(人教版)大连市高中物理必修二第七章《万有引力与宇宙航行》测试(包含答案解析)

一、选择题
1．“坦普尔一号”彗星绕太阳运行的轨道是一个椭圆，其运动周期为5.74年，则关于“坦普尔一号”彗星的下列说法中正确的是（）
A．彗星绕太阳运动的角速度不变
B．彗星在近日点处的线速度大于远日点处的线速度
C．彗星在近日点处的加速度小于远日点处的加速度
D．彗星在近日点处的机械能小于远日点处的机械能
2．如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行，在P点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动。

下列说法正确的是（）
A．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的速度都相同
B．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同
C．卫星在轨道1的任何位置都具有相同的加速度
D．卫星在轨道2的任何位置都具有相同的速度
3．2020年12月17日，嫦娥五号成功返回地球，创造了我国到月球取土的伟大历史。

如图所示，嫦娥五号取土后，在P点处由圆形轨道Ⅰ变轨到椭圆轨道Ⅱ，以便返回地球。

已知嫦娥五号在圆形轨道Ⅰ的运行周期为T1，轨道半径为R；椭圆轨道Ⅱ的半长轴为a，经过P点的速率为v，运行周期为T2。

已知月球的质量为M，万有引力常量为G，则
（）
A．
3
1
3
2
T
T
a
R
=B．
GM
v
a
=C．
GM
v
R
=D．
23
2
1
4πR
M
GT
=
4．下列叙述正确的是（）
A．牛顿提出了万有引力定律，并用实验测量了万有引力常量
B．在不需要考虑物体本身的大小和形状时，用质点来代替物体的方法叫建立物理模型法C．伽利略提出行星运动三定律
D．伽利略在研究力和运动的关系时，得出了力不是维持物体运动的原因，采用了控制变量的方法
5．卫星甲、乙、丙在如图所示的三个椭圆轨道上绕地球运行，卫星甲和乙的运行轨道在Р点相切。

下列说法正确的是（）
A．卫星甲经过Р点时的加速度大于卫星乙经过Р点时的加速度
B．卫星甲经过Р点时的速度大于卫星乙经过Р点时的速度
C．在卫星甲、乙，丙中，卫星丙的周期最大
D．卫星丙的发射速度可以小于7.9km/s
6．北斗卫星导航系统由多颗卫星组成，包括中圆地球轨道卫星、静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星。

中圆地球轨道卫星离地高度2.1万千米。

静止轨道卫星在地球赤道平面内，与地球自转周期相同，倾斜地球同步卫星与静止轨道卫星离地高度均为3.6万千米。

以下说法正确的是（）
A．倾斜地球同步轨道卫星周期等于静止轨道卫星的周期
B．倾斜地球同步轨道卫星周期大于静止轨道卫星的周期
C．中圆地球轨道卫星的线速度小于静止轨道卫星的线速度
D．中圆地球轨道卫星的运行周期大于静止轨道卫星的周期
7．2017年10月16日晚，全球天文学界联合发布一项重大发现：人类首次直接探测到了双中子星并合产生的引力波及其伴随的电磁信号。

从此在浩淼的宇宙面前，人类终于耳聪目明了。

如图为某双中子星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图，若A 星的轨道半径小于B星的轨道半径，双星的总质量为M，双星间的距离为L，其运动角速度为ω。

则（）
A．A星的质量一定大于B星的质量
B．双星总质量M一定时，L越大，ω越大
C．A星运转所需的向心力大于B星所需的向心力
D．A星运转的线速度大小等于B星运转的线速度大小
8．2020年9月20日23时，在我国首次火星探测任务飞行控制团队控制下，天问一号探测器4台120N发动机同时点火工作20秒，顺利完成第二次轨道中途修正，至此，天问一号已在轨飞行60天，距离地球约1900万千米如图所示为天问一号飞向火星先后经历发射段、地火转移段、火星捕获段、火星停泊段、离轨着陆段、科学探索段六个阶段，下列说法正确的是（）
A．“天问一号”在科学探测段的周期大于火星捕获段的周期
B．“天问一号”从火星捕获段到火星停泊段，需要在P点朝运动的反方向喷气
C．“天问一号”在科学探测段经过P点时的加速度大小等于在火星捕获期经过P点时的加速度大小
D．“天问一号”在离轨着陆段，动能逐渐增大，引力势能逐渐减小，机械能增大
9．夜晚，人们面对月亮只能看到正面，看不到背面，这说明月球的公转周期等于自转周期。

