福建省厦门市外国语学校2021年高中数学多选题专题复习附答案

一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．已知函数2ln(1),0
()21,0
x x f x x ax x +≥⎧=⎨-+<⎩，其中实数 a ∈R ，则下列关于 x 的方程f 2 (x ) − (1+
a )⋅ f (x ) + a = 0的实数根的情况，说法正确的有（ ） A ．a 取任意实数时，方程最多有5个根
B ．当
1515
22
a --+<<
时，方程有2个根 C ．当 15
a --=
时，方程有3个根 D ．当 a ≤ −4时，方程有4个根 【答案】CD 【分析】
先化简方程为()1f x =或()f x a =，再对a 进行分类讨论，结合图象来确定()1f x =或
()f x a =分别有几个根，根据结果逐一判断选项正误即可.
【详解】
解：关于x 的方程f 2 (x ) − (1+ a )⋅ f (x ) + a = 0，即[][]
()1()0f x f x a --=，故()1f x =或
()f x a =.
函数2
ln(1),0
()21,0
x x f x x ax x +≥⎧=⎨
-+<⎩中，()0,()ln 1x f x x ≥=+单调递增，()2
220,(2)11x a x f x a x x a -+=-<=+-，对称轴为x a =，判别式
()()411a a ∆=+-.
（1）当0a ≥时，函数()f x 图象如下：
由图象可知，方程()1f x =有1个根，1a >时方程()f x a =有2个根，01a ≤≤时，方程
()f x a =有1个根，故1a >时已知方程有3个根，01a ≤<时，已知方程有2个根，
1a =时已知方程有1个根；
（2）1a =-时，函数()f x 图象如下：
10a -<<时，函数()f x 图象如下：
由两个图象可知，10a -≤<时，方程()1f x =有2个根，方程()f x a =没有根，故已知方程有2个根；
（3）1a <-时，函数()f x 图象如下：方程()1f x =有两个根.
下面讨论最小值21a -与a 的关系，由21a a -<解得15
2
a -<， 故当15
a --<
时，21a a -<，直线y a =如图①，方程()f x a =有2个根，故已知方程有4个根； 当15
a --=
21a a -=，直线y a =如图②，方程有()f x a =有1 个根，故已知
方程有3个根；
1a <<-时，21a a ->，直线y a =如图③，方程()f x a =没有根，故已知方程有2个根.
综上可知，a 取任意实数时，方程最多有4个根，选项A
1a <<时方程有2个根，1a =时已知方程有1个根，1a >时方程有3个根，故选项B 错误；当
a =
3个根，C 正确；当
4a ≤-<时，方程有4个根，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】 关键点点睛：
本题的解题关键在于分类讨论确定二次函数的图象，以及其最低点处21a -与a 的关系，以确定方程()f x a =的根的情况，才能突破难点.
2．已知函数2
2(2)log (1),1
()2,1x x x f x x +⎧+>-⎪=⎨≤-⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，则下列结论正确的是（ ）
A ．12m <≤
B ．11sin cos 0x x ->
C ．3441x x +>- D
．22
12log m
x x ++10
【答案】ACD 【分析】
画出()f x 的图象，结合图象求得1234,,,,m x x x x 的取值范围，利用特殊值确定B 选项错误，利用基本不等式确定CD 选项正确. 【详解】
画出()f x 的图象如下图所示，
由于关于x 的方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<， 由图可知12m <≤，故A 选项正确. 由图可知12,x x 关于直线2x =-对称，故12
122,42
x x x x +=-+=-， 由(
)
()2
2221x x +=≤-解得3x =-或1x =-，
所以1232,21x x -≤<--<≤-，
3324π-<-
<-，当134x π=-
时，1212sin cos ,sin cos 02
x x x x ==--=，所以B 选
项错误. 令(
)
()2
221x m x +=≤-，()2
2log 2log 1x m m m +==，()2
2log 21m x +=，
(
)2
22log 1m x +=，12,x x 是此方程的解，
所以()
2
11log 22m x =
+
，或()2
21log 22m x =
+，
故()()
2
2221
2112
11
log 422m x x x x x ++=+--++
()()
2
12
1122881022x x =++
+≥=+，
当且仅当()()
2
112
11
5
22,222x x x +=
=-+时等号成立，故D 选项正确. 由图象可知()()2324log 1log 1x x +=-+，
()()2324log 1log 10x x +++=，()()34111x x +⋅+=，4433111,111
x x x x +=
=-++， 由()()2log 111x x +=>-，解得1x =或1
2
x =-，
由()()2log 121x x +=>-，解得3x =或3
4
x =-， 所以3431
,1342
x x -
≤<-<≤， ()34333311
44145111
x x x x x x +=+
-+=-++
+ 51≥=-①. 令()()21134,1,142
1x x x x +=
==-++或12x =-，
所以①的等号不成立，即3441x x +>-，故C 选项正确. 故选：ACD
【点睛】
求解有关方程的根、函数的零点问题，可考虑结合图象来求解.求解不等式、最值有关的问题，可考虑利用基本不等式来求解.
