人教版数学八年级上册13.1《线段垂直平分线的性质和判定》导学案

第十三章轴对称
11.1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时线段垂直平分线的性质和判定
学习目标：1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法．
2.会用尺规过一点作直线的垂线.
3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题．
重点：线段的垂直平分线的性质和判定方法
难点：运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题
自主学习
一、知识链接
线段是轴对称图形吗？通过折叠的方法作出线段AB的对称轴l，交AB与O.
〔1〕点A的对称点是_______
〔2〕量出AO与BO的长度，它们有什么关系？
〔3〕AB与直线l在位置上有什么关系？
经过线段________并且______于这条线段的________,叫做这条线段的垂直平分线. 二、新知预习
直线l垂直平分线段AB，交AB与O.点C是l上任意一点,连接AC,BC.
（1）量出AC,BC的长度，它们有什么关系？
（2）另在l上任找一点D，量出AD,DB的长度，它们有什么关系？
（3）由〔1〕，〔2〕，你得到什么结论？
要点归纳：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的__________.
三、自学自测
如下图，直线CD是线段PB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且
PA=5，那么线段PB的长为〔〕
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
四、我的困惑
___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________
一、要点探究
探究点1：线段垂直平分线的性质
证一证：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
：如图，直线
MN ⊥AB ，垂足为C ，AC =CB ，点P 在MN 上．求证：PA =PB ．
典例精析
例1：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝20cm ，DE 垂直平分AB ，垂足为E ，交AC 于D ，假设△DBC 的周长为35cm ，那么BC 的长为( )
方法总结:利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
例2： :如图,在ΔABC 中,边AB ，BC 的垂直平分线交于P.求证：PA=PB=PC.
结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 实际应用：
某区政府为了方便居民的生活，方案在三个住宅小区A 、B 、C 之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等.
课堂探究
B A
C
M N M ' N ' P
B
A
C
例3：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F. 求证：(1)FC ＝AD ；(2)AB ＝BC ＋AD.
方法总结:证明线段相等的方法一般有：1.由全等得对应线段相等；2.由线段垂直平分线的性质得出线段相等.
针对训练
1.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线交AB 于点D ，∠A=50°，那么∠BDC=〔 〕
第1题图 第2题图
2.如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝18cm ，BC ＝10cm ，AB 的垂直平分线ED 交AC 于D 点，那么△BCD 的周长为_________.
3.如图，在△ABC 中，∠AC B=90゜，BE 平分∠ABC，交AC 于E ，DE 垂直平分AB ，交AB 于D ，求证：BE+DE=AC ．
探究点2：线段垂直平分线的判定
1.做一做:用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的弓，箭通过木棒中央的孔射出去.
图① 图② 〔1〕如图①要使CO 垂直于AB ，需要添加什么条件？为什么？
点C 在_____________上.
〔2〕如图②，拉动C ，到达D 的位置，假设AD=DB ，那么点D 在__________上. 〔3〕由〔1〕，〔2〕，你得到什么猜测？
D A B
O O B A C
要点归纳：
与线段两个端点距离________的点在这条线段的______________上. 2.证一证：
：如图，PA =PB ．求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
典例精析
例4： ：如图，点E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA,ED ⊥OB,垂足分别为C,D ，连接CD.
求证：OE 是CD 的垂直平分线.
针对训练
1.三角形纸片上有一点P ，量得PA=3cm ，PB=3cm ，那么点P 一定〔 〕 A ．是边AB 的中点 B ．在边AB 的中线上 C ．在边AB 的高上 D ．在边AB 的垂直平分线上
2.小明做了一个如下图的风筝，其中EH=FH ，ED=FD ，小明说不用测量就知道DH 是EF 的垂直平分线．其中蕴含的道理是__________________________________________.
3.如图，在△ABC 中，AD 是高，在线段DC 上取一点E ，使BD=DE ，AB+BD=DC ， 求证：E 点在线段AC 的垂直平分线上．
二、课堂小结
P
A
B
线段垂直平分线的性质与判定
线段垂直平分线的性质
三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等.
证明线段相
1.如下图，AC=AD,BC=BD,那么以下说法正确的选项是〔 〕
A ．A
B 垂直平分CD B ．CD 垂直平分AB
C ．AB 与C
D 互相垂直平分 D ．CD 平分∠ ACB
2.在锐角三角形ABC 内一点P,，满足PA=PB=PC,那么点P 是△ABC ( )
3.线段AB ，在平面上找到三个点D 、E 、F ，使DA ＝DB ，EA ＝EB,FA ＝FB ，这样的点的组合共有_________种.
4.以下说法：①假设点P 、E 是线段AB 的垂直平分线上两点，那么EA ＝EB ，PA ＝PB ； ②假设PA ＝PB ，EA ＝EB ，那么直线PE 垂直平分线段AB ；③假设PA ＝PB ，那么点P 必是线段AB 的垂直平分线上的点；④假设EA ＝EB ，那么经过点E 的直线垂直平分线段AB ．
其中正确的有_________〔填序号〕.
5.如图，△ABC 中，AB=AC,AB 的垂直平分线交AC 于E,连接BE ，AB+BC=16cm,那么△BCE 的周长是_________cm.
6.如下图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，试说明AD 与EF 的位置关系． 拓展提升
7.如图，在四边形ADBC 中，AB 与CD 互相垂直平分，垂足为点O. (1)找出图中相等的线段；
(2)OE ，OF 分别是点O 到∠CAD 两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．
当堂检测
A
B
D
C。