2019版高中数学人教A版必修5：第三章检测A 含解析

第三章检测(A)
(时间:90分钟满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1若M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则有()
A.M>N
B.M≥N
C.M<N
D.M≤N
解析:∵M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=2a2-4a-(a2-2a-3)=2a2-4a-a2+2a+3=a2-2a+3=a2-2a+1+2=(a-1)2+2>0,∴M>N.答案:A
2不等式-的解集为
A.{x|-2<x<3}
B.{x|x<-2}
C.{x|x<-2,或x>3}
D.{x|x>3}
解析:原不等式等价于(x-3)(x+2)<0,解得-2<x<3.
答案:A
3若集合A={x|x2-2x>0},B={x|则 ()
A.A∩B=⌀
B.A∪B=R
C.B⊆A
D.A⊆B
解析:∵x2-2x=x(x-2)>0,
∴x<0或x>2.
∴集合A与B在数轴上表示为
由图象可以看出A∪B=R,故选B.
答案:B
4不等式组所表示的平面区域的面积等于 ()
A
C
答案:D
5若2x+2y=1,则x+y的取值范围是()
A.[0,2]
B.[-2,0]
C.[-2,+∞)
D.(-∞,-2] 解析:∵2x+2y=1≥
≥2x+y,即2x+y≤2-2.∴x+y≤-2.
答案:D
6若变量x,y满足约束条件
-
-
--
则z=2x+y的最大值为()
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:画出可行域,如图中的阴影部分所示.
由图知,z是直线y=-2x+z在y轴上的截距,当直线y=-2x+z经过点A(1,0)时,z取最大值,此时x=1,y=0,则z的最大值是2x+y=2+0=2.
答案:B
7若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中恒成立的是()
A.a2+b2>2ab
B.a+b≥
C
解析:由ab>0,得a,b同号.
当a<0,b<0时,B,C不成立;
当a=b时,A不成立;
答案:D
8在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影,由区
域
-
-
中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|= ()
A.
.4
C.
.6
解析:画出不等式组
-
-
表示的平面区域如图阴影部分所示.
作出直线x+y-2=0.
设直线x-3y+4=0与x+y=0的交点为C,直线x=2与直线x+y=0的交点为D.过C作CA⊥直线x+y-2=0于点A,
过D作DB⊥直线x+y-2=0于点B,
则区域中的点在直线x+y-2=0上的投影为AB.
∵直线x+y-2=0与直线x+y=0平行,
∴|CD|=|AB|.
由-
得
-C点坐标为(-1,1).
由得
-
D点坐标为(2,-2).
∴|CD|即|AB|=故选C.
答案:C
9已知正实数a,b满足4a+b=30,当取最小值时实数对a,b)是() A.(5,10) B.(6,6)
C.(10,5)
D.(7,2)
解析:
4a+b
≥
当且仅当即时取等号.故选A.
答案:A
10某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品,由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时,可加工出7千克A 产品,每千克A 产品获利40元;乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时,可加工出4千克B 产品,每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时,则甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( ) A.甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱 B.甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱 C.甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱 D.甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱 解析:设甲车间加工原料x 箱,乙车间加工原料y 箱,
由题意,得
∈
目标函数z=280x+200y. 画出可行域,如图中的阴影部分所示.
由图知,目标函数过点A 时,z 取最大值. 解方程组
得x=15,y=55, 即A (15,55).
所以甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱时,甲、乙两个车间每天总获利最大. 答案:B
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11已知x>0,y>0,若x ,y
满足
则xy 的最大值为 . 解析:∵x>0,y>0,
则xy ≤3, 当且仅当
即x
y=2时,等号成立,
∴xy 的最大值为3.
答案:3
12已知O 是坐标原点,点M 的坐标为(2,1),若点N (x ,y )为平面区域
上的一个动点 则
的最大值是 解析:依题意,得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示,其中
C (1,1).
