浅谈Sn的子群

浅谈Sn的子群
第五组
数2班
摘要：本文首先引进对称群Sn的定义。

并对其性质进行了讨论。

利用置换特点求出Sn的生成元系，最后对Sn的所有子群进行了讨论。

关键字：对称群Sn 子群
如果X是由n个元素组成的有限集合，则通常把X的一个可逆变换叫做一个n阶置换，称Sx为n次对称群，并把Sx记作Sn的子群为置换群。

一、相关定理
定理1每一个有限群都同构于一个置换群。

由于集合x的元素本身与我们所讨论的问题无关，所以不妨记X={1,2,3,……n}
以下，总假定X就代表这个集合。

设σ为X的任意置换。

如果σ把1映射成k1，2变为k2…….则可以把这个置换记作
σ= 1 2 3 ……n
k1 k2 k3 ………kn
其中第一行表示集合X的n个元素，第二行表示元素表示映射后的所对应的象。

由于集合X的元素的次序和映射σ无关，因此也可以把σ表示成
σ= 2 1 3 …n
k1 k2 k3 …kn
等，只要在σ下俩行的元素上下对应就可以了。

观察上式可以发现。

如果固定第一行元素的次序，则第二行就
是1，2，3…..n的一个排列，且每一个置换都对应了一个这样的排列。

反之，每一个n阶排列也可以按上式得到唯一一个n阶置换。

由于n 个数共有n！个排列，所以n个元素的集合共有n！个n阶置换。

这样就可以证明定理2。

定理2n次对称群Sn的阶为n！
Cayley定理设G是个n阶群，则G同构与Sn的一个子群。

二、相关知识
&1证明Sn中每个置换均可写为某些对换的积。

证因Sn的每个置换均是某些循环置换的积，故只需证明循环置换(i1i2….i k)均是对换之积即可。

又（1）：（i1）=（i1i2）(i1i2);
(2): 对k＞1，（i1i2…..i k）=(i1i2)(i1i3)…….（i1i k）
所以结论成立。

&2证明Sn=<(12),(13),……(1n)>
证：因i，j>1时，（ij）=(1i) (ij)（1i）
所以由1可知。

Sn=<(12),(13),……(1n)>
即Sn=<(12),(13),……(1n)>
=｛<(12)k1,(13)k2,……(1n)kn-1,ki∈N∪{0},i=1,2,…n
也就是说(12),(13),……(1n)为Sn的生成元。

&3命题在Sn中，k循环p生成的子群的
< p >={ i, p, … p k-1 }.
证p k = i,而当i< k时，p i≠i ,故元素
i, p , … ,p k-1
两两不同，而对其中任意一个元素之任意方幂
（p i ）j ,0≤i≤k-1.
用k除ij可得
ij = qk + r ,0≤r＜k,即I , p ,… ,p k-1其中一个。

所以命题成立。

其中k循环p是指p为长度为r的轮换。

P=(123…r). &4在对称群S3中，令
p1= 1 2 3 p2 = 1 2 3 p3= 1 2 3
1 2 3 2 1 3 3 2 1
p4= 1 2 3 p5 = 1 2 3 p6= 1 2 3
1 3
2 2
3 1 3 1 2
那么S3 的乘法表是
p5p5p3p4p2p6p1 p6p6p4p2p3p1p5
所以S3的子群为：
首先是｛p1｝和S3自己，其次是｛p1 , p2｝ . {p1 ,p3} .{p1 .p4} . 因为p22=p1 , p32=p1 , p42=p1
所以< p2 >={ p1,p2 } ，< p3 >={ p1,p3 }，< p4 >={ p1,p4 }
再次是｛p1,p5,p6｝，因为
p5*p6 = p6*p5= p1,p52=p6 ,p62=p5 .
即｛p1,p5,p6｝={ p1,p6,p62 }={ p1,p5,p52 } .
三、讨论对称群Sn的子群
在对称群Sn 中，有n!个元素。

且p1= 1 2 3 … n
1 2 3 … n
Sn的子群可表示为：
首先是｛p1｝和Sn自己，
设p为Sn的r阶元，则ord ( p ) = r .
所以< p >={ p1 , p , … p r-1 }为Sn的子群。

又Sn={ (12) , (13) , … ,(1n) }
={ (12)k1，(13)k2 ,… (1n)k n-1|ki∈N∪{0},i=1,2,…n-1}
所以综上所述，
对称群Sn的所有子群为
｛p 1｝,Sn, < (12),k1 (13)k2 ,… (1n)K n-1>（ki∈N∪{0},i=1,2,…n-1}）。

参考文献：
【1】韩世安林磊 . 近世代数.北京：科学出版社，2009
【2】徐常青徐光辉 . 近世代数.合肥：合肥工业大学出版社，2007 【3】刘木兰冯克勤 . 群论.北京：国防工业出版社，1992
【4】牛凤文 . 抽象代数.武汉：武汉大学出版社，2008
【5】刘恒钱吉林. 代数学词典.武汉：华中师范大学出版社，1996
English Abstract：This paper first introduces the definition of symmetry groups Sn，And discusses its properties . Use of displacement characteristics for the generation of yuan of Sn,
finally, all the subgroup Sn are discussed.。