3．设函数2,0()1
2,0
2x e x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩
，对关于x 的方程2
()()20f x bf x b -+-=，下列说法正确的有（ ）．
A ．当223b =-+1个实根
B ．当3
2
b =
时，方程有5个不等实根 C ．若方程有2个不等实根，则
17
210
b <≤ D ．若方程有6个不等实根，则32232
b -+<< 【答案】BD 【分析】
先作出函数()f x 的图象，进行换元()f x t =，将方程转化成关于t 的二次方程，结合()f x 函数值的分布，对选项中参数值与根的情况逐一分析判断四个选项的正误即可. 【详解】
函数()2
2,0,0()13
2,01,022x x e x e x f x x x x x x ⎧⎧≤≤⎪⎪
==⎨⎨-++>--+>⎪⎪⎩⎩
，作图如下：
由图可知，3(),2f x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝
⎦，令()f x t =，则3,2
t ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝
⎦
，则方程转化为
2
20b bt t +-=-，即2
2
2()22204b b t t b t t b b ϕ⎛
⎫=--- +-=+⎪-⎝=⎭
选项A 中，223b =-+时方程为(2
2234230t t -+-=+，即(2
310t +=，
故31t =，即131,12()f x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
=，看图知存在三个根，使得()31f x =，故A
错误； 选项B 中，32b =
，方程即2
31022t t -+=，即22310t t -+=，解得1t =或12
t =，当()1f x t ==时看图可知，存在3个根，当1
()2
f x t ==
时看图可知，存在2个根，故共5个不等的实根，B 正确；
选项C 中，方程有2个不等实根，则有两种情况：（1）122
b
t t ==
，则31,22b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或
10,22b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，此时2
204
b b +--=，即2480b b -+=，解得223b =-±，132b =-2）12t t ≠时，即(]123
,,02
t t =∈-∞或(]12,,0t t ∈-∞.①当(]123,,02t t =∈-∞时132t =，代入方程得2
220332b b +⎛⎫-⋅ ⎪⎝-=⎭
，解得1710b =
，由123210t t b =-=，得(]21
,05
t =∉-∞，不满足题意，舍去；②当(]12,,0t t ∈-∞时220b bt t +-=-，则()2420b b ∆=-->，1220t t b =-≥，
120t t b +=<，解得223t <--，故C 错误；
选项D 中，方程有6个不等实根，则1211,1,
,122t t ⎛⎤⎛⎤
∈∈
⎥⎥⎝⎦⎝⎦
且12t t ≠，2
2
2
()2422b b
t t b t t b b ϕ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭
+-=+-图象如下：
需满足：()2
193
024*********b b b b b ϕϕϕ⎧⎛⎫=-> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪
=-≥⎨⎪⎛⎫⎪=-+-< ⎪⎪⎝⎭
⎩，解得：32232b -+<<，故D 正确.
故选：BD. 【点睛】 关键点点睛：
本题解题关键在于对方程2
()()20f x bf x b -+-=进行换元()f x t =，变成关于t 的二次
方程根的分布问题，结合函数()f x 图象中函数值的分布情况来突破难点.
4．1837年，德国数学家狄利克雷(P .G.Dirichlet ，1805-1859)第一个引入了现代函数概念：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数”.由此引发了数学家们对函数性质的研究.下面是以他的名字命名的“狄利克雷函数”：
1,()0,R x Q D x x Q
∈⎧=⎨∈⎩(Q 表示有理数集合)，关于此函数，下列说法正确的是（ ）
A ．()D x 是偶函数
B ．,(())1x R D D x ∀∈=
C ．对于任意的有理数t ，都有()()
D x t D x +=
D ．存在三个点112233(,()),(,()),(,())A x D x B x D x C x D x ，使ABC 为正三角形 【答案】ABCD 【分析】
利用定义判断函数奇偶性，可确定A 的正误，根据“狄利克雷函数”及有理数、无理数的性质，判断其它三个选项的正误. 【详解】
A ：由()D x 定义知：定义域关于原点对称，当x Q ∈则x Q -∈，当R x Q ∈则R
x Q -∈，
即有()()D x D x -=，故()D x 是偶函数，正确；
B ：由解析式知：,()1x R D x ∀∈=或()0D x =，即(())1D D x =，正确；
C ：任意的有理数t ，当x Q ∈时，x t Q +∈即()()
D x t D x +=，当R x Q ∈时，
R x t Q +∈即()()D x t D x +=，正确；
D ：若存在ABC 为正三角形，则其高为1，边长为
3
，所以当
((0,1),,0)33
A B C -
时成立，正确； 故选：ABCD 【点睛】
关键点点睛：应用函数的奇偶性判断，结合新定义函数及有理数、无理数的性质判断各选项的正误.
5．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，(1)f x +是偶函数，且当(]
0,1x ∈时，
()(2)f x x x =--，则（ ）
A ．()f x 是周期为2的函数
B ．()()201920201f f +=-
C ．()f x 的值域为[]1,1-
D ．()y f x =在[]0,2π上有4个零点
【答案】BCD 【分析】
对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得(4)()f x f x +=，则()f x 是
周期为4的周期函数，可判断A.
