1，去掉不合要求的
情况，证明出结论.
【详解】（1）由题意得：1a =，渐近线方程为b
y x a
=±，
故b =
=
2
2
12
y x -=；
（2）当直线PQ 斜率存在时，
设直线:PQ y kx b =+，联立双曲线方程得：()()2
2
22220k
x
kbx b ---+=，
则要满足22k -≠0，且()()2222
44220k b k b ∆=+-+>，
解得：222b k >-且22k ≠，
设()()1122,,,P x y Q x y ，则12222kb x x k +=-，2122
2
2b x x k +=--，
()()()11221212121,1,10AP AQ x y x y x x x x y y ⋅=-⋅-=-+++=
，
其中()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++，即()()()22
12121110k x x kb x x b ++-+++=，
所以()()
()2
2
22
2
12211022k b kb
kb b k
k
++-
+-⋅
++=--，整理得：22230b kb k --=，解得：b k =-或3b k =，
当b k =-时，直线:PQ y kx k =-，此时过点()1,0，则,P Q 两点有一点与A 重合，不合题意，舍去；
当3b k =时，此时直线:3PQ y kx k =+，恒过点()3,0-，满足要求，当直线PQ 斜率不存在时，设(),P m n ，则(),Q m n -，且2222m n -=，
此时()()222
21,1,2122
12AP AQ m n m n m m n m m m ⋅=-⋅--=-+-=-++- 2230m m -+-==，
解得：3m =-或1，
因为点P 和Q 都异于点A ，故1m =时不合要求，舍去，故3m =-，此时直线PQ 经过点()3,0-，综上：直线PQ 过定点，定点坐标为()3,0-.处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ），
（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至找到()00,x y ，①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的式子归为一组，变形为“()k ⋅”的形式，让括号中
式子等于0，求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k 变为常数.21．已知数列{}n a 满足
111
(N ),122
n n n a a n a a *+=∈=+.(1)证明：数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；
(2)若记n b 为满足不等式111(((N )22n n k a n -*
<≤∈的正整数k 的个数，数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和
为n S ，求关于n 的不等式4032n S <的最大正整数解.【正确答案】(1)证明见解析，2
1
n a n =+(2)8
【分析】（1）根据等差数列的定义，证明111n n
a a +-为常数，由等差数列通项公式得1
n a ，从
而求得n a ；
（2）不等式1
1122k n
n a -⎛⎫⎛⎫<≤ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
即为1
12
22
n n
k -+≤
<，从而可确定k 的个数，即n b ，然后由错位相减法求得n S ，结合{}n S 是递增数列，通过估值法得出不等式4032n S <的最大正数解．【详解】（1）由
11
22
n n n a a a +=+取倒数得11221112n n n n n a a a a a +++=⇔=+，即11112n n a a +-=，所以1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭为公差为12的等差数列，
()111112
1221
n n n n a a a n +=+-⋅=⇒=+.
（2）当1
1122n n k a -⎛⎫⎛⎫
<≤ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
时，1
112
221212
n n
n n k k -++≤
<⇔-≤<-，所以这样k 有2n 个,故2n
n b =，
()112n n
n
b n a -=+⋅，()21213242+12n n S n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，()2122232212n n n S n n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅++⋅，
两式相减得：()()2
1
222222
12=21212
n
n n
n n S n n ---=+++⋅⋅⋅+-+⋅+-+⋅-2n n =-⋅，
所以2n n S n =⋅,又因为2n
n S n =⋅为递增数列.
又因为82048S =，94608S =，8940328S S n <<⇒≤，
所以最大正整数解为8.
22．如图，已知点12,F F 分别是椭圆22
:143
x y C +=的左右焦点，,A B 是椭圆C 上不同的两点，
且12F A F B λ→
→
=（0λ>），连接2AF ，1BF 且2AF ，1BF 交于点Q
.
(1)当2λ=时，求点B 的横坐标；(2)若ABQ 的面积为1
2，试比较1
λλ
+与2的大小，说明理由.
【正确答案】(1)7
4
(2)1
2λλ
+
>，理由见解析
【分析】（1）设点A 、B 的坐标，利用122F A F B →→
=和点A 、B 均在椭圆上建立方程，然后解出方程即可；
（2）先利用基本不等式得出1
2λλ
+
≥（0λ>），再检验当1λ=时是否满足题意，进而求出
点A 、B 、Q 的坐标，最后求出ABQ S △即可
【详解】（1）易知()11,0F -，()21,0F ，设点()11,A x y ，()22,B x y 可得：()1111,F A x y →
=+，()
2221,F B x y →
=-2λ=，可得：()
1212
1212x x y y ⎧+=-⎨
=⎩又点,A B 在椭圆C 上，可得：2211143x y +=，2222
1
43
x y +=解得：27
4
x =
故点B 的横坐标为
74
（2）由基本不等式，可得：1
2λλ
+≥（0λ>）
当且仅当1λ=时，取得等号
设点()11,A x y ，()22,B x y ，当1λ=时，可得：12F A F B
→→
=可得：()1212
11x x y y ⎧+=-⎨
=⎩又点,A B 在椭圆C 上，可得：
22
11143x y +=，2222143
x y +=解得：31,2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝
⎭或31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫
⎪
⎝⎭不妨设31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫
⎪⎝⎭，可得：30,4Q ⎛⎫ ⎪
⎝⎭可得：1331
22442
ABQ S =⨯⨯=≠
△同理，当31,2A ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，也有：133122442ABQ S =⨯⨯=≠
△故1λ≠，可得：1
2
λλ
+>解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。