2023-2024学年河南省周口市西华第三高级中学高三(上)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年河南省周口市西华第三高级中学高三（上）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A={x|x2−4≥0}，B={x|0<2x≤b}，且A∩B={x|2≤x≤4}，则b=( )
A. −6
B. −8
C. 8
D. 6
2.已知复数z满足3+iz=i2023+z，则−
z=( )
A. 1+i
B. 1−i
C. 1+2i
D. 1−2i
3.已知(x3+2
x2
)n的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为( )
A. 60
B. 80
C. 100
D. 120
4.不论k为任何实数，直线(2k−1)x−(k+3)y−(k−11)=0恒过定点，若直线mx+ny=2此定点，其中
m，n是正实数，则3
m +1
2n
的最小值是( )
A. 21
4B. 27
4
C. 21
2
D. 27
2
5.《九章算术》卷五《商功》中，把正四棱台形状的灿筑物称为“方亭”，沿“方亭”上底面的一对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍
甍”.现记截面之间几何体体积为V1，“刍甍”的体积为V2，若V2
V1=1
3
，则“方亭”的上、下底面边长之比
为( )
A. 5−1
2B. 5−1
4
C. 5+1
2
D. 5+1
4
6.若α，β为锐角，且α+β=π
4
，则tanα+tanβ的最小值为( )
A. 22−2
B. 2−1
C. 23−2
D. 3−1
7.已知函数f(x)的定义域为R，y=f(x)+e x是偶函数，y=f(x)−3e x是奇函数，则f(x)的最小值为( )
A. e
B. 22
C. 23
D. 2e
8.已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2−
y 2
b 2
=1(a >0,b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线上，PF 1⊥PF 2，圆
O ：x 2+y 2=9
4(a 2+b 2)，直线PF 1与圆O 相交于A ，B 两点，直线PF 2与圆O 相交于M ，N 两点，若四边形AMBN 的面积为9b 2，则C 的离心率为( )A. 5
4
B. 8
5
C.
52
D. 2
105
二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知甲种杂交水稻近五年的产量(单位：t/ℎm 2)数据为：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙种杂交水稻近五年的产量(单位：t/ℎm 2)数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则( )A. 甲种的样本极差小于乙种的样本极差B. 甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数C. 甲种的样本方差大于乙种的样本方差
D. 甲种的样本60百分位数小于乙种的样本60百分位数
10.已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,−π2<φ<π
2)的部分图象如图所示，则( )A. f(x)的最小正周期为π
B. 当x ∈
[−π4,π4]时，f(x)的值域为[− 32, 3
2
]
C. 将函数f(x)的图象向右平移π
12个单位长度可得函数g(x)=sin2x 的图象D. 将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点(5π
6,0)对称
11.已知函数f(x)的定义域为[−1,5]，部分对应值如表，f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，下列关于函数f(x)的结论正确的有( )x −10245f(x)
1
2
2
1
A. 函数f(x)的极大值点有2个
B. 函数f(x)在[0,2]上是减函数
C. 若x∈[−1,t]，f(x)的最大值是2，则t的最大值为4
D. 当1<a<2时，函数y=f(x)−a有4个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知点P在抛物线C：y2=2px(p>0)上，过P作C的准线的垂线，垂足为H，点F为C的焦点.若
∠HPF=60°，点P的横坐标为1，则p=______．
−2C) 13.设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知3cosC(acosC+ccosA)+b=0，则sin(π
2
的值为______．