对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，
()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．
对于C ，当(]
01
x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[
)10
x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，根据函数的周期性和对称性，可以求出函数在各段上的解析式，从而求出函数的零点，可判断D ． 【详解】 解：对于A ，
()1f x +为偶函数，其图像关于x 轴对称，把()1f x +的图像向右平移1个
单位得到()f x 的图像，所以()f x 图象关于1x =对称， 即(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，
()f x 为R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)()f x f x +=-，
用2x +替换上式中的x 得， (4)(2)f x f x +=-+，
所以，(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数.故A 错误. 对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，
()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；
当(]
0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，
则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-， 则()()201920201f f +=-.故B 正确.
对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x <≤，
又由()f x 为R 上的奇函数，则[)1,0x ∈-时，()10f x -≤<，
(0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[]1,1-.故C 正确.
对于D ，
(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，
[0,1]x ∴∈，()(2)f x x x =--，
[1,2]x ∴∈，2[0,1]x -∈，()(2)(2)f x f x x x =-=--
①[0,2]x ∴∈时，()(2)f x x x =--，此时函数的零点为0，2；
()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+，
②(]2,4x ∴∈时，
()f x 的周期为4，[]42,0x ∴-∈-，
()()()()424f x f x x x =-=--，此时函数零点为4；
③(]4,6x ∴∈时，[]40,2x ∴-∈，
()()4(4)(6)f x f x x x =-=---，此时函数零点为6；
④(]6,2x π∴∈时，(]42,4x ∴-∈，()()()()468f x f x x x =-=--，此时函数无零点；
综合以上有，在(0,2)π上有4个零点.故D 正确； 故选：BCD 【点睛】
关键点点睛：由(1)f x +是偶函数，通过平移得到()f x 关于1x =对称，再根据()f x 是奇函数，由此得到函数的周期，进一步把待求问题转化到函数的已知区间上，本题综合考查抽象函数的奇偶性、周期性.
6．设函数(){}
2
2,,2f x min x x x =-+其中{},,min x y z 表示,,x y z 中的最小者.下列说
法正确的有（ ） A ．函数()f x 为偶函数
B ．当[)1,x ∈+∞时，有()()2f x f x -≤
C ．当x ∈R 时，()()()f
f x f x ≤
D ．当[]4,4x ∈-时，()()2f x f x -≥ 【答案】ABC 【分析】
画出()f x 的图象然后依据图像逐个检验即可． 【详解】
解：画出()f x 的图象如图所示：
对A ，由图象可知：()f x 的图象关于y 轴对称，故()f x 为偶函数，故A 正确； 对B ，当12x ≤≤时，120x -≤-≤，()()()222f x f x x f x -=-≤-=； 当23x <≤时，021x <-≤，()()22f x x f x -≤-=；
当34x <≤时，122x <-≤，()()()22242f x x x x f x -=--=-≤-=； 当4x ≥时，22x -≥，此时有()()2f x f x -<，故B 成立；
对C ，从图象上看，当[)0,x ∈+∞时，有()f x x ≤成立，令()t f x =，则0t ≥，故
()()f f x f x ⎡⎤≤⎣⎦，故C 正确；
对D ，取3
2x =，则111224
f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31
22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()2f x f x -<，故D 不正
确． 故选：ABC ． 【点睛】
方法点睛：一般地，若()()(){}
min ,f x S x T x =（其中{}min ,x y 表示,x y 中的较小者），则()f x 的图象是由()(),S x T x 这两个函数的图象的较低部分构成的．
7．已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不断，若存在常数()t t R ∈，使得
()()0f x t tf x ++=对任意的实数x 成立，则称()f x 是回旋函数.给出下列四个命题中，正确
的命题是（ ）
A ．常值函数()(0)f x a a =≠为回旋函数的充要条件是1t =-；
B ．若(01)x y a a =<<为回旋函数，则1t >；
C ．函数2()f x x =不是回旋函数；
D ．若()f x 是2t =的回旋函数，则()f x 在[0]4030，
上至少有2015个零点. 【答案】ACD 【分析】
A.利用回旋函数的定义即可判断；
B.代入回旋函数的定义，推得矛盾，判断选项；
C.利用回旋函数的定义，令0x =，则必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，推得矛盾；
D.根据回旋函数的定义，推得()()22f x f x +=-，再根据零点存在性定理，推得零点的个数. 【详解】
A.若()f x a =，则()f x t a +=，则0a ta +=，解得：1t =-，故A 正确；
B.若指数函数()01x
y a a =<<为回旋函数，则0x t x a ta ++=，即0t a t +=，则0t <，
故B 不正确；
C.若函数()2
f x x =是回旋函数，则()2
20x t tx ++=，对任意实数都成立，令0x =，则
必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，显然0t =不是方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故C 正确；
D. 若()f x 是2t =的回旋函数，则()()220f x f x ++=，对任意的实数x 都成立，即有
()()22f x f x +=-，则()2f x +与()f x 异号，由零点存在性定理得，在区间(),2x x +上必有一个零点，可令0,2,4,...20152x =⨯，则函数()f x 在[]
0,4030上至少存在2015个零点，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】
本题考查以新定义为背景，判断函数的性质，重点考查对定义的理解，应用，属于中档题型.
