八年级上册数学第五章相交线与平行线单元试卷培优测试卷

八年级上册数学第五章相交线与平行线单元试卷培优测试卷
一、选择题
1．如图，AB //CD ，AD ⊥AC ，∠BAD ＝35°，则∠ACD ＝（ ）
A ．35°
B ．45°
C ．55°
D ．70°
2．下列结论中：①同一平面内，两条不相交的直线被第三条直线所截，形成的同旁内角互补；②在同一平面内，若,//a b b c ⊥，则a c ⊥； ③直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离；④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．如图，直角三角形ABC 的直角边AB =6，BC =8，将直角三角形ABC 沿边BC 的方向平移到三角形DEF 的位置，DE 交AC 于点G ，BE =2，三角形CEG 的面积为13.5，下列结论：①三角形ABC 平移的距离是4；②EG =4.5；③AD ∥CF ；④四边形ADFC 的面积为6．其中正确的结论是
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．②④
4．如图，已知AB ∥CD ，AD 平分∠BAE ，∠D ＝40°，则∠DAE 的度数是（ ）
A ．20°
B ．40°
C ．60°
D ．80°
5．下列图形中，1∠与2∠是同位角的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．如图，∠1=70°，直线a 平移后得到直线b ，则∠2-∠3（ ）
A ．70°
B ．180°
C ．110°
D ．80°
7．如图，将直角边长为a （a ＞1）的等腰直角三角形ABC 沿BC 向右平移1个单位长度，得到三角形DEF ，则图中阴影部分面积为（ ）
A ．a －12
B ．a －1
C ．a +1
D ．a 2－1
8．如图，直线12l l //，被直线3l 、4l 所截，并且34l l ⊥，144∠=，则2∠等于（ ）
A ．56°
B ．36°
C ．44°
D ．46°
9．如图，下列不能判定DF ∥AC 的条件是（ ）
A ．∠A ＝∠BDF
B ．∠2＝∠4
C ．∠1＝∠3
D ．∠A +∠ADF ＝180° 10．如图，ABC 面积为2，将ABC 沿AC 方向平移至DF
E △，且AC=CD ，则四边形
AEFB 的面积为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
11．如图所示，下列条件能判断a ∥b 的有（ ）
A ．∠1+∠2＝180°
B ．∠2＝∠4
C ．∠2+∠3＝180°
D ．∠1＝∠3
12．如图，△ABC 经平移得到△EFB ，则下列说法正确的有 （ ）
①线段AC 的对应线段是线段EB ；
②点C 的对应点是点B ；
③AC ∥EB ；
④平移的距离等于线段BF 的长度．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
13．如图， 已知//AB CF ，//CF DE ， 90BCD ∠=︒，则D B ∠-∠=_________
14．如图，AB ∥CD ，CF 平分∠DCG ，GE 平分∠CGB 交FC 的延长线于点E ，若∠E ＝34°，则∠B 的度数为____________．
15．如图，∠AEM ＝∠DFN ＝a ，∠EMN ＝∠MNF ＝b ，∠PEM ＝12∠AEM ，∠MNP ＝12
∠FNP ，∠BEP ，∠NFD 的角平分线交于点I ，若∠I ＝∠P ，则a 和b 的数量关系为_____（用含a 的式子表示b ）．
16．平面内不过同一点的n 条直线两两相交，它们交点个数记作n a ，并且规定10a =，则2a =__________，1n n a a --=____________．
17．如图，有两个正方形夹在AB 与CD 中，且AB//CD,若∠FEC=10°，两个正方形临边夹角为150°，则∠1的度数为________度(正方形的每个内角为90°)
18．如图，已知AB ∥CD,∠EAF =
14∠EAB,∠ECF=14
∠ECD ,则∠AFC 与∠AEC 之间的数量关系是_____________________________
19．如图，已知AB ∥DE ，∠ABC ＝76°，∠CDE ＝150°，则∠BCD 的度数为__°．
20．如图，已知∠1＝（3x +24）°，∠2＝（5x +20）°，要使m ∥n ，那么∠1＝_____（度）．
三、解答题
21．（1）如图a 所示，//AB CD ，且点E 在射线AB 与CD 之间，请说明
AEC A C ∠=∠+∠的理由．
（2）现在如图b 所示，仍有//AB CD ，但点E 在AB 与CD 的上方，
①请尝试探索1∠，2∠，E ∠三者的数量关系．
②请说明理由．
22．如图，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点F 在BA 的延长线上，点E 在线段CD 上，EF 与AC 相交于点G ，∠BDA+∠CEG=180°．
（1）AD 与EF 平行吗？请说明理由；
（2）若点H 在FE 的延长线上，且∠EDH=∠C ，则∠F 与∠H 相等吗，请说明理由．
23．如图①，已知直线12l l //，且3l 和12,l l 分别相交于,A B 两点，4l 和12,l l 分别相交于,C D 两点，点P 在线段AB 上，记1 23ACP BDP CPD ∠∠∠∠∠∠＝，＝，＝．
（1）若120,355︒︒∠=∠=，则2∠=_____；
（2）试找出123∠∠∠，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）应用（2）中的结论解答下列问题；如图②，点A 在B 处北偏东42︒的方向上， 若88BAC ︒∠=，则点 A 在C 处的北偏西_____的方向上；
