高考数学《排列 组合 二项式》专题 组合学案

第3课时 组合
1．一般地说，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．
2．排列与组合的共同点，就是都要“从n 个不同元素中，任取m 个元素”，而不同点就是前者要“按一定的顺序成一列”，而后者却是“不论怎样的顺序并成一组”．
从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．
组合数公式c m n
＝ ＝ 在求具体的组合数时，常用上面的公式，分子由连续m 个自然数之积，最大的数为n ，最小的数是(1)n m -+，分母是!m ，如果进行抽象的证明时，一般常用下面的公式c m n
＝ ，它的分子是!n ，分母是!m 与()n m -！的积．
3．组合数性质：
①m n m n n C C -=
②111m m m n n n C C C ---=+
③11m m n n n C C m
--= ④1111123()m m m m m n n n n n m C C C C C m n --------=+++
+≤ ⑤m r n r m r n r r n m r
r n m r m n C C C C C C C C C ------++++=011110... 例1. 某培训班有学生15名，其中正副班长各一名，先选派5名学生参加某种课外活动.
(1) 如果班长和副班长必须在内有多少种选派法.
(2) 如果班长和副班长有且只有1人在内有多少种派法.
(3) 如果班长和副班长都不在内有多少种派法.
(4) 如果班长和副班长至少有1人在内，有多少种派法.
解；(1) 22C 313C ＝286 (2) 12C 413C ＝1430 (3) 513C ＝1287
(4) 515C －5
13C ＝1716
变式训练1：从4名男生和3名女生中选4人参加某个座谈会，若这4个人中必须既有男生又有女生，则不同的选法有
（ ） A ．140
B ．120
C ．35
D ．34 解：D
例2. 从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有( )
A 、108种
B 、186种 C.216种 D 、270种
解：没有女生的选法有C 34
, 至少有1名女生的选法有313437=-C C 种, 所以选派方案总共有：31×A 3
3=186种。

故选B.
变式训练2：从5位男教师和4位女教师中选出3位教师派到3个班担任班主任(每班一位班主任)，要求这3位班主任中男女教师都要有，则不同的选派方案共有 （ ）
A ．210种
B ．420种
C ．630种
D ．840种
解：B
例3. (1) 把10本相同的书分给编号1,2,3的阅览室，要求每个阅览室分得的书数不大于其编号数，则不同的分法有多少种？
(2) 以平行六面体ABCD —A1B1C1D21的任意三个点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面情况有多少种？
(3) 一次文艺演出中需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯15只，现以不同的亮灯方式来增加舞台效果，设计者按照每次亮灯时恰好有6只是关的，且相邻的灯不能同时关掉，两端的灯必须要亮的要求进行设计，求有多少不同的亮灯方式？
解：（1）先在编号为1，2，3的阅览室中依次放入0，1，2本书，再用隔板法分配剩下的书
有26C ＝15种，（2）平行六面体中能构成三角形个数38C ＝56为任取两个有256C 种情况，其中共面的有1224C ，因而不共面的有256C —1224C 种 （3）282858==C C
变式训练3：马路上有编号为1， 2， 3， 4…..10的十盏路灯，为节约用电，又不影响照明可以把其中的三盏关掉，但不能关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数有_______种.
解：20 用插排法，把七盏亮灯排成一排，七盏亮灯之间有6个间隔，再将三盏不亮的灯插
入其中的3个间隔，一种插法对应一种关灯的方法，故有2036=C 种关灯方法．
例4. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，
(1) 在其中取4个共面的点，共有多少种不同的取法？
(2) 在其中取4个不共面的点，共有多少种不同的取法．
解：(1)四个点共面的取法可分三类．第一类：再同一个面上取，共有44
6C 个面；第二类：在一条棱上取三点，再在它所对的棱上取中点，共有6个面；第三类：在六条棱的六个中点中取，取两对对棱的4个中点，共有23C ＝3个面．故有69种．
(2) 用间接法．共69410-C ＝141个面．
变式训练4：在1， 2，3…100这100个数中任选不同的两个数，求满足下列条件时各有多少种不同的取法．
(1) 其和是3的倍数
(2) 其差是3的倍数(大数减小数).
(3) 相加，共有多少个不同的和.
(4) 相乘，使其积为7的倍数.
解：(1) 1650 (2) 1617 (3) 197 (4)1295
1．解有关组合应用问题时，首先要判断这个问题是不是组合问题．区别组合问题和排列问题的唯一标准是“顺序”．需要考虑顺序的是排列问题不需要考虑顺序的的才是组合问题．2．要注意准确理解“有且仅有” “至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义．
3．组合问题的一般可抽象为“选派”模型来处理．另外有的问题也可用框图结合对应思想来处理。

4．避免重复和遗漏．。