8．定义在R 上的函数()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--,若()f x 在区间
[1,)-+∞上为增函数,且存在20t -<<,使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式一定成立的是( )
A ．2
1
(1)()2
f t t f ++> B ．(2)0()f f t ->> C ．(2)(1)f t f t +>+
D ．(1)()f t f t +>
【答案】ABC 【分析】
先由()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--推出()f x 关于1x =-对称，然后可得出B 答案成立，对于答案ACD ，要比较函数值的大小，只需分别看自变量到对称轴的距离的大小即可 【详解】
因为()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--
所以(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+= 所以()f x 关于1x =-对称，所以(0)(2)f f =- 又因为()f x 在区间[1,)-+∞上为增函数，20t -<< 所以(0)(2)()f f f t =-> 因为(0)()0f f t ⋅<
所以()0,(2)(0)0f t f f <-=> 所以选项B 成立
因为2
2
311
20224
t t t ⎛⎫++-=++> ⎪⎝⎭
所以21t t ++比
1
2
离对称轴远 所以2
1(1)()2
f t t f ++>，所以选项A 成立 因为()()2
2
32250t t t +-+=+>
所以32t t +>+，所以2t +比1t +离对称轴远 所以(2)(1)f t f t +>+，即C 答案成立
因为20t -<<，所以()()2
2
2123t t t +-+=+符号不定 所以2t +，1t +无法比较大小，所以(1)()f t f t +>不一定成立 所以D 答案不一定成立 故选：ABC 【点睛】
本题考查的是函数的性质，由条件得出()f x 关于1x =-对称是解题的关键.
9．狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷函数
()1,0,x Q f x x Q ∈⎧=⎨∉⎩
（Q 是有理数集）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，
从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质、结构”．关于()f x 的性质，下列说法正确的是（ ）
A ．函数()f x 是偶函数
B ．函数()f x 是周期函数
C ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=
D ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x ⋅= 【答案】ABC
【分析】
利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；验证()()1f x f x +=，可判断B 选项的正误；分1x Q ∈、1x Q ∉两种情况讨论，结合函数()f x 的定义可判断C 选项的正误；取
20x =，1x Q ∉可判断D 选项的正误.
【详解】
对于A 选项，任取x Q ∈，则x Q -∈，()()1f x f x ==-； 任取x Q ∉，则x Q -∉，()()0f x f x ==-.
所以，对任意的x ∈R ，()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，A 选项正确； 对于B 选项，任取x Q ∈，则1x Q +∈，则()()11f x f x +==； 任取x Q ∉，则1x Q +∉，则()()10f x f x +==.
所以，对任意的x ∈R ，()()1f x f x +=，即函数()f x 为周期函数，B 选项正确； 对于C 选项，对任意1x Q ∈，2x ∈Q ，则12x Q x +∈，()()1211f x x f x +==； 对任意的1x Q ∉，2x ∈Q ，则12x x Q +∉，()()1210f x x f x +==. 综上，对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=，C 选项正确； 对于D 选项，取20x =，若1x Q ∉，则()()()12101f x x f f x ⋅==≠，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键在于根据已知函数的定义依次讨论各选项，分自变量为无理数和有理数两种情况讨论，对于D 选项，可取1x Q ∉，20x =验证.
10．已知函数()22,21
ln 1,1x x f x x x e +-≤≤⎧=⎨-<≤⎩
，若关于x 的方程()f x m =恰有两个不同解
()1212,x x x x <，则
()212)x x f x -（的取值可能是（ ） A ．3- B ．1-
C ．0
D ．2
【答案】BC 【分析】
利用函数的单调性以及已知条件得到1122
,e ,(1,0]2
m m x x m +-=
=∈-，代入()212)x x f x -（，令12
1(),(1,0]2
x g x xe x x x +=-
+∈-，求导，利用导函数的单调性分析原函数的单调性，即可求出取值范围. 【详解】
因为()f x m =的两根为()1212,x x x x <，
所以1122
,e ,(1,0]2
m m x x m +-=
=∈-， 从而()()2
11
212222m m m m x x f x e m me m ++-⎛⎫-=-=-+ ⎪
⎝⎭
． 令1
21
(),(1,0]2
x g x xe
x x x +=-+∈-， 则1
()(1)1x g x x e x +'=+-+，(1,0]x ∈-．
因为(1,0]x ∈-，
所以1010,1,10x x e e x ++>>=-+>， 所以()0g x '>在(1,0]-上恒成立， 从而()g x 在(1,0]-上单调递增． 又5(0)0,(1)2
g g =-=-， 所以5(),02g x ⎛⎤
∈-
⎥⎝⎦
， 即()()212x x f x -⋅的取值范围是5,02⎛⎤
- ⎥⎝⎦
， 故选：BC ． 【点睛】
关键点睛：本题考查利用导数解决函数的范围问题.构造函数
121
(),(1,0]2
x g x xe x x x +=-+∈-，利用导数求取值范围是解决本题的关键.