（4）如果点P 在直线3l 上且在,A B 两点外侧运动时，其他条件不变，试探究
1 23∠∠∠，，之间的关系(点 P 和,A B 两点不重合)，直接写出结论即可．
24．在综合与实践课上，老师让同学们以“三条平行线m ，n ，l （即始终满足m ∥n ∥l ）和一副直角三角尺ABC ，DEF （∠BAC ＝∠EDF ＝90°，∠FED ＝60°，∠DFE ＝30°，∠ABC ＝∠ACB ＝45°）”为主题开展数学活动．
操作发现
（1）如图1，展翅组把三角尺ABC 的边BC 放在l 上，三角尺DEF 的顶点F 与顶点B 重合，边EF 经过AB ，顶点E 恰好落在m 上，顶点D 恰好落在n 上，边ED 与n 相交所成的一个角记为∠1，求∠1的度数；
（2）如图2，受到展翅组的启发，高远组把直线m 向下平移后使得两个三角尺的两个直角顶点A 、D 分别落在m 和l 上，顶点C 恰好落在n 上，边AC 与l 相交所成的一个角记为∠2，边DF 与m 相交所成的一个角记为∠3，请你说明∠2﹣∠3＝15°；
结论应用
（3）老师在点评高远组的探究操作时提出，在（2）的条件下，若点N 是直线n 上一点，CN 恰好平分∠ACB 时，∠2与∠3之间存在一个特殊的倍数关系，请你直接写出它们之间的倍数关系，不需要说明理由．
25．如图1，AB ∥CD ，点E 在AB 上，点G 在CD 上，点 F 在直线 AB ，CD 之间，连接EF ，FG ，EF 垂直于 FG ，∠FGD =125°．
(1)求出∠BEF 的度数；
(2)如图 2，延长FE 到H ，点M 在FH 的上方，连接MH ，Q 为直线 AB 上一点，且在直线 MH 的右侧， 连接 MQ ，若∠EHM=∠M +90°，求∠MQA 的度数；
(3)如图 3，S 为 NB 上一点，T 为 GD 上一点，作直线 ST ，延长 GF 交 AB 于点 N ，P 为直线
ST 上一动点，请直接写出∠PGN ，∠SNP 和∠GPN 的数量关系 ．（题中所有角都是大于 0°小于 180°的角）
26．课题学习：平行线的“等角转化”功能．
阅读理解：
如图1，已知点A 是BC 外一点，连接AB ，AC ，求BAC B C ∠+∠+∠的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程．
解：过点A 作ED BC ∥
B EAB ∴∠=∠，
C ∠=__________．
__________180=︒
180B BAC C ∴∠+∠+∠=︒
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将BAC ∠，B ，C ∠“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：
（2）如图2，已知AB ED ，试说明：180D BCD B ∠+∠-∠=︒（提示：过点C 做CF AB ∥）．
深化拓展：
（3）已知AB CD ∥，点C 在点D 的右侧，70ADC ∠=︒．BE 平分ABC ∠，DE 平分ADC ∠，BE ，DE 所在的直线交于点E ，点E 在AB 与CD 两条平行线之间． ①如图3，点B 在点A 的左侧，若60ABC ∠=︒，则BED ∠的度数为________． ②如图4，点B 在点A 的右侧，且<AB CD ，AD BC <．若ABC n ∠=︒，则BED ∠的度数为________．（用含n 的代数式表示）
27．如图1，直线AB 与直线OC 交于点O ，()090BOC αα∠=︒<<．小明将一个含30的直角三角板PQD 如图1所示放置，使顶点P 落在直线AB 上，过点Q 作直线MN AB 交直线OC 于点H (点H 在Q 左侧)．
（1）若PD OC ∥，45NQD ∠=︒，则α=__________︒．
（2）若PQH ∠的角平分线交直线AB 于点E ，如图2．
①当QE OC ∥，60α=︒时，求证：OC PD ． ②小明将三角板保持PD OC ∥并向左平移，运动过程中，PEQ ∠=__________．(用α
表示)． 28．阅读材料（1），并利用（1）的结论解决问题（2）和问题（3）．
（1）如图1，AB ∥CD ，E 为形内一点，连结BE 、DE 得到∠BED ，求证：∠E ＝∠B +∠D 悦悦是这样做的：
过点E 作EF ∥AB ．则有∠BEF ＝∠B ．
∵AB ∥CD ，∴EF ∥CD ．
∴∠FED ＝∠D ．
∴∠BEF +∠FED ＝∠B +∠D ．
即∠BED ＝∠B +∠D ．
（2）如图2，画出∠BEF 和∠EFD 的平分线，两线交于点G ，猜想∠G 的度数，并证明你的猜想．
（3）如图3，EG 1和EG 2为∠BEF 内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD 的平分线交于点G 1和G 2，求证：∠FG 1E +∠G 2＝180°．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
由平行线的性质可得∠ADC ＝∠BAD ＝35°，再由垂线的定义可得△ACD 是直角三角形，进而根据直角三角形两锐角互余的性质即可得出∠ACD 的度数．
【详解】
∵AB ∥CD ，∠BAD=35°，
∴∠ADC ＝∠BAD ＝35°，
∵AD ⊥AC ，
∴∠ADC+∠ACD ＝90°，
∴∠ACD ＝90°﹣35°＝55°，
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质是解题关键．
2．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质，点到直线的距离依次判断.
