北京市大兴区2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题(解析版)

北京市大兴区2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．1，2，3，4，5，5这组数据的第50百分位数是( ) A ．3
B ．3.5
C ．4
D
．5
〖解 析〗1，2，3，4，5，5这组数据共计6个，所以650%3⨯=， 故第50百分位数是34
3.52
+=． 〖答 案〗B
2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(2,1)，则(z = ) A ．2i -
B ．12i -
C ．2i +
D ．12i +
〖解 析〗复数z 对应的点的坐标是(2,1)，2z i ∴=+，∴2z i =-． 〖答 案〗A
3．抛掷一枚硬币两次，则至少有一次正面朝上的概率是( )
A ．
14
B ．13
C ．
12
D ．
34
〖解 析〗抛掷一枚硬币两次，则全部是反面朝上的概率为111
224
⨯=，
故至少有一次正面朝上的概率为13
144
-=．
〖答 案〗D
4．已知12,e e 是单位向量，且12e e ⊥，则下列结论正确的是( ) A ．12e e =
B ．12||||1e e +=
C ．212()2e e +=
D ．12||2e e -=
〖解 析〗根据题意，依次分析选项： 对于A ，12e e ⊥，则12,e e 方向不同，A 错误； 对于B ，12||||112e e +=+=，B 错误；
对于C ，12e e ⊥，则120e e ⋅=，则有2
2
2121212()22e e e e e e +=++⋅=，C 正确；
对于D ，12e e ⊥，则120e e ⋅=，则有2
2
2121212()22e e e e e e -=+-⋅=，则12||2e e -=，D 错误．
〖答 案〗C
5．如图，A ，B 两点在河的两岸，在B 同侧的河岸边选取点C ，测得BC 的距离10m ，
75ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，则A ，B 两点间的距离为( )
A
．
B
．
C
．
D
．
〖解 析〗在ABC ∆中，75ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，可得180607545CAB ∠=︒-︒-︒=︒， 又因为得10BC m =，由正弦定理可得：
sin sin BC AB
CAB ACB
=
∠∠，
可得sin 10sin ACB
AB BC CAB ∠=
⋅==∠ 〖答 案〗D
6．一个袋中只装有红球、黄球和蓝球，从中随机摸出一个球，若摸出红球的概率为0.5，摸出黄球的概率为0.4，则摸出红球或蓝球的概率是( ) A ．0.1
B ．0.3
C ．0.6
D ．0.9
〖解 析〗由题意可得，摸出蓝球的概率为10.50.40.1--=， 则摸出红球或蓝球的概率是0.50.10.6+=． 〖答 案〗C
7．已知点(0,0)O ，(1,2)A -，(1,1)B ，则OA 与AB 的夹角的余弦值为( )
A ．45
-
B ．
45
C ．310
-
D ．
310
〖解 析〗(0,0)O ，(1,2)A -，(1,1)B ，
∴(1,2)OA =-，(2,1)AB =-，
故cos OA <
，45AB >=
=-．
〖答 案〗A
8．“直线//l 平面α”是“平面α内存在无数条直线都与直线l 平行”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
〖解 析〗①若直线//l 平面α，则l β⊂，m αβ=时，//l m ，
则平面α内与直线m 平行的直线都与直线l 平行，
∴平面α内存在无数条直线都与直线l 平行，∴充分性成立，
②若平面α内存在无数条直线都与直线l 平行，则//l 平面α或l α⊂，∴必要性不成立，
∴“直线//l 平面α”是“平面α内存在无数条直线都与直线l 平行”的充分不必要条件．
〖答 案〗A
9．已知向量,a b 满足24a b ⋅，且||2a =，则||b 的取值范围是( ) A ．(0,1)
B ．[1)+∞
C ．[2，)+∞
D ．[0，2]
〖解 析〗设向量a 与b 的夹角为θ，[0θ∈，)2π
，||||cos 2||cos a b a b b θθ⋅=⋅=⋅，
因为24a b ⋅，所以22||cos 4b θ⋅，即1||cos 2b θ，
设cos x θ=，||b y =，则0112x xy <⎧⎨⎩，即011
2x y x y x ⎧
⎪<⎪
⎪⎨⎪
⎪⎪⎩，
作出可行域，如图所示，
由图可得，1y ，所以||1b ． 〖答 案〗B
10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱AB 的中点．令直线1D M 与1AA 所成的角为1θ，直线1D M 与平面111