二、导数及其应用多选题
11．已知偶函数()y f x =对于任意的0,
2x π⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式中不成立的是（ ）
A 34f ππ⎛⎫⎛⎫
-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B 34f ππ⎛⎫⎛⎫
-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．()04f π⎛⎫
>
- ⎪⎝⎭ D ．63f ππ⎛⎫⎛⎫
<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】ABC 【分析】 构造函数()()cos f x g x x =
，结合导数和对称性可知()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
上单调递
2643f f πππ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，从而可判断ABD 选项，由()04g g π⎛⎫
< ⎪⎝⎭
可判断C 选项.
【详解】
因为偶函数()y f x =对于任意的0,
2x π⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
满足()()cos sin 0f x x f x x '+>， 所以构造函数()
()cos f x g x x =，则()()2cos sin ()0cos f x x f x x g x x
'+'=>，
∴()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，32333cos 3f g g f πππππ⎛⎫
⎪
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
4444cos 4f g g πππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，6636cos 6
f g f ππππ⎛⎫ ⎪
⎛⎫
⎛⎫⎝⎭== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
由函数单调性可知643g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2643f f πππ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫<
< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
， 对于AB
，4343f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<=- ⎪ ⎪⎛⎫-
= ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ⎪⎭⎭
⎝，故AB 错误； 对于C ，()04g g π⎛⎫< ⎪⎝⎭
，
(
)044f ππ⎛⎫⎛⎫
<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误； 对于D
263f f ππ⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即63f ππ⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故D 正确； 故选：ABC. 【点睛】
关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的关键是利用已知条件构造对
应的新函数()
()cos f x g x x
=
，利用导数研究函数的单调性，从而比较大小，考查学生的逻辑推理能力与转化思想，属于较难题.
12．关于函数()sin x f x e a x =+，(,)x π∈-+∞，下列说法正确的是（ ） A ．当1a =时，()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=；
B ．当1a =时，()f x 存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<；
C ．对任意0a >，()f x 在(,)π-+∞上均存在零点；
D ．存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点. 【答案】ABD 【分析】
当1a =时，()sin x
f x e x =+，求出(),(0),(0)f x f f ''，得到()f x 在(0,(0))f 处的切线
的点斜式方程，即可判断选项A ；求出()0,()0f x f x ''
><的解，确定()f x 单调区间，进而求出()f x 极值点个数，以及极值范围，可判断选项B ；令()sin 0x
f x e a x =+=，当
0a ≠时，分离参数可得1sin x x a
e -=
，设sin (),(,)x
x
g x x e
π=∈-+∞，求出()g x 的极值最值，即可判断选项C ，D 的真假. 【详解】
A.当1a =时，()sin x f x e x =+，所以()cos x f x e x '=+，0(0)cos 02f e '=+=，
0(0)01f e =+=，所以()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=，故正确；
B. 因为()sin 0x f x e x ''=->，所以()'f x 单调递增，又()202
f π
'-
=>
，
334433()cos 44
2f e e ππππ
--⎛⎫'-=+-
=- ⎪⎝⎭，又2
3344
2e e e ππ
⎛⎫= ⎪⎝>>⎭
，即34e π>，则3()04f π'-
<，所以存在03,4
2x ππ⎛⎫
∈-- ⎪⎝⎭，使得0()0f x '=，即 00cos 0x e x +=，则在
()0,x π-上()0f x '<，在()0,x +∞上，()0f x '>，所以()f x 存在唯一极小值点0
x
，因
为000000()sin sin cos 4x
f x e x x x x π⎛⎫=+=-=
- ⎪⎝⎭
，03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以
03,44x π
ππ⎛
⎫
-
∈-- ⎪⎝⎭
()01,04x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故正确； C.令()sin 0x f x e a x =+=，当0a ≠时，可得1sin x x
a e
-
=，设sin (),(,)x x
g x x e
π=∈-+∞
，则cos sin 4()x x x x x g x e e π⎛
⎫- ⎪-⎝⎭'==，令()0g x '=，解得,,14x k k Z k π
π=+
∈≥-当52,244x k k ππππ⎡⎤
∈++⎢⎥⎣⎦
时()0g x '<，当592,244x k k ππππ⎡⎤
∈++⎢⎥⎣⎦
时，()0g x '>，所以当524x k ππ=+，,1k Z k ∈≥-时，
()g x 取得极小值，即35,,...44x ππ=-
，
()g x 取得极小值，又35 (44)
g g π
π
⎛⎫⎛⎫
-<> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，因为在3,4ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上，()g x 递减，所以(
)3434
2g x g e π
π⎛⎫
≥-=- ⎪⎝⎭
，所以当24
x k π
π=+
，,0k Z k ∈≥时， ()g x 取得极大值，即9,
,...44x ππ
=
，
()g x 取得极大值，又9 (44)
g g ππ
⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以 (
)4
42g x g e ππ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以(),x π∈-+∞
时，(
)3442g x e π
≤≤
34
1e a π-<
，即
4
a e >()f x 在(,)π-+∞上不存在零点，故C 错误； D.