【详解】
解：①同一平面内，两条不相交的直线（即两直线平行）被第三条直线所截，形成的同旁内角互补，说法正确；
②在同一平面内，若,//a b b c ⊥，则a c ⊥，说法正确；
③直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离，说法错误；
④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，说法错误；
正确的说法有2个，
故选：B .
【点睛】
此题考查平行线的性质，点到直线的距离，正确理解定义是解题的关键.
3．B
解析：B
【解析】
分析：(1)对应线段的长度即是平移的距离；(2)根据EC 的长和△CEG 的面积求EG ；(3)平移
前后，对应点的连线平行且相等；(4)根据平行四边形的面积公式求.
详解：(1)因为点B，E是对应点，且BE＝2，所以△ABC平行的距离是2，则①错误；
②根据题意得，13.5×2＝(8－2)EG，解得EG＝4.5，则②正确；
③因为A，D是对应点，C，F是对应点，所以AD∥CF，则③正确；
④平行四边形ADFC的面积为AB·CF＝AB·BE＝6×2＝12，则④错误.
故选B.
点睛：本题考查了平移的性质，平移的性质有：①平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；②平移得到的图形与原图形中的对应线段平行(或在同一条直线上)且相等，对应角相等；对应点连线平行(或在同一条直线上)且相等.
4．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质得出∠DAB＝∠D＝40°,再由角平分线即可得解．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠DAB＝∠D＝40°（两直线平行，内错角相等），
∵AD平分∠BAE，
∴∠DAE＝∠DAB＝40°，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的性质和角平分线性质，关键是求出∠DAE的度数，题目比较好，难度适中．
5．C
解析：C
【分析】
根据同位角的定义可以判断对错．
【详解】
解：两条直线a、b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截直线a、b同一侧的角称为同位角，根据这个定义，A选项的两角不在被截线的同侧，错误；B选项的两角不是两条直线被第三条直线所截形成的角，错误；C选项的角符合同位角的定义，正确；D 选项的两角不是两条直线被第三条直线所截形成的角，错误．
故选C．
【点睛】
本题考查同位角的意义，通过同位角的意义进行灵活判断是解题关键．
6．C
解析：C
【解析】
【分析】作AB∥a,先证AB∥a∥b，由平行线性质得∠2=180°-∠1+∠3，变形可得结果.【详解】作AB∥a,由直线a平移后得到直线b，
所以，AB∥a∥b
所以，∠2=180°-∠1+∠3，
所以，∠2-∠3=180°-∠1=180°-70°=110°.
故选：C
【点睛】本题考核知识点：平行线性质.解题关键点：熟记平行线性质.
7．A
解析：A
【分析】
直接根据平移的性质得到DE=AB=a，EF=BC=a，EC=a-1，结合三角形面积公式即可求解．【详解】
解：根据平移的性质得，DE=AB=a，EF=BC=a，EC=a-1，
∴阴影部分的面积为：111
(1)(1)
222 a a a a a
⨯--⨯-=-
故选：A．
【点睛】
本题考查了平移的性质，比较简单，注意熟练掌握平移性质的内容．8．D
解析：D
【分析】
依据l1∥l2，即可得到∠1=∠3=44°，再根据l3⊥l4，可得∠2=90°-44°=46°．【详解】
解：如图，
∵l1∥l2，
∴∠1=∠3=44°，
又∵l3⊥l4，
∴∠2=90°-44°=46°，
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
9．B
解析：B
【分析】
根据选项中角的关系,结合平行线的判定,进行判断．
【详解】
解：A ．∠A ＝∠BDF ，由同位角相等，两直线平行，可判断DF ∥AC ；
B ．∠2＝∠4，不能判断DF ∥A
C ；
C ．∠1＝∠3由内错角相等，两直线平行，可判断DF ∥AC ；
D ．∠A +∠ADF ＝180°，由同旁内角互补，两直线平行，可判断DF ∥AC ；
故选：B ．
【点睛】
此题考查平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
10．C
解析：C
【分析】
如图（见解析），先根据平移的性质可得//AE BF ，2BF AD AC ==，DE AC =，再根据平行线的性质可得BEF 的边BF 上的高等于BG ，然后根据三角形的面积公式分别求出ABE △和BEF 的面积即可得出答案．
【详解】
如图，过点B 作BG AE ⊥于点G ，连接BE ， ABC 面积为2，
122
AC BG ∴⋅=，即4AC BG ⋅=， 由平移的性质得：//AE BF ，BF AD =，DE AC =，
AC CD =，
2BF AD AC CD AC ∴==+=，3AE AD DE AC =+=，
113622
ABE S AE BG AC BG ∴=⋅=⋅⋅=， //AE BF ，
BEF ∴的边BF 上的高等于BG ，
112422
BEF S BF BG AC BG ∴=⋅=⋅⋅=， ∴四边形AEFB 的面积为6410ABE BEF S S +=+=，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平移的性质、平行线间的距离、三角形的面积公式等知识点，熟练掌握平移的性质是解题关键．
11．B
解析：B
【分析】
通过平行线的判定的相关知识点，并结合题中所示条件进行相应的分析，即可得出答案.【详解】
A.∠1 ,∠2是互补角，相加为180°不能证明平行，故A错误.