1A B C D 所成的角为2θ，二面角1D AM C --的平面角为3θ，
则( )
A ．123θθθ>=
B ．132θθθ>>
C ．123θθθ=<
D ．132θθθ<<
〖解 析〗取11A B 的中点N ，连接如图，
易得1//AA MN ，故直线1D M 与1AA 所成的角11D MN θ=∠， 又直线1D D ⊥平面1111A B C D ，
故直线1D M 与平面1111A B C D 所成的角为21D MD θ=∠， 又AB ⊥平面11AA D D ，
故二面角1D AM C --的平面角为3145D AD θ=∠=︒， 因为111111132tan 1,tan 1,tan 1D N D A D D D A
MN MN MD AD
θθθ=
>===<=， 故132tan tan tan θθθ>>，
又1θ，2θ，3θ均为锐角，故132θθθ>>． 〖答 案〗B
二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分. 11．若(1,2)a =与(3,)b x =-是共线向量，则x = ． 〖解 析〗
(1,2)a =与(3,)b x =-是共线向量，∴
312
x
-=，则6x =-． 〖答 案〗6-
12．若复数z 满足1i z i ⋅=+，则z = ；||z = ． 〖解 析〗1i z i ⋅=+，
∴21(1)1i i i
z i i i
++=
==-，∴||z ．
〖答 案〗1i -
13．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，由此图，估计总体数据不低于30的概率为 ；估计总体数据的第80百分位数是 ．
〖解 析〗数据在10~20之间的频率为：0.015100.15⨯=； 数据在20~30之间的频率为：0.03100.3⨯=； 数据在40~50之间的频率为：0.015100.15⨯=； 数据在30~40之间的频率为：10.150.30.150.4---=； 所以总体数据不低于30的概率为：0.40.150.55+=；
数据在10~40之间的频率为：10.150.8585%--=，数据在10~30之间的频率为：
0.150.30.4545%+-=因此总体数据的第80百分位数一定位于30~40之间．
由0.800.45
301038.750.850.45
-+⨯
=-，可以估计估计总体数据的第80百分位数是38.75．
〖答 案〗0.55；38.75
14．已知直线m 和平面α，β．给出下列三个论断： ①//m α； ②//αβ； ③m β⊂．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ． 〖解 析〗①②作条件，③作结论：
若//m α，//αβ，则m β⊂，此命题是假命题，结论应该是m β⊂或//m β； ①③作条件，②作结论：
若//m α，m β⊂，则//αβ，此命题是假命题，结论应该是α，β相交或平行； ②③作条件，①作结论：
若//αβ，m β⊂，则//m α，由两平面平行的性质定理得此命题是真命题． 〖答 案〗若//αβ，m β⊂，则//m α
15．已知以O 为起点的向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示，网格纸上小正方形的边长
为1．
①()a a b ⋅-= ．
②设集合{}
|,01,12M P OP a b λμλμ==+，则M 表示的区域的面积为 ．
〖解 析〗①由题意建立如图所示的平面直角坐标系，
则(2,1)a =，(2,1)b =-，则(0,2)a b -=，则()20122a a b ⋅-=⨯+⨯=； ②设(,)OP x y =，
OP a b λμ=+，(x ∴，)(22y λμ=+，)λμ-，即22x y λμλμ=+⎧⎨=-⎩，解得2424
x y x y λμ+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，
又01λ，12μ，20
14x y +∴，2124
x y
-，024x y ∴+，428x y -， 作出M 表示的区域，如图所示；
由20
24x y x y +=⎧⎨-=⎩
解得，2x =，1y =-；故点(2,1)E -，
同理可得(4,2)B -，
(6,1)
C -，(4,0)
D ；
故四边形BCDE 为菱形， 则其面积为11
||||24422
S BD EC =⋅=⨯⨯=． 〖答 案〗2；4
三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（13分）已知向量,a b 满足||1,(3,4)a b ==． （1）当a 与b 的夹角为60︒时，求a b ⋅；
（2）当实数k 为何值时，向量ka b +与ka b -垂直； （3）若()a b R λλ=∈，求λ的值． 解：（1）由(3,4)b =知，2||345b =+=，