当4
12a
e π
-
=，即4a e π
=时，1=-y a 与()sin x x
g x e =的图象只有一个交点，所以
存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点，故D 正确； 故选：ABD 【点睛】
方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．
13．关于函数()2
ln f x x x
=
+，下列判断正确的是（ ） A ．2x =是()f x 的极大值点 B ．函数y
f x
x 有且只有1个零点
C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立
D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +> 【答案】BD 【分析】
对于A ，利用导数研究函数()f x 的极值点即可； 对于B ，利用导数判断函数y f x
x 的单调性，再利用零点存在性定理即得结论；
对于C ，参变分离得到22ln x k x x <
+，构造函数()22ln x g x x x
=+，利用导数判断函数()g x 的最小值的情况；
对于D ，利用()f x 的单调性，由()()12f x f x =得到1202x x <<<，令()2
1
1x t t x =
>，
由()()12f x f x =得21222
ln t x x t t
-+=，所以要证124x x +>，即证2224ln 0t t t -->，构
造函数即得． 【详解】
A ：函数()f x 的定义域为0,
，()22212
x f x x x x
-'=-
+=，当()0,2x ∈时，0f x
，()f x 单调递减，当()2,x ∈+∞时，0f
x
，()f x 单调递增，所以
2x =是()f x 的极小值点，故A 错误．
B ：()2ln y f x x x x x
=-=+-，222212
10x x y x x x -+'=-+-=-<，所以函数在
0,
上单调递减．又()112ln1110f -=+-=>，()221ln 22ln 210f -=+-=-<，所以函数y
f x
x 有且只有1个零点，故B 正确．
C ：若()f x kx >，即
2
ln x kx x +>，则22ln x k x x <+．令()22ln x g x x x
=+，则()3
4ln x x x
g x x
-+-'=
．令()4ln h x x x x =-+-，则()ln h x x '=-，当()0,1∈x 时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,∈+∞x 时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()()130h x h ≤=-<，所以0g x
，所以()22ln x g x x x
=
+在0,上单调递减，
函数无最小值，所以不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，故C 错误． D ：因为()f x 在()0,2上单调递减，在2,上单调递增，
∴2x =是()f x 的极小值点．
∵对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则1202x x <<<． 令()211x t t x =>，则21x tx =，由()()12f x f x =，得1212
22
ln ln x x x x +=+， ∴
211222ln ln x x x x -=-，即()2121212ln x x x x x x -=，即()111
21ln t x t x tx -=⋅，解得()121ln t x t t -=，()2121ln t t x tx t t
-==
，所以21222
ln t x x t t
-+=．
故要证124x x +>，需证1240x x +->，需证
22240ln t t t -->，需证2224ln 0ln t t t
t t
-->． ∵2
1
1x t x =
>，则ln 0t t >， ∴证2224ln 0t t t -->．令()()2
224ln 1H t t t t t =-->，()()44ln 41H t t t t '=-->，
()()()414401t H t t t t
-''=-
=>>，所以()H t '在1,上是增函数．
因为1t →时，()0H t '→，则()0H t '>，所以()H t 在1,
上是增函数．
因为1t →时，()0H t →，则()0H t >，所以
2224ln 0ln t t t
t t
-->， ∴124x x +>，故D 正确． 故选：BD ． 【点睛】
关键点点睛：利用导数研究函数的单调性、极值点，结合零点存在性定理判断A 、B 的正误；应用参变分离，构造函数，并结合导数判断函数的最值；由函数单调性，应用换元法并构造函数，结合分析法、导数证明D 选项结论.
14．已知函数()3
2
f x x ax x c =+-+(x ∈R )，则下列结论正确的是（ ）．
A ．函数()f x 一定存在极大值和极小值
B ．若函数()f x 在1()x -∞，、2()x ，
+∞上是增函数，则213
x x -≥ C ．函数()f x 的图像是中心对称图形
D ．函数()f x 的图像在点00())(x f x ，(0x R ∈)处的切线与()f x 的图像必有两个不同的公共点 【答案】ABC 【分析】
首先求函数的导数2
()3210f x x ax =+-='，再根据极值点与导数的关系，判断AB 选项；证明()()2()333
a a a
f x f x f -
++--=-，判断选项C ；令0a c ==，求切线与()f x 的交点个数，判断D 选项.