B.∠2=∠4，内错角相等，两直线平行，所以B正确.
C. ∠2+∠3＝180°，不能证明a∥b，故C错误.
D.虽然∠1=∠3，但是不能证明a∥b；故D错误.
故答案选：B.
【点睛】
本题考查的知识点是平行线的判定，解题的关键是熟练的掌握平行线的判定.
12．D
解析：D
【分析】
根据平移的特点分别判断各选项即可．
【详解】
∵△ABC经平移得到△EFB
∴点A、B、C的对应点分别为E、F、B，②正确
∴BE是AC的对应线段，①正确
∴AC∥EB，③正确
平移距离为对应点连线的长度，即BF的长度，④正确
故选：D
【点睛】
本题考查平移的特点，注意，在平移过程中，一定要把握住对应点，仅对应点的连线之间才有平行、相等的一些关系．
二、填空题
13．90°
【分析】
根据AB∥CF，可得出∠B和∠BCF的关系，根据CF∥DE，可得出∠FED和∠D的关系，合并即可得出∠D―∠B的大小
【详解】
∵AB∥CF，∴∠B=∠BCF
∵CF∥DE
∴∠
解析：90°
【分析】
根据AB∥CF，可得出∠B和∠BCF的关系，根据CF∥DE，可得出∠FED和∠D的关系，合并即可得出∠D―∠B的大小
【详解】
∵AB∥CF，∴∠B=∠BCF
∵CF∥DE
∴∠FCD+∠D=180°
∴∠FCD+∠D－∠B=180°－∠BCF，化简得：∠D－∠B=180°－(∠BCF+∠FCD)
∵∠BCD=90°，∴∠BCF+∠FCD=90°
∴∠D―∠B=90°
故答案为：90°
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题关键是将∠BCD分为∠BCF和∠FCD，然后利用平行线的性质进行角度转换．
14．68°
【分析】
如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF=∠GCF=x，
∠CGE=∠MGE=y．构建方程组证明∠GMC=2∠E即可解决问题．
【详解】
解：如图，延长DC交BG于M．由题意
解析：68°
【分析】
如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF=∠GCF=x，∠CGE=∠MGE=y．构建方程组证明∠GMC=2∠E即可解决问题．
【详解】
解：如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF=∠GCF=x，∠CGE=∠MGE=y．
则有
22
x y GMC
x y E
=+∠
⎧
⎨
=+∠
⎩
①
②
，
①-2×②得：∠GMC=2∠E,
∵∠E=34°，
∴∠GMC=68°，
∵AB∥CD，
∴∠GMC=∠B=68°，
故答案为:68°．
【点睛】
本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟悉基本图形，学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考填空题中的能力题．
15．．
【分析】
分别过点P、I作ME∥PH，AB∥GI，设∠AME=2x，∠PNF=2y，知∠PEM=x，
∠MNP=y，由PH∥ME知∠EPH=x，由EM∥FN知PH∥FN，据此得∠HPN=2y，∠E
解析：8
120
9
a b
=-︒．
【分析】
分别过点P、I作ME∥PH，AB∥GI，设∠AME=2x，∠PNF=2y，知∠PEM=x，∠MNP=y，由PH∥ME知∠EPH=x，由EM∥FN知PH∥FN，据此得∠HPN=2y，∠EPN=x+2y，同理知
3
90
2
EIF x x
∠︒-+
＝，根据∠EPN=∠EIF可得答案．
【详解】
分别过点P、I作ME∥PH，AB∥GI，
设∠AME＝2x，∠PNF＝2y，则∠PEM＝x，∠MNP＝y，
∴∠DFN＝2x，
∵PH ∥ME ，
∴∠EPH ＝x ，
∵EM ∥FN ，
∴PH ∥FN ，
∴∠HPN ＝2y ，∠EPN ＝x +2y ， 同理，3902EIF x x ∠︒-
+＝， ∵∠EPN ＝∠EIF ， ∴3902x x ︒-
+＝x +2y ， ∴339042
b ︒-a ＝， ∴91358b a =︒-
， ∴81209b -︒a ＝， 故答案为：81209
b -︒a ＝．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质． 16．【分析】
条直线相交只有一个交点，条直线相交，交点数是，条直线相交，交点数是，即，可写出， 的解.