14.“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找“完全数”用到函数
σ(n)：∀n∈N∗，σ(n)为n的所有正因数之和，如σ(6)=1+2+3+6=12，则σ(20)=______；σ(6n
)=______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)
，其中R是三角形外接圆半径，在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2R−a=a(b2+c2−a2)
a2+c2−b2
且A不为直角．
(1)若B=π
，求A的大小；
6
(2)求2a2−c2
的最小值．
b2
16.(本小题15分)
已知正项数列{a n}的前n项和为，且a1=1，S2n+1−S2n=8n，n∈N∗．
(1)求S n；
(2)在数列{a n}的每相邻两项a k，a k+1之间依次插入a1，a2，…，a k，得到数列{b n}：a1，a1，a2，a1，
a2，a3，a1，a2，a3，a4，…，求{b n}的前100项和．
17.(本小题15分)
某市37家A级旅游景区，在2024年元旦节日期间，接待人数和门票收入大幅增长.该市某旅行社随机调查了市区100位市民平时外出旅游情况，得到的数据如下表：
喜欢旅游不喜欢旅游总计
男性203050
女性302050
总计5050100
(1)利用以上数据，判断能否依据小概率值α=0.05的独立性检验认为喜欢旅游与性别有关？
(2)将频率视为概率，从全市男性市民中随机抽取2人进行访谈，记这2人中喜欢旅游的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．
，其中n=a+b+c+d．
附：χ2=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α0.10.050.010.001
xα2.7063.8416.63510.828
18.(本小题17分)
CD，AD=如图，在四棱锥E−ABCD中，AB//CD，BC⊥AB，CD⊥CE，∠ADC=∠EDC=45°，AB=1
2
2，BE=3．
(1)求证：平面BCE⊥平面ABCD；
(DA+DE)，求直线DM与平面ABCD所成角的正弦值．
(2)若M为AE上一点，且DM=1
2
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=e x ln(1+x)．
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(Ⅱ)设g(x)=f′(x)，讨论函数g(x)在[0,+∞)上的单调性；
(Ⅲ)证明：对任意的s，t∈(0,+∞)，有f(s+t)>f(s)+f(t)．
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.B
5.A
6.A
7.B
8.D
9.ABD
10.ACD
11.ABD
12.2
3
13.−7
9
14.421
2
(2n+1−1 )(3n+1−1 )
15.解：(1)由余弦定理可得2R−a=a⋅2bccosA
2accosB
，可得2RcosB−acosB=bcosA，再由正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsinB，
所以cosB=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)，
在三角形中，可得A+B=π
2
−B，而B=π
6
，
可得A=π
6；
(2)由(1)可得cosB=sin(A+B)=sinC，
在三角形中，可得sin(π
2
−B)=sinC或sin(π
2
+B)=sinC，
即π
2
−B=C，即B+C=π
2
，可得A=
π
2
，与A角不是直角矛盾，
或π
2
+B=C，可得A=π−B−C=π
2
−2B，
所以2a2−c2
b2=2sin2A−sin2C
sin2B
=2cos22B−sin2C
sin2B
2(1−2sin2B)2−cos2B
sin2B
=8sin4B−7sin2B+1
sin2B
=8sin2B+1
sin2B
−7≥2
8sin2B⋅1
sin2B −7=42−7，当且仅当8sin4B=1时取等号，即sinB=42
2
时取等号，
所以2a2−c2
b2
的最小值为42−7．
16.解：(1)因为S2n+1−S2n=8n，
当n≥2时，S2n=(S2n−S2n−1)+⋯+(S22−S21)+S21
=8(n−1)+⋯+8×1+1=8[1+2+3+⋯+(n−1)]+1
=8×n(n−1)
2
+1=(2n−1)2，
因为a n>0，所以S n>0，故S n=2n−1．
当n=1时，S1=a1=1适合上式，
所以S n=2n−1，n∈N∗．
(2)(方法1)因为S n=2n−1，n∈N∗，
所以当n≥2时，a n=S n−S n−1=(2n−1)−(2n−3)=2．
所以a n={1 ,n=1,
2 ,n≥2.
