2024学年吉林省长春市19中数学高三上期末教学质量检测模拟试题含解析

2024学年吉林省长春市19中数学高三上期末教学质量检测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若将函数()2sin 16f x x π⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数()g x 的图象，则下列说
法正确的是（ ）
A ．函数()g x 在0 6π⎛⎫
⎪⎝⎭
，上单调递增 B ．函数()g x 的周期是
2
π C ．函数()g x 的图象关于点 012π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，对称 D ．函数()g x 在0 6π⎛⎫
⎪⎝⎭
，上最大值是1 2． 若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪
≥=+⎨⎪≤⎩
，则的取值范围是
A ．[0,6]
B ．[0,4]
C ．[6, +∞）
D ．[4, +∞）
3．已知抛物线2
:8C y x =的焦点为F ，A B 、是抛物线上两个不同的点，若||||8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A ．5
B ．3
C ．
3
2
D ．2
4．函数(
)()ln 1f x x =+的定义域为（ ） A ．()2,+∞
B ．()()1,22,-⋃+∞
C ．()1,2-
D ．
1,2
5
．已知集合{
(,)|A x y y ==，{}(,)|2B x y y x ==，则A
B 中元素的个数为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
6．定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有
()()1212
0f x f x x x -<-成立，
若关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]
1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1
ln6,126e ⎡⎤+⎢
⎥⎣⎦
B ．1
ln3,126e ⎡⎤+⎢
⎥⎣⎦
C ．1
ln3,23e ⎡⎤
+
⎢⎥⎣⎦
D ．1
ln6,23e ⎡⎤
+
⎢⎥⎣⎦
7．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
8．将函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8
π
个单位长度后，得到函数的图象关于直线3x π=对称，则
函数()f x 在,88ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上的值域是（ ） A ．[1,2]-
B ．[3,2]-
C ．2,12⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
D ．[2,2]-
9．已知点(3,0),(0,3)A B -，若点P 在曲线21y x =--上运动，则PAB △面积的最小值为（ ） A ．6
B ．3
C ．
93222
- D ．
93222
+ 10．定义在上的函数
满足
，且为奇函数，则
的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
23
B ．
13
C ．
43
D ．
56
12．已知实数x ，y 满足10260x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩
，则22
z x y =+的最大值等于( )
A ．2
B ．22
C ．4
D ．8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．()()6
12x x +-展开式中2x 的系数为_________.
14．已知向量()1,1m =，()2,1n =-，()1,g λ=，若()
2g m n ⊥+，则λ=______.
15．若3
22
(cos )a x x dx π
π-=+⎰，则5
3()x x
-
的展开式中含x 的项的系数为_______. 16．已知函数()()()()3sin 2cos 20f x x x ϕϕϕ=+-+≤<π是定义在R 上的奇函数，则8f π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值为__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区，在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记，由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验，在某普查小区，共有50家企事业单位，150家个体经营户，普查情况如下表所示： 普查对象类别 顺利 不顺利 合计 企事业单位 40 10 50 个体经营户 100 50 150 合计
140
60
200
（1）写出选择5个国家综合试点地区采用的抽样方法；
（2）根据列联表判断是否有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；
（3）以该小区的个体经营户为样本，频率作为概率，从全国个体经营户中随机选择3家作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为X，写出X的分布列，并求X的期望值．
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
k
a b c d a c b d
-
=
++++
18．（12分）为增强学生的法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士”活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛．现从全校学生中随机抽取50名学生，统计他们的竞赛成绩，已知这50名学生的竞赛成绩均在[50，100]内，并得到如下的频数分布表：
（1）将竞赛成绩在[70,100]内定义为“合格”，竞赛成绩在[50,70)内定义为“不合格”．请将下面的22
⨯列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关？
（2）在（1）的前提下，按“竞赛成绩合格与否”进行分层抽样，从这50名学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生竞赛成绩都合格的概率．
参考公式及数据：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++．
19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l
的参数方程为
3
2
2
x
y t
⎧
=-
⎪
⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
(t为参数)．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρθ
=.
(1)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
(2)若点P
坐标为，圆C与直线l交于,A B两点，求||||
PA PB
+的值．
20．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点O，其短半轴长为1，一个焦点坐标为(1,0)，点A在椭圆C上，点B在直线y上，且OA OB
⊥．
（1）证明：直线AB与圆221
x y
+=相切；
（2）设AB与椭圆C的另一个交点为D，当AOB的面积最小时，求OD的长．
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
2
x a t
y t
=+
⎧
⎨
=-
⎩
（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
2
2
12
3sin
ρ
θ
=
+
.
