039空间几何体的结构、三视图和直观图(学生学案)(生)

专题039：空间几何体的结构、三视图和直观图（学生学案）（生）
考点要求：
1．几何体的展开图、几何体的三视图仍是高考的热点．
2．三视图和其他的知识点结合在一起命题是新教材中考查学生三视图及几何量计算的趋势． 3．重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型．
4．要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长(正)方体、三棱锥等几何体的三视图． 知识结构：
1．多面体的结构特征
(1)棱柱有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，每相邻两个四边形的公共边平行。

正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．
(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．
正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心． (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形． 2．旋转体的结构特征
(1)圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转一周得到．
(2)圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到．
(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上下底面中心所在直线旋转半周得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到．
(4)球可以由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到． 3．空间几何体的三视图
空间几何体的三视图是用平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．
三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法． 4．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是： (1)画几何体的底面
在已知图形中取互相垂直的x 轴、y 轴，两轴相交于点O ，画直观图时，把它们画成对应的x ′轴、y ′轴，两轴相交于点O ′，且使∠x ′O ′y ′＝45°或135°，已知图形中平行于x 轴、y 轴的线段，在直观图中平行于x ′轴、y ′轴．已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y 轴的线段，长度变为原来的一半． (2)画几何体的高
在已知图形中过O 点作z 轴垂直于xOy 平面，在直观图中对应的z ′轴，也垂直于x ′O ′y ′平面，已知图形中平行于z 轴的线段，在直观图中仍平行于z ′轴且长度不变． 基础自测
1．下列说法正确的是( )．
A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C ．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥
D ．棱台各侧棱的延长线交于一点
2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )． A ．圆柱 B ．圆锥 C ．球体 D ．圆柱、圆锥、球体的组合体
3．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )．
A ．8－2π3
B ．8－π3
C ．8－2π D.2π
3
4．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )．
例题选讲：
1.空间几何体的结构特征
例1：
1)、下列结论中，正确的是。

（1）各个面都是三角形的几何体是三棱锥
（2）以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
（3）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥
（4）圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是圆锥的母线
2)、下列命题中，假命题是。

（选出所有可能的答案）
（1）有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
（2）四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
（3）有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
（4）若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体
学生练习1：以下命题：
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确命题的个数为()．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．空间几何体的三视图
例2：(2011·全国新课标)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()．
小结：(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．
(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．
学生练习2：（1）(2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()．
（2）(2011·山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图，俯视图如右图．其中真命题的个数是()．
A．3 B．2 C．1 D．0
（3）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．
①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．
3．空间几何体的直观图
例3：已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()．
A.
3
4a
2 B.3
8a
2 C.6
8a
2 D.6
16a
2
小结：直接根据水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法规则即可得到平面图形的面积是其直观图面积的22倍，这是一个较常用的重要结论．
学生练习3：如图，
矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是()．A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形
4．三视图还原为直观图
例4：如图（1）是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的
（）
学生练习4：把下列三视图还原为直观图，并计算其体积。

巩固作业：
1 ．（2013年高考四川卷（文2））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是（）
A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台
2 ．（2013年高考湖南（文7））已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,的
矩形,则该正方体的正视图的面积等于______（）
A B．1 C D
3.【2012高考湖南文4】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能
．．．是（）
4.【2012高考福建文4】一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是（）
A 球
B 三棱锥
C 正方体
D 圆柱
5. (2011江西文)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ）
6．如图所示几何体是由一个长方体和圆锥构成，则该几何体的俯视图可以为（ ）
7．将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如右图所示，则该几何体的侧视图为（ ）
8．将图所示的一个直角三角形ABC （∠C ＝90°）绕斜边AB 旋转一周，所得到的几何体的正视图是下面四个图形中的 （ ）
9． 一只蚂蚁从正方体1111ABCD A BC D -的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ ）
A ． ①②
B ．①③
C ． ②④
D ．③④
10．如图，矩形''''C B A O 是水平放置的一个平 面图形的直观图,其中''A O ''C O =2,则原图形的面积为 ．
11..如右图所示，已知△ABC 的水平放置的直观图是等腰直角A B C '''∆，90A '∠=
A B ''=则△ABC 的面积是（ ）
A B 、 C 、 D 、1
’。