【详解】
解：求平面内不过同一点的条直线两两相交的交点个数，可由简入繁， 当2条直线相交时，交点
解析：1n -
【分析】
2条直线相交只有一个交点，3条直线相交，交点数是12+，n 条直线相交，交点数是
123(1)n ++++-，即1123(1)(1)2
n a n n n =++++-=-，可写出2a ， 1n n a a --的解.
【详解】
解：求平面内不过同一点的n 条直线两两相交的交点个数，可由简入繁，
当2条直线相交时，交点数只有一个；
当3条直线相交时，交点数为两条时的数量+第3条直线与前两条的交点2个，即交点数是12+；
同理，可以推导当n 条直线相交时，交点数是123(1)n ++++-，即
1123(1)(1)2
n a n n n =++++-=-， 212(21)12
a ∴=⨯⨯-=， 111(1)(1)(2)122
n n a a n n n n n -∴-=----=-， 本题的答案为：1，1n -.
【点睛】
本题考查了平面内直线两两相交交点数的计算，涉及到一种很重要的数学方法数学归纳法的初步应用接触，此方法在推导证明中比较常用.
17．【解析】
【详解】
作IF ∥AB,GK ∥AB,JH ∥AB
因为AB ∥CD
所以，AB ∥CD ∥ IF ∥GK ∥JH
所以，∠IFG=∠FEC=10°
所以，∠GFI=90°-∠IFG=80°
所以，∠
解析：【解析】
【详解】
作IF ∥AB,GK ∥AB,JH ∥AB
因为AB ∥CD
所以，AB ∥CD ∥ IF ∥GK ∥JH
所以，∠IFG=∠FEC=10°
所以，∠GFI=90°-∠IFG=80°
所以，∠KGF=∠GFI=80°
所以，∠HGK=150°-∠KGF=70°
所以，∠JHG=∠HGK=70°
同理，∠2=90°-∠JHG=20°
所以，∠1=90°-∠2=70°
故答案为70
【点睛】
本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是关键，注意掌握平行线的性质：两直线平
行，内错角相等．
18．4∠AFC=3∠AEC
【解析】
【分析】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=18
解析：4∠AFC=3∠AEC
【解析】
【分析】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=180°-（4x°+4y°），求出
∠AEC=4（x°+y°），∠AFC═3（x°+y°），即可得出答案．
【详解】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠CAE+4x°+∠ACE+4y°=180°，
∴∠CAE+∠ACE=180°-（4x°+4y°），∠FAC+∠FCA=180°-（3x°+3y°），
∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）
=180°-[180°-（4x°+4y°）]
=4x°+4y°
=4（x°+y°），
∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）
=180°-[180°-（3x°+3y°）]
=3x°+3y°
=3（x°+y°），
∴∠AFC=3
4
∠AEC，
即：4∠AFC=3∠AEC，
故正确答案为：4∠AFC=3∠AEC.
【点睛】本题考查了平行线性质和三角形内角和定理的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补．
19．46
【分析】
过点C作CF∥AB，根据平行线的传递性得到CF∥DE，根据平行线的性质得到∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，根据已知条件等量代换得到∠BCF＝76°，由等式性质得到∠
解析：46
【分析】
过点C作CF∥AB，根据平行线的传递性得到CF∥DE，根据平行线的性质得到∠ABC＝
∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，根据已知条件等量代换得到∠BCF＝76°，由等式性质得到∠DCF＝30°，于是得到结论．
【详解】
解：过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，
∵∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，
∴∠BCF＝76°，∠DCF＝30°，
∴∠BCD＝46°，
故答案为：46．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得到角之间的等量关系．20．75
【分析】
直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案．
【详解】
如图所示：
∠1+∠3=180°，
∵m∥n，
∴∠2=∠3，
∴∠1+∠2=180°，
∴3x+24+5x+20=180
解析：75
【分析】
直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案．