（1）若2
a=-，求曲线C与l的交点坐标；
（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为45°的直线，交l于点A，且PA，求a的值.
22．（10分）已知2
()2ln(2)(1)()(1)
f x x x
g x k x
=+-+=+
，.
（1）求()
f x的单调区间；
（2）当2
k=时，求证：对于1
x
∀>-，()()
f x
g x
<恒成立；
（3）若存在01
x>-，使得当
(1,)
x x
∈-时，恒有()()
f x
g x
>成立，试求k的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A 【解题分析】
根据三角函数伸缩变换特点可得到()g x 解析式；利用整体对应的方式可判断出()g x 在0,
6π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，A 正确；关于点,112π⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
对称，C 错误；根据正弦型函数最小正周期的求解可知B 错误；根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得，D 错误. 【题目详解】
将()f x 横坐标缩短到原来的
12得：()2sin 216g x x π⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭
当0,6x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，
2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ sin x 在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 ()g x ∴在0,6π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，A 正确；
()g x 的最小正周期为：22T π
π=
= 2
π∴不是()g x 的周期，B 错误； 当12
x π
=-
时，206x π
+
=，112g π⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
()g x ∴关于点,112π⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
对称，C 错误；
当0,
6x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，2,662x π
ππ⎛⎫
+
∈ ⎪⎝⎭
()()0,1g x ∴∈ 此时()g x 没有最大值，D 错误. 本题正确选项：A 【题目点拨】
本题考查正弦型函数的性质，涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段区间内的值域的求解；关键是能够灵活应用整体对应的方式，通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质. 2、D 【解题分析】
解：x 、y 满足约束条件，表示的可行域如图：
目标函数z=x+2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由
解得C （2，1），
目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4，+∞）． 故选D ．
3、D 【解题分析】
由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知12||||228AF BF x x +=+++=,继而可求出
124x x +=,从而可求出AB 的中点的横坐标,即为中点到y 轴的距离.
【题目详解】
解：由抛物线方程可知，28p =，即4p =，()2,0F ∴.设()()1122,,,A x y B x y 则122,2AF x BF x =+=+，即12||||228AF BF x x +=+++=，所以124x x +=. 所以线段AB 的中点到y 轴的距离为12
22
x x +=. 故选:D. 【题目点拨】
本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得A B 、两点横坐标的和. 4、C 【解题分析】
函数的定义域应满足20
,1 2.10x x x ->⎧∴-<<⎨
+>⎩
故选C. 5、C
【解题分析】
集合A 表示半圆上的点，集合B 表示直线上的点，联立方程组求得方程组解的个数，即为交集中元素的个数. 【题目详解】
由题可知：集合A 表示半圆上的点，集合B 表示直线上的点，
联立y =2y x =，
2x =，整理得2
15
x =，
即x =，
当x =时，20y x =<，不满足题意；
故方程组有唯一的解,55⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
.
故A B ⎧⎫⎪⎪⋂=⎨⎬⎪⎪⎝⎭⎩⎭
. 故选：C. 【题目点拨】
本题考查集合交集的求解，涉及圆和直线的位置关系的判断，属基础题. 6、B 【解题分析】
结合题意可知()f x 是偶函数,且在[
)0,+∞单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数()(),h x g x ,计算最值,即可. 【题目详解】
结合题意可知()f x 为偶函数,且在[
)0,+∞单调递减,故
()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++可以转换为
()()2ln 33f mx x f --≥对应于[]1,3x ∈恒成立,即2ln 33mx x --≤
即02ln 6mx x ≤-≤对[]
1,3x ∈恒成立 即ln 6ln 22x x m m x x
+≥
≤且对[]1,3x ∈恒成立
令()ln x g x x =,则()[)1ln '1,x
g x e x
-=
在上递增,在(],3e 上递减, 所以()max 1
g x e =
令()()26ln 5ln ,'0x x
h x h x x x
+--==<,在[]1,3上递减 所以()min 6ln33h x +=.故1
ln3,126m e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦
,故选B. 【题目点拨】
本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案. 7、C 【解题分析】
利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可． 【题目详解】
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高
分，平均成绩为低于
分，①错误；
②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间
内，②正确；
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确； ④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确． 故选：C ． 【题目点拨】
本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题． 8、D 【解题分析】
由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，求得结果. 【题目详解】
解：把函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8
π
个单位长度后， 可得32sin 38y x πϕ⎛⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭
的图象； 再根据得到函数的图象关于直线3
x π
=
对称，
333
82
k π
ππ
ϕπ∴⨯
-
+=+，k Z ∈，
78πϕ∴=
，函数7()2sin 38f x x π⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭
. 在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，753,824x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2sin 3,182x π⎡⎤⎛
⎫∴-∈-⎢⎥ ⎪⎝
⎭⎣⎦， 故()2sin 3[2,2]8f x x π⎛
⎫
=-∈- ⎪⎝
⎭
，即()f x 的值域是[2,2]-，
故选：D. 【题目点拨】
本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，属于中档题． 9、B 【解题分析】
求得直线AB 的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得P 位于(1,0)-，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值. 【题目详解】
解：曲线21y x =--表示以原点O 为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图， 直线AB 的方程为30x y -+=，
可得||32AB =，由圆与直线的位置关系知P 在(1,0)-时，P 到直线AB 距离最短，即为
|103|
22
--+=， 则PAB △的面积的最小值为1
32232
⨯⨯=. 故选：B .