【详解】
A 选项，2()3210f x x ax =+-='的24120a ∆=+>恒成立，故()0f x '=必有两个不等实根，不妨设为1x 、2x ，且12x x <，
令()0f x '>，得1x x <或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，
∴函数()f x 在12()x x ，上单调递减，在1()x -∞，和2()x ，
+∞上单调递增， ∴当1x x =时，函数()f x 取得极大值，当2x x =时，函数()f x 取得极小值，A 对， B 选项，令2()3210f x x ax =+-='，则1223a
x x +=-
，1213
x x ⋅=-，易知12x x <，
∴21x x -==≥
，B 对， C 选项，易知两极值点的中点坐标为(())33
a a f --，，又
23()(1)()333
a a a f x x x f -+=-+++-，
∴()()2()333
a a a
f x f x f -
++--=-， ∴函数()f x 的图像关于点(())3
3
a
a f --，成中心对称，C 对，
D 选项，令0a c ==得3()f x x x =-，()f x 在(0)0，
处切线方程为y x =-， 且3
y x
y x x =-⎧⎨=-⎩
有唯一实数解， 即()f x 在(0)0，
处切线与()f x 图像有唯一公共点，D 错， 故选：ABC ． 【点睛】
方法点睛：解决函数极值、最值综合问题的策略：
1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；
2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；
3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.
15．（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a ≤，则函数()f x 没有极值 B ．若0a >，则函数()f x 有极值
C ．若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫
-∞⋃⎨⎬⎩⎭
【答案】ABD 【分析】
先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断. 【详解】
解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x
'
-=-
=， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值， 又
当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞， ∴()f x 有且只有一个零点，
当0a >时，在10,a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上，()0f x '<，()f x 单调递减，
在1,a ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上，()0f x '>，()f x 单调递增，
∴当1
x a
=
时，()f x 取得极小值，同时也是最小值， ∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫
==+
⎪⎝⎭
， 当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，
当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞， 当1ln 0a +=，即1
a e
=
时，()f x 有且只有一个零点； 当1ln 0a +<，即1
0a e
<<
时，()f x 有且仅有两个零点， 综上可知ABD 正确，C 错误． 故选：ABD ． 【点睛】
方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令()0f x ＝
，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且
()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少
个零点；
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
16．设函数()()1x a
f x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下
列结论正确的有（ ） A ．a e =
B ．()f x 在区间()1,e 单调递增
C ．1x =是()f x 的极大值点
D ．()f e 是()f x 的最小值
【答案】ACD 【分析】
()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即
ln ln x a
x a
=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()x
h x x
=
的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'
f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'
f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．
【详解】
()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即
ln ln x a
x a
=只有一个正根．
设ln ()x
h x x =
，则21ln ()x h x x
-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，
max 1()()h x h e e
==
． ∴要使方程
ln ln x a
x a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a
<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；
()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，
1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，
易知1x =和x e =是此方程的解．
设()(1)ln 1p x e x x =--+，1
()1e p x x
-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，
又(1)()0p p e ==， 所以()p x 有且只有两个零点，
01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，
所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为
(1)f ，
又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确． 故选：ACD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'
f x 的零点时，利用零点定义解方程，1
()0x
e f x e ex
-'=-=，11x e e x --=，取对数得
1(1)ln x e x -=-，
易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．
17．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，其导函数()f x '满足()1
f x x
'<，且()11f =，则下列结论正确的是（ ） A ．()2f e > B ．10f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭
C ．()1,x e ∀∈，()2f x <
D ．1,1x e ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭， ()120x f x f ⎛⎫
+> ⎪⎝⎭
- 【答案】BCD 【分析】
令()()ln F x f x x =-，求导得：'1
()()0F x f x x
'
=-
<，可得函数的单调性，再结合(1)1f =，可得(1)1F =，对选项进行一一判断，即可得答案；
【详解】
令()()ln F x f x x =-，∴'1
()()0F x f x x
'
=-
<， ()F x ∴在(0,)+∞单调递减， (1)1f =，(1)(1)1F f ∴==，
对A ，()(1)()11()2F e F f e f e <⇒-<⇒<，故A 错误； 以B ，111(1)()110e
F F f f e e ⎛⎫⎛⎫>⇒+>⇒> ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，故B 正确； 对C ，(1,)()(1)()ln 1x e F x F f x x ∈∴<⇒-<，()1ln f x x ∴<+，
(1.),ln (0,1)x e x ∈∈， 1ln (1,2)x ∴+∈，()2f x ∴<，故C 正确；
对D ，111,1,
,()x x F x F e x x ⎛⎫⎛⎫∈>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()1ln ln f x x f x x ⎛⎫
⇒->+ ⎪⎝⎭
1()2ln f x f x x ⎛⎫⇒-> ⎪⎝⎭，1,1,ln (1,0)x x e ⎛⎫
∈∴∈- ⎪⎝⎭，
1()2f x f x ⎛⎫
∴->- ⎪⎝⎭
1()20f x f x ⎛⎫
⇒-
+> ⎪⎝⎭
，故D 正确； 故选：BCD. 【点睛】
根据条件构造函数，再利用导数的工具性研究函数的性质，是求解此类抽象函数问题的关键.