因为a 与b 的夹角为60︒，所以15
||||cos601522
a b a b ⋅=⋅︒=⨯⨯
=． （2）因为向量ka b +与ka b -垂直，所以()()0ka b ka b +⋅-=，即2220k a b -=， 所以225k =，解得5k =-或5k =．
（3）由a b λ=知，||||||a b λ=⋅，即15||λ=，所以1
5
λ=-或15λ=．
17．（14分）从0，1，2，3这四个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成数对(,)x y ，
x 为第一次取到的数字，y 为第二次取到的数字．设事件A = “第一次取出的数字是1”，
B = “第二次取出的数字是2”
． （1）写出此试验的样本空间及P （A ），P （B ）的值； （2）判断A 与B 是否为互斥事件，并求()P A B ；
（3）写出一个事件C ，使A C ⊆成立．
解：（1）从0，1，2，3这四个数字中，不放回地取两次，
样本空间{(0,1)Ω=，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)}，所以()12n Ω=．
因为事件A = “第一次取出的数字是1”，
所以{(1,0)A =，(1,2)，(1,3)}，所以n （A ）3=．所以31()124
P A ==． 因为B = “第二次取出的数字是2”，
所以{(0,2)B =，(1,2)，(3,2)}，所以n （B ）3=．所以31()124
P B =
=．
（2）因为{(1,2)}
A B=，所以A与B不是互斥事件．
因为A B=第一次取出的数字是1”或“第二次取出的数字是2”，所以{(1,0)
A B=，(1,2)，(1,3)，(0,2)，(3,2)}，
所以()5
n A B=，所以
5 ()
12
P A B=．
（3）{(1,0)
C=，(1,2)，(1,3)，(2,3)}．
18．（15分）如图，在四棱锥P ABCD
-中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E，F 分别为BC，PD的中点．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求证：//
CF平面PAE；
（3）若平面PAE⊥平面PAD，求ABC
∠的大小．
（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA BD
⊥，
又因为底面ABCD为菱形，所以BD AC
⊥，
又因为PA AC A
=，所以BD⊥平面PAC．
（2）证明：取G为PA的中点，连结EG，GF，
在PAD
∆中，G，F分别为PA，PD的中点，所以
1
//,
2
GF AD GF AD
=，
因为底面ABCD为菱形，且E为BC的中点，
所以
1
//,
2
CE AD CE AD
=，所以//
CE GF，CE GF
=，
所以四边形GFCE为平行四边形，所以//
EG CF，
因为CF⊂/平面PAE，EG⊂平面PAE，所以//
CF平面PAE．
（3）解：因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA AD
⊥，因为平面PAE⊥平面PAD，
且平面PAE⋂平面PAD PA
=，AD⊂平面PAD，所以AD⊥平面PAE，所以AD AE
⊥，
因为底面ABCD 为菱形，且E 为BC 的中点，所以//CE AD ，
所以90AEB EAD ∠=∠=︒，则ABC ∆是等边三角形，所以60ABC ∠=︒．
19．（14分）某校有高中学生1000人，其中男生400人，女生600人．A 同学按男生、女生进行分层，采用分层随机抽样的方法调查该校全体高中学生的身高（单位：)cm 情况，总样本量为100，计算得到男生身高样本的平均数为170，方差为16；女生身高样本的平均数为160，方差为18．
（1）如果已知男、女样本量按比例分配，求总样本的平均数1x 和方差21s ；
（2）如果已知男、女样本量分别为30和70，在这种情况下，总样本的平均数为2x ，总样
本的方差为22s ，分别直接写出1x 与2x ，21s 与22s 的大小关系；
（3）如果已知B 同学采用了简单随机抽样的方法调查该校全体高中学生的身高情况，样本量为100，其样本平均数为3x ，能否认为1x 比3x 更接近总体平均身高，说明理由．
解：（1）根据题干可得：平均数为14060
1701606896164100100
x =
⨯+⨯=+=． 方差为{}{}222111
40[16(170164)]60[18(160164)]20.820.441.2100100
s =⨯+-+⨯+-=+=． （2）男、女样本量分别为30和70时，总样本的平均数为：
23070
17016051112163100100