所以数列{b n}：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，……，
设1+2+⋯+n=n(n+1)
2
≤100，则n2+n−200≤0，
因为n∈N∗，所以n≤13．
所以{b n}的前100项是由14个1与86个2组成．
所以T100=14×1+86×2=186．
(方法2)设1+2+⋯+n=n(n+1)
2
≤100，则n2+n−200≤0，
因为n∈N∗，所以n≤13．
根据数列{b n}的定义，知T100=a1+(a1+a2)+(a1+a2+a3)+⋯+(a1+a2+⋯+a13)+(a1+a2 +⋯+a9)
=S1+S2+…+S13+S9=(1+3+5⋯+25)+17=13×(1+25)
2
+17=186．
17.解：(1)零假设H0：喜欢旅游与性别无关，
因为K2=100×(20×20−30×30)2
50×50×50×50
=4>3.841，
所以依据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为喜欢旅游与性别有关；
(2)任取一人喜欢旅游的概率P=20
50=2
5
，
由题意可知：ξ～B(2,2
5)，ξ的可能取值为0，1，2，
所以P(ξ=0)=C 02×(1−25)2×(25)0
=9
25，P(ξ=1)=C 12×(1−25)1×(25)1=12
25，P(ξ=2)=C 22×(1−25)0×(25)2=4
25，
所以ξ的分布列为： ξ012P
9251225425
所以E(ξ)=0×9
25+1×12
25+2×4
25=4
5．
18.解：(1)证明：∵BC ⊥AB ，AB//CD ，∴CD ⊥BC ，
∵CD ⊥CE ，BC ∩CE =C ，BC ，CE ⊂平面BCE ，∴CD ⊥平面BCE ，
∵CD ⊂平面ABCD ，∴平面BCE ⊥平面ABCD ；(2)取AB 的中点N.连接DN 、MN ，
由(1)知CD ⊥平面BCE ，
∵BE ⊂平面BCE ，∴CD ⊥BE ，如图，过点A 作AF ⊥CD ，
∵∠ADC =45°，AD = 2，∴AF =1，DF =FC =1，∴BC =1，∵∠EDC =45°，CD ⊥CE ，∴CD =CE =2，∵BE = 3，由勾股定理可知BE ⊥BC ，
∵BC ∩CD =C ，BC 、CD ⊂平面ABCD ，∴BE ⊥平面ABCD ，∵DM =12
(DA +DE )，∴M 为AE 的中点，∴MN//BE ，又BE =
3，∴MN =
32
，
∴MN ⊥平面ABCD ，∴∠MDN 为直线DM 与平面ABCD 所成角，由(1)知CD ⊥BC ，又AB//CD ，AB =12
CD ，∠ADC =45°，AD = 2，∴AB =BC =12
CD =1，则DN =
AD 2+AN 2−2AD ⋅AN ⋅cos ∠DAN =
132
，
∴DM 2=DN 2+MN 2=
134+3
4
=4，∴DM =2，
∴sin ∠MDN
=MN DM =
322
=
34，∴直线DM 与平面ABCD 所成角的正弦值为
3
4
． 19.解：(Ⅰ)对函数求导可得：f′(x)=e x [ln (x +1)+1
x +1]，
将x =0代入原函数可得f(0)=0，将x =0代入导函数可得：f′(0)=1，故在x =0处切线斜率为1，故y−0=1(x−0)，化简得：y =x ；(Ⅱ)由(Ⅰ)有：g(x)=f′(x)=e x [ln (x +1)+1
x +1]，g′(x)=e x [ln (x +1)+2
x +1−1
(x +1)2]，
令ℎ(x)=ln (x +1)+2
x +1−1
(x +1)2，令x +1=k(k ≥1)，设m(k)=lnk +2
k −1
k 2，m′(k)=
(k−1)2+1
k 3
>0恒成立，故ℎ(x)在[0,+∞)上单调递增，又因为ℎ(0)=1，故ℎ(x)>0在[0,+∞)上恒成立，故g′(x)>0，故g(x)在[0,+∞)上单调递增；
(Ⅲ)证明：由(Ⅱ)有g(x)在[0,+∞)上单调递增，又g(0)=1，故g(x)>0在[0,+∞)恒成立，故f(x)在[0,+∞)上单调递增，设w(x)=f(x +t)−f(x)，w′(x)=f′(x +t)−f′(x)，
由(Ⅱ)有g(x)在[0,+∞)单调递增，又因为x +t >x ，所以f′(x +t)>f′(x)，故w(x)单调递增，又因为s >0，故w(s)>w(0)，即：f(s +t)−f(s)>f(t)−f(0)，又因为函数f(0)=0，故f(s +t)>f(s)+f(t)，得证．。