【详解】
如图所示：
∠1+∠3=180°，
∵m∥n，
∴∠2=∠3，
∴∠1+∠2=180°，
∴3x+24+5x+20=180，
解得：x=17，
则∠1=（3x+24）°=75°．
故答案为75．
【点睛】
此题主要考查了平行线的判定与性质，正确得出∠1+∠2=180°是解题关键．
三、解答题
21．（1）；（2）①∠1+∠2-∠E=180°；②见解析
【分析】
（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质得到∠A=∠AEF和∠FEC=∠C，再相加即可；（2）①、②过点E作EF∥AB，根据平行线的性质可得∠AEF+∠1=180°和∠FEC=∠2，从而可得三者之间的关系．
【详解】
解：（1）过点E作EF∥AB，
∴∠A=∠AEF，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FEC=∠C，
∵∠AEC=∠AEF+∠FEC，
∴∠AEC=∠A+∠C；
（2）①∠1+∠2-∠E=180°，
②过点E作EF∥AB，
∴∠AEF+∠1=180°，
∵AB ∥CD ，
∴EF ∥CD ，
∴∠FEC=∠2，
即∠CEA+∠AEF=∠2，
∴∠AEF=∠2-∠CEA ，
∴∠2-∠CEA+∠1=180°，
即∠1+∠2-∠AEC=180°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，作辅助线并熟记性质是解题的关键．
22．见解析
【解析】
分析：（1）求出∠ADE +∠FEB =180°，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据角平分线定义得出∠BAD =∠CAD ，推出HD ∥AC ，根据平行线的性质得出∠H =∠CGH ，∠CAD =∠CGH ，推出∠BAD =∠F 即可．
详解：（1）AD ∥EF ．
理由如下：∵∠BDA +∠CEG =180°，∠ADB +∠ADE =180°，∠FEB +∠CEF =180°
∴∠ADE +∠FEB =180°，∴AD ∥EF ；
（2）∠F =∠H ，理由是：
∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD ．
∵∠EDH =∠C ，∴HD ∥AC ，∴∠H =∠CGH ．
∵AD ∥EF ，∴∠CAD =∠CGH ，∴∠BAD =∠F ，∴∠H =∠F ．
点睛：本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较好的题目，难度适中．
23．（1）35︒；（2）123∠+∠=∠，理由见解析；（3）46︒；（4）当P 点在A 的上方时，321∠=∠-∠，当P 点在B 的下方时，312∠=∠-∠．
【分析】
（1）由题意直接根据平行线的性质和三角形内角和定理进行分析即可求解；
（2）由题意过点P 作//PM AC ，进而利用平行线的性质进行分析证明即可；
（3）根据题意过A 点作//AF BD ，则////A BD CE ，进而利用平行线的性质即可求解；
（4）根据题意分当P 点在A 的上方与当P 点在B 的下方两种情况进行分类讨论即可．
【详解】
解：()1∵12l l //，
∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，
在△PCD 中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，
∴∠3=∠1+∠2，则有∠2=∠3-∠1=35︒，
故答案为：35︒；
()2123∠+∠=∠理由如下：
过点P 作//PM AC
//AC BD
////AC PM BD ∴
12CPM DPM ∴∠=∠∠=∠，
12CPM DPM CPD ∴∠+∠=∠+∠=∠
()3过A 点作//AF BD ，则////A BD CE ，
则BAC DBA ACE ∠∠+∠＝，
故答案为：46︒；
()4当P 点在A 的上方时，
如图 2，
∴∠1=∠FPC ．
∵14//l l ，
∴2//PF l ，
∴∠2=∠FPD
∵∠CPD=∠FPD-∠FPC
∴∠CPD=∠2-∠1，即321∠=∠-∠．
当P 点在B 的下方时，
如图 3，
∴∠2=∠GPD
∵12l l //，
∴1//PG l ，
∴∠1=∠CPG
∵∠CPD=∠CPG-∠GPD
∴∠CPD=∠1-∠2，即312∠=∠-∠．
【点睛】
本题考查平行线的判定与性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
24．（1）75°；（2）见解析；（3）∠2＝3∠3
【分析】
（1）利用三角板的度数，求出∠DBC 的度数，再利用平行线的性质得到∠BDN 的度数，由此得到∠1的度数；
（2）过B 点作BG ∥直线m ，利用平行线的性质可得到∠3＝DBG 和∠LAB ＝∠ABG ，再利用等量代换得到∠3+∠LAB ＝75°，利用余角性质得到∠LAB ＝90°-∠2，由此证明结论； （3）结论：∠2＝3∠3．利用（2）中结论，结合平行线的性质得到∠2和∠3的度数由此证明结论．
【详解】
（1）∵直线n ∥直线l ，
∴∠DBC ＝∠BDN ，
