【精品学习】九年级数学上册第二十二章22.1二次函数的图像及性质22.1.1二次函数备课资料教案新版新人教版

第二十二章 22.1.1二次函数
知识点1:二次函数的概念
1.一个函数是二次函数的条件:
判断一个函数是否为二次函数,应该紧扣二次函数的概念进行比较.
(1)含有自变量的代数式是整式;
(2)化简后自变量的最高次数为2;
(3)二次项系数不能为0.
注意：二次函数解析式中,a,b,c是常数,a必须不为0,否则就变成函数y=bx+c,若b≠0,y=bx+c 就成了一次函数;若b=0,则y=c是常函数.
2.二次函数的解析式:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)是二次函数的一般形式.任何一个二次函数的解析式都可以转化为y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式.
知识点2:实际问题中二次函数解析式的确定
1.列函数解析式的步骤:
(1)审清题意,找出实际问题中的已知量、未知量,将文字、图形语言转化为数学符号语言;
(2)找出等量关系;
(3)列出函数解析式:设出表示变量的字母,把等量关系用含字母的式子替换.
2.几种常见的二次函数关系:
(1)面积、体积的一些计算公式在特定的情况下可以看成二次函数解析式.如:在圆的面积公式S=πr2中,半径与圆的面积的关系满足二次函数关系;周长一定时,矩形的面积与其中一边长的关系满足二次函数关系;
(2)在特定情况下,销售利润与售价的关系;
(3)在特定情况下,银行存款本息和与年利率的关系;
(4)在特定情况下,总量与增长率(降低率)的关系;
(5)在特定情况下,一些物理化学公式也满足二次函数关系.
知识点3:实际问题中二次函数的自变量的取值范围
一般地,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x的取值范围是全体实数,但在实际问题中,二次函数由于受到实际条件的限制,自变量的取值范围往往不是全体实数.
考点1：二次函数的判定
【例1】当m取何值时,函数y=(m+1) -2x+1是关于x的二次函数?
解:根据二次函数的概念,得
解m2-m=2,得m1=-1,m2=2,解m+1≠0,得m≠-1,∴m=2.
∴当m=2时,这个函数是二次函数,其解析式是y=3x2-2x+1.
点拨：由二次函数的概念可知二次函数必须具备三个条件:(1)含有自变量的代数式是整式;(2)化简后自变量的最高次数是2;(3)二次项系数不为0.
考点2：二次函数自变量取值范围的确定
【例2】已知长方形窗户的周长为6 m,写出窗户面积y(m2)与窗户的一边长x(m)之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.
解:由题意得:y=x(3-x)=-x2+3x,其中自变量x的取值范围是0<x<3.
点拨：由长方形窗户的周长为6 m,窗户的一边长为x m,可知与这一边相邻的另一边长为(3-x) m,利用长方形的面积公式,可得y=x(3-x)=-x2+3x.由题意知x>0,3-x>0,所以0<x<3.
考点3：几何问题中二次函数解析式的确定
【例3】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD,∠C=60°,AE⊥BD于点E,F是CD的中点,DG 是梯形ABCD的高.
(1)求证:四边形AEFD是平行四边形;
(2)设AE=x,四边形DEGF的面积为y,求y关于x的函数解析式.
(1)证明:∵AB=DC,∴梯形ABCD为等腰梯形.∵∠C=60°,∴∠BAD=∠ADC=120°,又∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB=30°.∴∠DBC=∠ADB=30°.∴∠BDC=90°.∵AE⊥BD,∴AE∥DC.又∵AE为等腰三角形ABD的高,∴E是BD的中点.∵F是DC的中点,∴EF∥BC.∴EF∥AD.∴四边形AEFD是平行四边形.
(2)解:在Rt△AED中,∠ADB=30°,∵AE=x,∴AD=2x.在Rt△DGC中,∠C=60°,并且DC=AD=2x,∴DG=x.由(1)知:在平行四边形AEFD中,EF=AD=2x,又∵DG⊥BC,∴DG⊥EF,∴四边形DEGF的面积
=EF·DG,∴y=×2x·x=x2(x>0).
点拨：(1)要证明四边形AEFD是平行四边形,需利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”,即证AE∥DC且EF∥AD;(2)易证四边形DEGF的面积=EF·DG,根据题意求得EF,DG的长,列出函数解析式即可.。