直线与圆的方程的应用_图文

迹是什么曲线？
yP
M
Oo
1
N
O2
x
问题:一艘轮船在沿直线返回港口的 途中, 接到气象台的台风预报:台风中心位于 轮船正 西70km处,受影响的范围是半径长为30km的圆 形区域,已知港口位于台风中心正北40km处,如 果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风 的影响?
分析:以台风中心为原点O,东 西方向为x轴,建立如图所示 的直角坐标系,其中,取10km 为单位长度.问题归结为圆O与直线l 是否有交点
讲授新课
1. 标准方程问题 例1. 求圆(x－2)2 ＋(y＋3)2＝4上的点到 x－y＋2＝0的最远、最近的距离.
2. 轨迹问题
充分利用几何图形的性质，熟练 掌握两点间的距离公式、点到直线的 距离公式.
2. 轨迹问题
例2.过点A(4,0)作直线l交圆O: x2＋y2＝4 于B、C两点，求线段BC的中点P的轨迹 方程.
02+(4-b)2= r2 102+(0-b)2=r2
解得， b= -10.5 r2=14.52
所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52
把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m)
3. 弦问题
主要是求弦心距（圆心到直线的距 离），弦长，圆心角等问题.一般是构成 直角三角形来计算.
3. 弦问题
例3. 直线l经过点(5,5)，且和圆x2＋y2＝25 相交，截得的弦长为 ，求l的方程.
3. 弦问题 例3. 直线l经过点(5,5)，且和圆x2＋y2＝25 相交，截得的弦长为 ，求l的方程.
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复习引入
1. 直线方程有几种形式? 分别是什么?
复习引入
1. 直线方程有几种形式? 分别是什么? 2. 圆的方程有几种形式?分别是哪些?
复习引入
1. 直线方程有几种形式? 分别是什么? 2. 圆的方程有几种形式?分别是哪些? 3. 求圆的方程时，什么条件下用标准方程?
复习引入
5. 如何用直线和圆的方程判断它们之间的 位置关系？
6. 如何根据圆的方程，判断它们之间的位 置关系?
结论
用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：
1、建立适当的平面直角坐标系；用坐标和方程 表示问题中的几何元素，将平面几何问题转 化为代数问题；
2、通过代数运算，解决代数问题；
3、把代数运算结果“翻译”成几何结论.
B (0,b)
(c,0) C
M
O N O`
E
(0,d) D
A (a,0)
x
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作业：
P132练习:1，2，3，4. P133习题4.2B组:1，2，3.
作业：如图，圆O1和圆O2的半径都等 于1，圆心距为4，过动点P分别作圆
O1和圆O2的切线，切点为M、N，且使 得|PM|= |PN|，试求点P的运动轨
练习.求圆x2＋y2＝9与 圆x2＋y2－2x－4y－4＝0的公共弦的长.
4. 对称问题 圆关于点对称，圆关于直线对称.
4. 对称问题 圆关于点对称，圆关于直线对称.
例4.求圆(x－1)2 ＋(y＋1)2＝4关于点(2,2) 对称的圆的方程.
4. 对称问题 圆关于点对称，圆关于直线对称.
例4.求圆(x－1)2 ＋(y＋1)2＝4关于点(2,2) 对称的圆的方程.
答：支柱A2P2的长度约为3.86m.
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6.用代数法证明几何问题 例3. 已知内接于圆的四边形的对角线互 相垂直，求证圆心到一边的距离等于这 条边所对边长的一半.
思考1:许多平面几何问题常利用“ 坐标法”来解决，首先要做的工作 是建立适当的直角坐标系，在本题 中应如何选取坐标系？
y
o
X
思考2：如图所示建立直角坐标系， 设四边形的四个顶点分别为点 A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)， D(0，d)，那么BC边的长为多少？
y B C oM
N
D
A x
思考3:四边形ABCD的外接圆圆心M的
坐标如何？
y
B
C
A
oM
x
N
D
思考4:如何计算圆心M到直线AD的距 离|MN|？
思考5:由上述计算可得|BC|=2|MN|，从 而命题成立.你能用平面几何知识证明 这个命题吗？
B
C
A
M
E
N
D
例3、已知内接于圆的四边形的对角线互相 垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所 对边长的一半. y
所以圆的方程为：
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第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表 示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为 代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.
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拱所在圆的方程？
y
P2 P
x2+(y+10.5)2=14.52
x A A1 A2 O A3 A4 B
思考4:利用这个圆的方程可求得点P2 的纵坐标是多少？问题的答案如何 ？
解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）,
圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 .
把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组：
4m
O 20m
思考1:你能用几何法求支柱A2P2的高 度吗？
P2 P
A A1 A2 O A3 A4 B
思考1:你能用几何法求支柱A2P2的高 度吗？ 思考2:如图所示建立直角坐标系， 那么求支柱A2P2的高度，化归为求一 个什么问4 B
思考3:取1m为长度单位，如何求圆
练习1.求圆(x－1)2 ＋(y－1)2＝4关于直线 l：x－2y－2＝0对称的圆的方程.
练习2.求圆(x－1)2 ＋(y－1)2＝4关于直线 l：x－y－2＝0对称的圆的方程.
5.实际问题 例2. 下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这 个圆的圆拱跨度AB＝20cm，拱高OP＝4m， 建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求 支柱A2P2的高度(精确到0.01m).
什么条件下用一般方程?
复习引入
1. 直线方程有几种形式? 分别是什么? 2. 圆的方程有几种形式?分别是哪些? 3. 求圆的方程时，什么条件下用标准方程?
什么条件下用一般方程? 4. 直线与圆的方程在生产生活实践中有广
泛的应用，想想身边有哪些呢?
复习引入
5. 如何用直线和圆的方程判断它们之间的 位置关系？
研一研·题型解法、解题更高效
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练习 .赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约7.2m 。求这座圆拱桥的拱圆的方程。
A(－18.7，0)
C(0，7.2) B(18.7，0)
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解：设圆心坐标为（0，b），所以圆的方程为： 将B,C两点的坐标代入方程，得到方程组：