第65届国际数学奥林匹克竞赛题目

1、在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,4)，点B的坐标为(7,1)，则线段AB的中点M的坐标可能为？
A、(1,2)
B、(2,3)
C、(5,2.5)
D、(6,6)
解析：线段中点公式为(x,y) = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。

将A、B两点坐标代入，计算得中点M的坐标为(5,2.5)。

（答案）C
2、若一个等差数列的前三项依次为a, a+d, a+2d，且这三项的和为21，则d的可能值为？
A、1
B、3
C、5
D、7
解析：由题意，a + (a + d) + (a + 2d) = 21，化简得3a + 3d = 21，进一步得a + d = 7。

因为a, a+d, a+2d是等差数列，所以d应为正整数，且使a也为整数。

当d=3时，a=4，满足条件。

（答案）B
3、在三角形ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c。

若a=5，b=7，且cosC = 1/2，则c的长度可能为？
A、3
B、6
C、8
D、10
解析：由余弦定理，c² = a² + b² - 2abcosC。

代入已知值，c² = 25 + 49 - 2571/2 = 74 - 35 = 39，所以c = √39 ≈ 6.24，最接近的选项是6。

（答案）B
4、设S是由所有正整数n组成的集合，其中n满足：对于任意正整数k，n的k次方末尾三位数都是000。

则S中的最小元素是？
A、10
B、100
C、1000
D、1250
解析：要使n的k次方末尾三位数为000，n至少应包含1000的质因数2²*5³。

最小的这样的数是1000。

（答案）C
5、在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，且∠A=90°，则四边形ABCD是？
A、矩形
B、菱形
C、正方形
D、无法确定
解析：根据条件，AB=CD和AD=BC说明四边形ABCD是平行四边形，又因为∠A=90°，所以它是矩形。

（答案）A
6、设n是一个正整数，且n的因数个数恰好等于n的各位数字之和，则n可能是？
A、12
B、18
C、24
D、30
解析：12的因数有1,2,3,4,6,12，共6个，而1+2=3，不符合；18的因数有1,2,3,6,9,18，共6个，1+8=9，不符合；24的因数有1,2,3,4,6,8,12,24，共8个，2+4=6，不符合；30的因数有1,2,3,5,6,10,15,30，共8个，3+0=3，而3+8=11，但考虑其质因数分解30=235，其因数个数确实为8，且各位数字之和也为8，符合题意。

（答案）D
7、在△ABC中，若sinA:sinB = 3:4:5，则△ABC是？
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、无法确定
解析：由正弦定理，sinA:sinB = a:b，所以a:b = 3:4:5。

设a=3k, b=4k, c=5k，由勾股定理逆定理，3²k² + 4²k² = 5²k²，满足勾股定理，故△ABC是直角三角形。

（答案）B
8、设f(n)表示正整数n的各位数字之和，若f(f(n))=10，则n的可能取值范围是？
A、10-99
B、100-999
C、1000-9999
D、10000-99999
解析：f(n)的结果是一位或两位数，因为f(f(n))=10，说明f(n)的各位数字之和为10，即f(n)只能是19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91中的一个。

考虑到f(n)的定义，n至少要有两位数字且各位数字之和能达到上述值，故n至少应是三位数。

而四位数及以上，其各位数字之和可能远超两位数，不会通过上述f(n)的值达到10。

因此，n应在100-999范围内。

（答案）B。