设z x+y,当直线z=2x+y过点C(1,1)时,z=2x+y取得最大值3.答案:3
13当x>1时,log2x2+log x2的最小值为.
解析:当x>1时,log2x>0,log x2>0,
所以log2x2+log x2=2log2x≥
当且仅当2log2x即x时,等号成立,
所以log2x2+log x2的最小值为
答案:
14如果实数x,y满足条件-
那么-
-
的取值范围是.
解析:画出可行域如图中的阴影部分所示.
设P(x,y)为可行域内的一点,M(1,1),则--
由于点P在可行域内,则由图知k MB≤k PM≤k MA.
又可得A(0,-1),B(-1,0),则k MA=2,k MB
则≤k PM≤2,即-
-
的取值范围是
答案:
15若不等式ax2+4x+a>1-2x2对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是. 解析:不等式ax2+4x+a>1-2x2对一切x∈R恒成立,
即(a+2)x2+4x+a-1>0对一切x∈R恒成立.
若a+2=0,则显然不成立;
若a+2≠0,则
--
⇔
-
--
⇔
-
-或
⇔a>2.
答案:(2,+∞)
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16(8分)已知a>0,b>0,且a≠b,比较与a+b的大小.
解a+b
--a2-b2-
=(a2-b2--
又a>0,b>0,a≠b,∴(a-b)2>0,a-b>0,ab>0,
a+b)>0,
17(8分)已知函数f(x)=x2-2x-8,若对一切x>2,均有f(x)≥(m+2)x-m-15成立,求实数m的取值范围.解f(x)=x2-2x-8.
当x>2时,f(x)≥(m+2)x-m-15恒成立,
则x2-2x-8≥(m+2)x-m-15,
即x2-4x+7≥m(x-1).
于是对一切x>2,均有不等式-
-
≥m成立.
--x-1
-
≥-
-
=2(当且仅当x=3时,等号成立),
∴实数m的取值范围是(-∞,2].
18(9分)解关于x的不等式x2-(3m+1)x+2m2+m<0.
解∵x2-(3m+1)x+2m2+m=(x-m)[x-(2m+1)],
∴方程x2-(3m+1)x+2m2+m=0的两解是x1=m,x2=2m+1.当m<2m+1,即m>-1时,原不等式的解为m<x<2m+1;
当m=2m+1,即m=-1时,原不等式无解;
当m>2m+1,即m<-1时,原不等式的解为2m+1<x<m.
综上所述,当m>-1时,原不等式的解集为{x|m<x<2m+1}; 当m=-1时,原不等式的解集为⌀;
当m<-1时,原不等式的解集为{x|2m+1<x<m}.
19(10分)某商店预备在一个月内分批购买每张价值为20元的书桌共36张,每批都购入x张(x是正整数),且每批均需付运费4元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入4张,则该月需用去运费和保管费共52元,现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.
(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x);
(2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.
解(1)设题中比例系数为k,若每批购入x张,
则共需分批,每批价值20x元.
由题意f(x·4+k·20x,
由x=4时,f(x)=52,得k
∴f(x x(0<x≤36,x∈N*).
(2)由(1)知f(x x(0<x≤36,x∈N*).
∴f(x)≥元).
当且仅当x,即x=6时,上式等号成立.
故只需每批购入6张书桌,可以使资金够用.
20(10分)某养鸡场有1万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5 kg,其中动物
饲料不能少于谷物饲料的
动物饲料每千克0.9元,谷物饲料每千克0.28元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料
50 000 kg,问饲料怎样混合,才使成本最低?
解设每周需用谷物饲料x kg,动物饲料y kg,每周总的饲料费用为z元,那么而z=0.28x+0.9y,作出不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图中阴影部分所示.
作一组平行直线0.28x+0.9y=t.其中经过可行域内的点A时,z最小,
又直线x+y=35 000和直线y的交点
故当x y时,饲料费用最低.
答:谷物饲料和动物饲料应按5∶1的比例混合,此时成本最低.。