x =
⨯+⨯=+=． 总样本的方差为：
2
22211
{30[16(170163)]}{70[18(160163)]}19.518.938.4100100
s =
⨯+-+⨯⨯+-=+=． 所以12x x >，22
12s s >．
（3）示例1：可以认为1x 比3x 更接近平均身高．
理由如下：因为身高有明显差异，故采用分层随机抽样的效果会好于简单随机抽样，所以可以认为1x 比3x 更接近总体平均身高． 示例2：不能认为1x 比3x 更接近平均身高．
理由如下：样本具有随机性，对于一次抽样而言，简单随机抽样的效果好于分层随机抽，所以不能认为1x 比3x 更接近总体平均身高．
示例3：无法确定1x 是否比3x 更接近总体平均身高．
理由如下：由于样本的随机性，对于一次抽样而言，并不能保证分层随机抽的估计效果一定好于简单随机抽样，所以无法确定是否1x 比3x 更接近总体平均身高．
20．（14分）在ABC ∆中，222a a c b =+-=．
（1）若b sin C ；
（2）若ABC ∆存在且唯一确定，求b 的取值范围．
解：（1）2
2
2
a c
b +-，∴2222a
c b ac +-=
，
cos B ∴=
．0B π<<，∴4
B π=． 由余弦定理可得2222cos b c a ca B =+-．
2224
c c π
=+-⨯．得2430c c -+=．1c ∴=，或3c =．
由正弦定理可得
sin sin c b
C B
=
．
∴当1c =时，sin C =
当3c =时，sin C =
（2）由余弦定理知22224
b c c π
=+-⨯．22480c c b ∴-+-=．
①当2b =时，2c =，满足题意．
②当b =0c =（舍)，或4c =，满足题意． 综上，当2b =，或22b 时，ABC ∆存在且唯一确定．
21．（15分）如图1，四边形ABCD 是矩形，将ADC ∆沿对角线AC 折起成△AD C '，连接D B '，如图2，构成三棱锥D ABC '-．过动点D '作平面ABC 的垂线D O '，垂足是O ．
（1）当O 落在何处时，平面AD C '⊥平面ABC ，并说明理由；
（2）在三棱锥D ABC '-中，若AD BD ''=，P 为D A '的中点，判断直线OP 与平面BD C '的位置关系，并说明理由；
（3）设T 是ABC ∆及其内部的点构成的集合，2AB =，1BC =，当O T ∈时，求三棱锥D ABC '-的体积的取值范围．
解：（1）由平面与平面垂直的判定可知，
当O 落AC 上时，平面AD C '⊥平面ABC ．证明如下：
O AC ∈，AC ⊂平面AD C '，O ∴∈平面AD C '，
又D '∈平面AD C '，OD '∴⊂平面AD C '，
D O '⊥平面ABC ，∴平面AD C '⊥平面ABC ；
（2）直线OP 与平面BD C '平行．证明如下：
取AB 的中点E ，连结BO ，OP ，PE ，OE ，
由D O '⊥平面ABC ，AO 、BO ⊂平面ABC ，得D O AO '⊥，D O BO '⊥， 在Rt △AD O '和Rt △BD O '中，D O D O ''=，已知AD BD ''=，
Rt ∴△AD O Rt '≅△BD O '，得AO BO =， E 为AB 的中点，OE AB ∴⊥，
由已知可得CB AB ⊥，且OE 、CB 在同一平面ABC 内，则//OE BC ，
OE ⊂/平面D BC '，BC ⊂平面D BC '，//OE ∴平面D BC '．
在△AD B '中，P ，E 分别为AD '，AB 的中点，//PE BD '∴，
PE ⊂/平面D BC '，BD '⊂平面D BC '，//PE ∴平面D BC '，
又PE EO E =，∴平面//POE 平面D BC '．
而PO ⊂平面D BC '，则//OP 平面BD C '；
（3）在矩形ABCD 中，作DN AC ⊥交AC 于M ．
已知2AB =，1BC =，由题意知D M DM '==，MN =． 在△MD N '中，作D O MN '⊥，交MN 于O ．
沿AC 将ADC ∆折起成△AD C '后，D M AC '⊥，MN AC ⊥．
又D M M N M '=，AC ∴⊥平面MD N '．D O '⊂平面MD N '，AC D O '∴⊥． 又D O MN '⊥，且AC M N M =，D O '∴⊥平面ABC ．
因此，当O T ∈时，满足题意的O 的集合组成的图形为线段MN ．
在Rt △MD O '中，OD '==
则当0OM =时，OD '取得最大值，为MD '=
当OM MN ==D O '取得最小值为D N '= 四面体D ABC '的体积为11121332
ABC S OD OD ∆⋅'=⋅⋅⋅⋅'，
当O 与M 重合时，D O '，四面体D ABC '；
当O 与N 重合时，D O '，即四面体D ABC '．
综上所述，当O T ∈时，四面体D ABC '的体积的取值范围是．。