又∵∠DBC ＝∠ABC ﹣∠ABD ＝45°﹣30°＝15°，
∴∠BDN ＝15°，
∴∠1＝90°﹣15°＝75°．
（2）如图所示，过B 点作BG ∥直线m ，
∵BG ∥m ，l ∥m ，
∴BG ∥l （平行于同一直线的两直线互相平行），
∵BG ∥m ，
∴∠3＝DBG ，
又∵BG ∥l ，
∴∠LAB ＝∠ABG ，
∴∠3+∠LAB ＝∠DBA ＝30°+45°＝75°，
又∵∠2和∠LAB 互为余角，
∴∠LAB ＝90°﹣∠2，
∴∠3+90°﹣∠2＝75°，
∴∠2﹣∠3＝15°．
（3）结论：∠2＝3∠3．
理由：在（2）的条件下，∠2﹣∠3＝15°，
又∵CN 平分∠BCA ，
∴∠BCN ＝∠CAN ＝22.5°，
又∵直线n ∥直线l ，
∴∠2＝22.5°，
∴∠3＝7.5°，
∴∠2＝3∠3．
【点睛】
考查平行线的性质并结合了三角板中的特殊角度，学生需要作辅助线利用平行线的传递性将特殊的角的关系联系起来，熟悉掌握平行线之间角的关系是解题的关键．
25．（1）145︒；（2）55︒;（3）2125PGN SNP NPG ∠+∠-︒=∠
【分析】
（1）过点F 作//FN AB ，根据AB ∥CD ，EF 垂直于FG ，∠FGD =125°可计算NFG ∠，EFN ∠，从而求算BEF ∠；
（2）作//FN AB ,//HK AB 交MQ 于点K ，由（1）知55,=35NFG EFN ∠=︒∠︒，从而求算35AEF EHL ∠=∠=︒，再根据90EHM M ∠=∠+︒，设M x ∠=︒，利用外角求出MHL ∠，从而求算MQA ∠;
（3）作//PI AB 交NG 于I ，连接NP ，GP ，FP ，设SNP x ∠=︒ ，则NPI x ∠=︒ 设IPG y ∠=︒ ，则PGT y ∠=︒，从而表示PGN ∠，进而寻找数量关系．
【详解】
（1）过点F 作//FN AB ，如图：
∵AB ∥CD ，EF 垂直于FG ，∠FGD =125°
∴55,905535NFG EFN ∠=︒∠=︒-︒=︒
∴180145BEF EFN ∠=︒-∠=︒
（2）作//FN AB ,//HK AB 交MQ 于点K ，如图：
由（1）知：55,905535NFG EFN ∠=︒∠=︒-︒=︒
∴35AEF EHL ∠=∠=︒
又∵90EHM M ∠=∠+︒，设M x ∠=︒
∴90EHM x ∠=︒+︒
∴903555MHL x x ∠=︒+︒-︒=︒+︒
∴5555MKH MQA MHL M x x ∠=∠=∠-∠=︒+︒-︒=︒
（3）作//PI AB 交NG 于I ，连接NP ，GP ，FP ，如图：
设SNP x ∠=︒ ，则NPI x ∠=︒
设IPG y ∠=︒ ，则PGT y ∠=︒
又∵125FGD ∠=︒
∴125PGN y ∠=︒-︒
∴2125PGN SNP NPG ∠+∠-︒=∠
【点睛】
本题考查平行线的性质综合，转化相关的角度是解题关键．
26．（1）∠DAC;EAB BAC DAC ∠+∠+∠（2）见解析（3）①65②215°−12n 【分析】 （1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）过C 作CF ∥AB 根据平行线的性质得到∠D+∠FCD=180°，∠B ＝∠BCF ，然后根据已知条件即可得到结论；
（3）①过点E 作EF ∥AB ，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED 的度数； ②∠BED 的度数改变．过点E 作EF ∥AB ，先由角平分线的定义可得：∠ABE ＝12∠ABC ＝12n°，∠CDE ＝12
∠ADC ＝35°，然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得：∠BEF ＝180°−∠ABE ＝180°−
12n°，∠CDE ＝∠DEF ＝35°，进而可求∠BED ＝∠BEF ＋∠DEF ＝180°−12n°＋35°＝215°−12
n°． 【详解】
（1）过点A 作ED BC ∥
B EAB ∴∠=∠，
C ∠=∠DAC ．
EAB BAC DAC ∠+∠+∠180=︒
180B BAC C ∴∠+∠+∠=︒
故答案为：∠DAC;EAB BAC DAC ∠+∠+∠；
（2）如图2，过C 作CF ∥AB ，
∵AB ∥DE ，
∴CF ∥DE ，
∴∠D+∠FCD=180°，
∵CF ∥AB ，
∴∠B ＝∠BCF ，
∵BCD ∠=∠FCD+∠BCF ，
∴D BCD B ∠+∠-∠=
180D FCD BCF B D FCD B B D FCD ∠+∠+∠-∠=∠+∠+∠-∠=∠+∠=︒； 即180D BCD B ∠+∠-∠=︒；
（3）①如图3，过点E 作EF ∥AB ，
∵AB ∥CD ，
∴AB ∥CD ∥EF ，
∴∠ABE ＝∠BEF ，∠CDE ＝∠DEF ，
∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，∠ABC ＝60°，∠ADC ＝70°，
∴∠ABE ＝12∠ABC ＝30°，∠CDE ＝12
∠ADC ＝35°， ∴∠BED ＝∠BEF ＋∠DEF ＝30°＋35°＝65°； 故答案为：65；
②如图4，过点E 作EF ∥AB ，
∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，∠ABC ＝n°，∠ADC ＝70°
∴∠ABE ＝12∠ABC ＝12n°，∠CDE ＝12
∠ADC ＝35° ∵AB ∥CD ，
∴AB ∥CD ∥EF ，
∴∠BEF ＝180°−∠ABE ＝180°−12
n°，∠CDE ＝∠DEF ＝35°， ∴∠BED ＝∠BEF ＋∠DEF ＝180°−
12n°＋35°＝215°−12n °． 故答案为：215°−12
n ．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算．
27．（1）45；（2）①详见解析；②302α︒+
或602α︒-； 【分析】
（1）根据平行线性质可得180********BPD ∠=︒-︒-︒-︒=︒，再根据平行线性质得BOC BPD ∠=∠；
（2）①根据平行线性质得160BOC ∠=∠=︒，2160∠=∠=︒，结合角平分线定义可证180DQE PDQ ∠+∠=︒，得PD QE ∥，根据平行线传递性可再证PD OC ∥； ②分两种情况分析：当Q 在H 的右侧时，根据平行线性质可得∠BPD=∠BOC=α，∠MQP=∠QPB=60°+α，根据角平分线性质∠MQE=12（60°+α），故∠PEQ=∠MQE ；当Q 在H 的右侧时，与上面同理，∠NQE=
12（180°-60°-α），∠PEQ=∠NQE ． 【详解】
（1）由45NQD ∠=︒，MN
AB ,可得180********BPD ∠=︒-︒-︒-︒=︒， 而PD OC ∥，则有BOC BPD ∠=∠．
故45BPD α=∠=︒ （2）
∵QE OC ∥，60BOC α∠==︒，∴160BOC ∠=∠=︒，
又∵MN AB ，∴2160∠=∠=︒，
又∵QE 平分PQH ∠，∴3260∠=∠=︒，
又∵430∠=︒，∴4390DQE ∠=∠+∠=︒，
且90PDQ ∠=︒，∴180DQE PDQ ∠+∠=︒，∴PD QE ∥，
∵QE OC ∥，∴PD OC ∥．
②当Q 在H 的右侧时，
∵PD ∥OC
∴∠BPD=∠BOC=α
∵MN ∥AB
∴∠MQP=∠QPB=60°+α
又∵QE 平分∠MQP
∴∠MQE=12（60°+α）=30°+12
α ∴∠PEQ=∠MQE=30°+
12α 当Q 在H 的左侧时
∵PD ∥OC
∴∠BPD=∠BOC=α
∵MN ∥AB
∴∠NQP=180°-60°-α
又∵QE 平分∠NQP
∠NQE=12（180°-60°-α）=60°-12
α ∴∠PEQ=∠NQE=60°-
12α
∴302PEQ α∠=︒+
或602α︒-．
【点睛】 考核知识点：平移、平行线判定和性质综合运用．熟练运用平行线性质和判定，分类讨论问题是关键．
28．（2）∠EGF ＝90°；（3）详见解析.
【解析】
【分析】
（2）如图2所示，猜想：∠EGF=90°；由结论（1）得∠EGF=∠BEG+∠GFD ，根据EG 、FG 分别平分∠BEF 和∠EFD ，得到∠BEF=2∠BEG ，∠EFD=2∠GFD ，由于BE ∥CF 到∠BEF+∠EFD=180°，于是得到2∠BEG+2∠GFD=180°，即可得到结论；
（3）如图3，过点G 1作G 1H ∥AB 由结论（1）可得∠G 2=∠1+∠3，
∠EG 1F=∠BEG 1+∠G 1FD ，得到∠3=∠G 2FD ，由于FG 2平分∠EFD 求得∠4=∠G 2FD ，由于∠1=∠2，于是得到∠G 2=∠2+∠4，由于∠EG 1F=∠BEG 1+∠G 1FD ，得到
∠EG 1F+∠G 2=∠2+∠4+∠BEG 1+∠G 1FD=∠BEF+∠EFD ，然后根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】
证明：（2）如图2所示，猜想：∠EGF ＝90°；
由结论（1）得∠EGF ＝∠BEG+∠GFD ，
∵EG 、FG 分别平分∠BEF 和∠EFD ，
∴∠BEF ＝2∠BEG ，∠EFD ＝2∠GFD ，
∵BE ∥CF ，
∴∠BEF+∠EFD ＝180°，
∴2∠BEG+2∠GFD ＝180°，
∴∠BEG+∠GFD ＝90°，
∵∠EGF ＝∠BEG+∠GFD ，
∴∠EGF＝90°；
（3）证明：如图3，过点G1作G1H∥AB，
∵AB∥CD，∴G1H∥CD，
由结论（1）可得∠G2＝∠1+∠3，∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，
∴∠3＝∠G2FD，
∵FG2平分∠EFD，
∴∠4＝∠G2FD，
∵∠1＝∠2，
∴∠G2＝∠2+∠4，
∵∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，
∴∠EG1F+∠G2＝∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD＝∠BEF+∠EFD，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴∠EG1F+∠G2＝180°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．。