【题目点拨】
本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得． 10、D
【解题分析】 根据
为奇函数，得到函数关于
中心对称，排除
，计算
排除，得到答案.
【题目详解】
为奇函数，即
，函数关于
中心对称，排除
.
，排除.
故选：. 【题目点拨】
本题考查了函数图像的识别，确定函数关于中心对称是解题的关键. 11、A 【解题分析】
利用已知条件画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积． 【题目详解】
几何体的三视图的直观图如图所示，
则该几何体的体积为：1211233
⨯⨯⨯=． 故选：A ． 【题目点拨】
本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键． 12、D 【解题分析】
画出可行域，计算出原点到可行域上的点的最大距离，由此求得z 的最大值. 【题目详解】
画出可行域如下图所示，其中()51,,2,22A C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于2
252912OA ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
22OC =，所以OC OA >， 所以原点到可行域上的点的最大距离为22所以z 的最大值为(2
22
8=.
故选：D
【题目点拨】
本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、48 【解题分析】
变换()()()()6
6
6
1222x x x x x +-=-+-，根据二项式定理计算得到答案. 【题目详解】
()
6
2x -的展开式的通项为：()6162r r r
r T C x -+=⋅-，()()()()666
1222x x x x x +-=-+-，
取=5r 和4r =，计算得到系数为：()()5
4
54
662248C C ⋅-+⋅-=.
故答案为：48. 【题目点拨】
本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力. 14、-1 【解题分析】
由向量垂直得向量的数量积为0，根据数量积的坐标运算可得结论． 【题目详解】
由已知2(4,1)m n +=，∵()
2g m n ⊥+，∴()
240g m n λ⋅+=+=，4λ=-． 故答案为：－1． 【题目点拨】
本题考查向量垂直的坐标运算．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键． 15、80- 【解题分析】
首先根据定积分的应用求出a 的值,进一步利用二项式的展开式的应用求出结果. 【题目详解】
(
)
2
2
3
42
2
1cos sin 24a x x dx x x π
π
π
π--
⎛⎫=
+=+= ⎪⎝⎭⎰，
55
x x ⎛
⎛∴= ⎝
⎝
根据二项式展开式通项：4
553
155()(2)r
r
r r r r r T C x C x --+=⋅=⋅-⋅， 令4
513
r -
=，解得3r =， 所以含x 的项的系数33
5(2)80C -=-.
