近代数学两巨星课件人教新课标

有意义的进展
意大利数学家萨凯里（G.Saccheri）在《欧几里 得无懈可击》（1733）一书中，从著名的“萨 凯里四边形”出发来证明平行公设。
四边形ABCD中，AD=BC，∠A=∠B且为直角。不
用平行公设易证∠C=∠D。
D
C
（1）直角假设：∠C和∠D是直角
（2）钝角假设： ∠C和∠D是钝角 A
B
1763年，德国数学家克吕格尔（G.S.Klugel）在 其博士论文中第一指出萨凯里的工作实际上并 未导出矛盾，只是得到了好像与经验不符的结 论。克吕格尔是第一位对平行公设是否可以由 其它公设加以证明表示怀疑的数学家。
高斯建立非欧几何
最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容、而且 可以用来描述物质空间的是高斯。他从1799年 开始意识到平行公设不能从其它公设推导出来， 并从1813年起建立了一种使第五公设在其中不 成立的新几何学。他起先称之为“反欧几里得 几何”，最后改称为“非欧几里得几何”。但 高斯没有发表过任何有关非欧几何的文章，只 在跟朋友的一些通讯中提及，他在给一位朋友 的信中说：“如果公布自己的这些发现，‘黄 蜂就会围着耳朵飞’，并会‘引起波哀提亚人 的叫嚣’”。
18世纪通过研究发散级数而获得的另一个重要
常数是“欧拉常数”γ，这是欧拉在讨论如何
用对数函数来逼近调和级数的和时得到的，它
最简单的表示情势为
lim(1 n
1 2
1 ...... 3
1 n
ln n)
欧拉曾计算出γ的近似值为0.577218，但到现 在也没有能够判断γ是有理数还是无理数。
第五公设（平行公设）
对第五公设的证明
历史上第一个宣称证明了第五公设的是 古希腊天文学家托勒密（约公元150）， 后来普洛克鲁斯指出托勒密的“证明” 无意中假定了过直线外一点只能作一条 直线与已知直线平行。 替代公设：过直线外一点有且只有一条 直线与已知直线平行。
几何原理中的家丑
从公元前3世纪到18世纪，证明第五公设 的努力始终没有中断。但每一种“证明” 要么隐含了另一个与第五公设等价的假 定，要么存在其它情势的错误。而且， 这类工作中的大多数对数学思想的进展 没有多大现实意义。18世纪中叶，达朗 贝尔把平行公设的证明问题称为“几何 原理中的家丑”。
第六讲 近代数学两巨星
推广莱布尼茨学说的任务，在从17世纪 到18世纪的过渡时期，主要是由雅各 布．伯努利（Jacob Bernoulli，1654-1705） 和约翰．伯努利（John Bernoulli，16671748）两兄弟担当。这个来自瑞士的伯努 利家族，在17、18世纪先后产生了十几位 著名的数学家。雅各布和约翰是其中最 有影响的两位，他们的工作构成了现今 所谓初等微积分的大部分内容。
欧拉在数学上的贡献
பைடு நூலகம்
引进函数定义，并提出了代数函数与超 出函数、三角函数、指数函数、对数函 数、Г函数、 函数 。
解决了下列和式当p为偶数时的和
1
1 2p
1 3p
......
1 np
......
发展了棣莫弗公式，得到等式 ei 1 0
欧拉在数学上的贡献
最早将微积分用于研究曲线和曲面，从而创建 了微分几何。 第一次将分析工具用于数论研究，从而创建了 解析数论。 解决了哥尼斯堡七桥问题，从而创建了图论。 著作中有大量分析的应用，如月球运动理论等。 初等几何中：三角形中的欧拉线、欧拉圆、多 面体欧拉公式等。
欧拉对微积分的贡献
18世纪微积分最重大的进步是由欧拉（Leonard Euler，1707-1783）作出的。欧拉在1748年出版 的《无限小分析引论》、1755年发表的《微分 学》、1770年发表的《积分学》是微积分史上 里程碑式的著作。他们在很长的时间里被当作 分析课本的典范普遍使用着。这三部著作包含 了欧拉本人在分析领域的大量创造，同时引进 了一批标准的符号如：函数符号f（x）、求和 符号、自然对数底、虚数单位i等，对分析表述 的规范化起到了重要作用。
第五公设：若一直线落在两直线上所构成的同 旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长， 它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。
在欧氏几何的所有公设中，唯独这条公设显得 比较特殊，它的叙述不像其它公设那样简洁、 明了，当时就有人怀疑它不像是一个公设而更 像是一个定理，并产生了从其它公设和定理推 出这条公设的想法。欧几里得本人对这条公设 好像也心存犹豫，并尽力推迟它的应用，一直 到卷Ⅰ命题29才不得不使用它。
欧拉在三角形中发现的结论
三角形的垂心H，重心G，外心U三点共线， 且HG=2GH。（1765年） 三角形三边的中点、三条高线的垂足、 垂心至三顶点连线段的中点在同一个圆 周上。（九点圆、欧拉圆） 三角形外接圆、内切圆半径分别为R，r， 两圆圆心距为d，则 d R(R 2r)。（IMO4-6）
欧拉常数
（3）锐角假设： ∠C和∠D是锐角
萨凯里第一由钝角假设推出了矛盾，然后考虑 锐角假设，在这一过程中获得了一系列新奇的 结论：如三角形内角和小于两直角；过直线外 一点有无数条直线与已知直线平行等。萨凯里 认为它们太不合情理，便以为自己导出了矛盾 而判断锐角假设是不真实的。而直角假设则是 与平行公设等价的。