18．已知函数1
()2ln f x x x
=+
，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（ ）
A ．21a a <
B ．1n a >
C ．100100S <
D ．112n n n a a a +⋅+<
【答案】AB 【分析】
A ．计算出2a 的值，与1a 比较大小并判断是否正确；
B ．利用导数分析()f x 的最小值，由此判断出1n a >是否正确；
C ．根据n a 与1的大小关系进行判断；
D ．构造函数
()()1
ln 11h x x x x
=+
->，分析其单调性和最值，由此确定出1ln 10n n a a +->，将
1
ln 10n n
a a +
->变形可得112n n a a ++>，再将112n n a a ++>变形可判断结果.
【详解】
A 选项，3
221112ln 2ln 4ln 2222
a e =+=+<+=，A 正确； B 选项，因为222121()x f x x x x
='-=-，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 单增，所以()(1)1f x f >=，
因为121a =>，所以()11n n a f a +=>，所以1n a >，B 正确； C 选项，因为1n a >，所以100100S >，C 错误； D 选项，令1()ln 1(1)h x x x x =+
->，22111
()0x h x x x x
-='=->， 所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以1
ln 10n n
a a +->， 则22ln 20n n a a +
->，所以11
2ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝
⎭，即112n n a a ++>，
所以112n n n a a a ++>，所以D 错误. 故选：AB. 【点睛】
易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： （1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；
（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.
19．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x f
θ=，
()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）
A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；
B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；
C ．()()1f
g θθ+≥在02π
θ⎛⎤∈
⎥
⎝
⎦
，上恒成立；
D ．函数()()22t f g θθ=+.
【答案】ACD 【分析】
依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可
判断A 、B ；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭，再利用三角函数求值域可
判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可
得当1sin 2θ=
，cos 2
θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 【详解】
由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=， 对于A ，函数()cos f
θθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；
对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，函
数()sin g θθ=在0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
为增函数，在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
为减函数，故B 错误； 对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦
，时，3,444π
ππθ⎛⎤
+
∈ ⎥⎝⎦
()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛
⎫+=+=+∈ ⎪⎝
⎭，故C 正确；
对于D ，函数()()222cos sin2t f
g θθθθ=+=+，
求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<
；令0t '<，则1
sin 12
θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,
66
ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，
当6
π
θ=
即1sin 2θ=
，cos 2
θ=时，函数取得极大值1222t =⨯=
又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，
所以函数()()22t f g θθ=+取得最大值2
，故D 正确.
故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：
（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域；
（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.
20．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔
离直线”，已知函数()()2
f x x R x =∈，()()1
0g x x x
=
<，()2eln h x x =（e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ） A ．()()()m x f x g x =-在
x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线，且b 的最小值为4 C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,1-
D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =- 【答案】AD 【分析】
求出()()()m x f x g x =-的导数，检验在
x ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭内的导数符号，即可判断选项A ；选项B 、C 可设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，又
1
kx b x
≤+对一切0x <都成立，20∆≤，0k ≤，0b ≤，根据不等式的性质，求出k 、b 的范围，即可判断选项B 、C ；存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则隔离直线的方程为
(
y e k x -=，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.
【详解】
对于选项A ：()()()2
1m x f x g x x x =-=-
，()212m x x x
'=+， 当
x ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()2120m x x x '=+>， 所以函数()()()m x f x g x =-在
x ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭内单调递增；故选项A 正确 对于选项BC ：设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，即240k b +≤，又
1
kx b x
≤+对一切0x <都成立，则210kx bx +-≤，即 20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，
可得40k -≤≤，同理可得：40b -≤≤，故选项B 不正确，故选项C 不正确； 对于选项D ：函数()f x 和()h x
的图象在x =
()f x 和()h x 的
隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k
，则隔离直线的方程为
(y e k x -=
，即y kx e =-，由(
)f x kx e ≥-，可得
20x kx e -+≥对于x ∈R 恒成立，则0∆≤
，只有k =
y e =-
，下面证明()h x e ≤-
，令
()2n ()l G x e h x e x e =--=--，
()x G x x
'=
，当x =
()0'=G x
，当0x <<时，()0'
<G x
，当
x >()0G x '
>
，则当x =()G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值.所
以
()()0G x e h x =--≥
，则()h x e ≤-当0x >时恒成立.所以()f x 和()
g x 之间存在唯一的“隔离直线
”e y =-，故选项D 正确. 故选：AD 【点睛】
本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.
三、三角函数与解三角形多选题
21．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()001
12
f x f x =+=-
，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.则（ ）
A ．0112f x ⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭
B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
C ．()f x 的最小正周期为3
D ．()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为
1346个 【答案】AC 【分析】
根据正弦函数图象的对称性可判断A ；根据已知三角函数值求角的方法，可得
05
2,6
x k k Z ωϕππ+=-∈，0(1)2,6
x k k Z π
ωϕπ++=-
∈，两式相减可求出ω，进而求得
周期，从而可判断B 和C 选项；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f =，进而可判断D ． 【详解】
解：由题意得，()f x 在()00,1x x +的区间中点处取得最小值，。