故答案为：80- 【题目点拨】
本题考查定积分，二项式的展开式的应用,主要考查学生的运算求解能力,属于基础题. 16
、 【解题分析】
先利用辅助角公式将(
)()()2cos 2f x x x ϕϕ=+-+转化成()2sin 26f x x πϕ⎛⎫
=+-
⎪⎝
⎭
,根据函数是定义在R 上的奇函数得出6π
=ϕ,从而得出函数解析式,最后求出8f π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
即可. 【题目详解】
解: (
)()()2cos 22sin 26f x x x x πϕϕϕ⎛
⎫=+-+=+- ⎪⎝
⎭,
又因为()f x 定义在R 上的奇函数,
则()02sin 2006f πϕ⎛⎫
=⨯+-= ⎪⎝
⎭
, 则6
k π
ϕπ-
=,又因为()0ϕπ≤<, 所以6
π
=
ϕ,()()2sin 2f x x =,
所以2sin 288f ππ⎛⎫⎛⎫
-
=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
故答案为: 【题目点拨】
本题考查三角函数的化简,三角函数的奇偶性和三角函数求值,考查了基本知识的应用能力和计算能力,是基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）分层抽样，简单随机抽样（抽签亦可） （2）有 （3）分布列见解析，()2E X = 【解题分析】
（1）根据题意可以选用分层抽样法，或者简单随机抽样法. （2）由已知条件代入公式计算出结果，进而可以得到结果. （3）由已知条件计算出X 的分布列，进而求出X 的数学期望. 【题目详解】
（1）分层抽样，简单随机抽样（抽签亦可）． （2）将列联表中的数据代入公式计算得
222
()200(405010010) 3.175 2.706()()()()1406050150
n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯
所以有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”． （3）以频率作为概率，随机选择1家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的概率为2
3
．X 可取0，1，2，3，计算可得X 的分布列为：
()323
E X =⨯
= 【题目点拨】
本题考查了运用数学模型解答实际生活问题，运用合理的抽样方法，计算2k 以及数据的分布列和数学期望，需要正确
运用公式进行求解，本题属于常考题型，需要掌握解题方法. 18、（1）见解析；（2）3
10
P = 【解题分析】
（1）补充完整的22⨯列联表如下： 合格 不合格 合计 高一新生 12 14 26 非高一新生 18 6 24 合计 30
20
50
则2K
的观测值250(1261418)225 4.327 3.8413020242652
k
⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，
所以有95%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关． （2）抽取的5名学生中竞赛成绩合格的有5
30350
⨯=名学生，记为,,a b c ， 竞赛成绩不合格的有5
20250
⨯
=名学生，记为,m n ， 从这5名学生中随机抽取2名学生的基本事件有：,,,,,,,,,ab ac bc am an bm bn cm cn mn ，共10种， 这2名学生竞赛成绩都合格的基本事件有：,,ab ac bc ，共3种，
所以这2名学生竞赛成绩都合格的概率为310
P =
． 19、（1）（2）32
【解题分析】
试题分析：（1）由加减消元得直线l 的普通方程,由222
sin ,y x y ρθρ==+得圆C 的直角坐标方程；（2）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，由直线参数方程几何意义得|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2,再根据韦达定理可得结果
试题解析：解：（Ⅰ）由得直线l 的普通方程为x+y ﹣3﹣=0
又由得 ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x 2+（y ﹣）2=5；
（Ⅱ）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得（3﹣
t ）2+（
t ）2=5，即t 2﹣3
t+4=0
设t 1，t 2是上述方程的两实数根， 所以t 1+t 2=3
又直线l 过点P
，A 、B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，
所以|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3．
20、（1）见解析； （2）10
3
. 【解题分析】
（1）分斜率为0，斜率不存在，斜率不为0三种情况讨论，设OA 的方程为y kx =，可求解得到2
2
2
22||12k
OA k
+=+，22||22OB k =+，可得O 到AB 的距离为1，即得证；
（2）表示AOB 的面积为2
21||||2212S OA OB k
=⋅=+，利用均值不等式，即得解.
【题目详解】
（1）由题意，椭圆C 的焦点在x 轴上，且1b c ==，所以2a =
所以椭圆C 的方程为2
212
x y +=．
由点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥知OA 的斜率必定存在， 当OA 的斜率为0时，||2OA =
||2OB =
于是||2AB =，O 到AB 的距离为1，直线AB 与圆2
2
1x y +=相切．
当OA 的斜率不为0时，设OA 的方程为y kx =，与2212
x y +=联立得()
22
122k x +=，
所以22212A
x k =+，222212A k y k =+，从而22
2
22||12k OA k
+=+． 而OB OA ⊥，故OB 的方程为x ky =-，而B 在2y =上，故2x k =-， 从而2
2
||22OB k =+，于是
22
11
1||||OA OB +=． 此时，O 到AB 的距离为1，直线AB 与圆2
2
1x y +=相切． 综上，直线AB 与圆2
2
1x y +=相切． （2）由（1）知，AOB 的面积为
2
2112
11
||||1
22
k
S OA OB
++⎛
=⋅===，
上式中，当且仅当0
k=等号成立，所以AOB面积的最小值为1．
此时，点
A在椭圆的长轴端点，B为．
不妨设
A为长轴左端点，则直线AB的方程为y x
=，
代入椭圆
C的方程解得
D
y=，
即2
8
9
D
y=，2
2
9
D
x
=，所以||
OD=
【题目点拨】
本题考查了直线和椭圆综合，考查了直线和圆的位置关系判断，面积的最值问题，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于较难题.
21、（1）()
2,0
-，3
1,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
；（2）1
a=或1
a=-
【解题分析】
（1）将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，即可求得曲线C与l的交点坐标；（2）由直线l的普通方程为20
x y a
+-
=，故C上任意一点(2cos)
Pαα，根据点到直线距离公式求得P到直线l的距离，根据三角函数的有界性，即可求得答案.
【题目详解】
（1）2
2
12
3sin
ρ
θ
=
+
，
∴222
3sin12
ρρθ
+=.
由
cos
sin
x
y
ρθ
ρθ
=
⎧
⎨
=
⎩
，得22
3412
x y
+=，
曲线C的直角坐标方程为
22
1
43
x y
+=.
当2
a=-时，直线l的普通方程为220
x y
++=
由22
220
1
43
x y
x y
++=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
解得
2
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
或
1
3
2
x
y
=
⎧
⎪
⎨
=-
⎪⎩
.
从而C 与l 的交点坐标为()2,0-，31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
.
（2）由题意知直线l 的普通方程为20x y a +-=，
C
的参数方程为2cos x y α
α
=⎧⎪⎨
=⎪⎩（α为参数） 故C
上任意一点(2cos )P αα到l 的距离为
d ==
则||sin 45d PA ︒===
当0a ≥时，||PA
=1a =；
当0a <时，||PA
=1a =-.
综上所述，1a =或1a =- 【题目点拨】
解题关键是掌握极坐标和参数方程化为直角坐标方程的方法，和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
22、（1）单调减区间为3(2,)2-+-
，单调增区间为3()2
-+∞；
（2）详见解析；（3）(,2)-∞. 【解题分析】
试题分析：（1）对函数()f x 求导后，利用导数和单调性的关系，可求得函数()f x 的单调区间.（2）构造函数
()()()h x f x g x =-，利用导数求得函数()h x 在()1,-+∞上递减，且()10h -=，则()0h x <，故原不等式成立.（3）
同（2）构造函数()()()h x f x g x =-，对k 分成2,2,2k k k =三类，讨论函数()h x 的单调性、极值和最值，由此求得k 的取值范围. 试题解析： （1）()()2
'212
f x x x =
-++
(
)2231
(2)2
x x x x -++=
>-+，
当()'0f x <时，2310++>x x .
解得x >
当()'0f x >时，解得2x -<<
．
所以()f x 单调减区间为32,
2⎛-- ⎝⎭
，
单调增区间为⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
． （2）设()()()h x f x g x =-
()()()2
2ln 211(1)x x k x x =+-+-+>-，
当2k =时，由题意，当()1,x ∈-+∞时，
()0h x <恒成立． ()()223122
'x x x h x -++=
-+
()()2312
x x x -++=
+，
∴当1x >-时，()'0h x <恒成立，()h x 单调递减． 又()10h -=，
∴当()1,x ∈-+∞时，()()10h x h <-=恒成立，即()()0f x g x -<． ∴对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立． （3）因为()()223'12
x x k x h x -++=
-+
()22622
2
x k x k x ++++=-
+． 由（2）知，当2k =时，()()f x g x <恒成立，
即对于1x ∀>-，()()()2
2ln 2121x x x +-+<+， 不存在满足条件的0x ；
当2k >时，对于1x ∀>-，10x +>， 此时()()211x k x +<+．
∴()()()()2
2ln 21211x x x k x +-+<+<+， 即()()f x g x <恒成立，不存在满足条件的0x ； 当2k <时，令()()()2
2622t x x k x k =--+-+，
可知()t x 与()'h x 符号相同，
当()0,x x ∈+∞时，()0t x <，()'0h x <，
()h x 单调递减．
∴当()01,x x ∈-时，()()10h x h >-=， 即()()0f x g x ->恒成立． 综上，k 的取值范围为(),2-∞．
点睛：本题主要考查导数和单调区间，导数与不等式的证明，导数与恒成立问题的求解方法.第一问求函数的单调区间，这是导数问题的基本题型，也是基本功，先求定义域，然后求导，要注意通分和因式分解.二、三两问一个是恒成立问题，一个是存在性问题，要注意取值是最大值还是最小值.。