已知引力常量为G，月球半径为R、质量为M、公转周期为T。

由此可求出（）A．地球的质量
B．月球公转的轨道半径
C．月球公转的向心加速度
D．月球“同步卫星”的高度
10．2020年7月23日，天问一号发射升空，如图所示，计划飞行约7个月抵达火星，并通过2至3个月的环绕飞行后着陆火星表面，开展探测任务。

已知火星与地球的质量之比约为1：10，火星与地球的半径之比约为1：2，则探测器分别围绕火星做圆周运动一周的最短时间和围绕地球做圆周运动一圈的最短时间之比约为（）
A．5
2
B．5
2
C．5D．25
11．如图所示，人造卫星M、N 分别绕地球做匀速圆周运动，关于它们的线速度、角速度、向心加速度和周期的大小的比较，下列说法正确的是（）
A．卫星M 的线速度小于卫星N 的线速度
B．卫星M 的向心加速度小于卫星N 的向心加速度
C ．卫星M 的角速度大于卫星N 的角速度
D ．卫星M 的周期大于卫星N 的周期
12．许多科学家对物理学的发展做出了巨大贡献，也创造出了许多物理学方法，如理想实验法、控制变量法、极限思想法、模型法、类比法和科学假说法，等等。

以下关于物理学史和所用物理学方法的叙述正确的是（ ）
A ．牛顿巧妙地运用扭秤测出引力常量，采用了放大法
B ．伽利略运用理想实验法说明了力是维持物体运动的原因
C ．在不需要考虑物体本身的形状和大小时，用质点来代替物体的方法叫假设法
D ．在推导匀变速直线运动位移公式时，把整个运动过程划分成很多小段，每一小段近似看做匀速直线运动，然后把各小段的位移相加之和代表物体的位移，这里采用了微元法
二、填空题
13．天体飞临某个行星，并进入行星表面的圆轨道飞行，设该行星为一个球体，已经测出该天体环绕行星一周所用的时间为T ，那么这颗行星的密度是___________。

（已知万有引力常量为G ）
14．如图所示，在距一质量为M 、半径为R 、密度均匀的球体R 处有一质量为m 的质点，此时球体对质点的万有引力F 1=______；若以球心O 为中心挖去一个质量为2
M 的球体，则剩下部分对质点的万有引力F 2=________。

15．两颗人造地球卫星的质量之比m A :m B =2:1，轨道半径之比R A :R B =3:1，那么，它们的周期之比T A :T B =______，它们所受向心力之比F A :F B =______。

16．某星球的质量是地球质量的3倍，其半径是地球半径的2倍，则该星球表面的重力加速度大小为__________2m /s ．有一个质量为2kg 的物体放在该星球的水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数为0.2，则用大小为12N 的水平力拉此物体，使它沿星球的水平地面运动，此时物体所受摩擦力的大小为___________N ，物体运动的加速度大小为_________2m /s ．（重力加速度g 取210m /s ）
17．如图,质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速周运动,星球A 和B 两者中心之间距离为L 。

已知A,B 的中心和O 三点始终共线,A 和B 分别O 的两侧。

引力常数为G 。

则两星球做圆周运动的周期为_______________,在地月系统中,若忽略其它星球的影响,可以将月球和地球看成上述星球A 和B ,月球绕其轨道中心运行的周期记为1T 。

但在近似处理问题时,常常认为月球是绕地心做圆周运动的,这样算得的运行周期2T .已知地球和月球的质量分别为245.9810kg ⨯和22
3510kg ⨯。

则2T 与1T 两者平方之比为___________________（结果保留3位有效数字）
18．“天宫二号”被称为是我国首个真正意义上的空间实验室，是继“天宫一号”后中国自主研发的第二个空间实验室，“天宫二号”的发射将全面开启中国空间实验室任务，为我国未
来空间站建设打下重要基础．设“天宫二号”在距地面高为h的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动，已知地球的质量为M、半径为R，引力常量为G，且不考虑地球自传的影响．则“天宫二号”绕地球运动的线速度大小为________，周期为________，向心加速度大小为
________．
19．某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆，每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如用所示，地球和行星做圆周运动所需的向心力来源于_____，该行星与地球的公转半径比为_____。

20．某行星绕太阳运动可近似看作匀速圆周运动，已知行星运动的轨道半径为R，周期为T，万有引力恒量为G，则该行星的线速度大小为________；太阳的质量可表示为
___________．
三、解答题
21．上九天揽月，登月表取壤，嫦娥五号完成了中国探月的一大壮举。

2020年12月2日，嫦娥五号在月球上釆集1.7kg月壤样品并封装，由上升器送入预定环月轨道．如果携带已封装月壤的上升器离开月球表面的一段运动过程中，在竖直方向上先加速上升，后减
速上升，其v t-图像如图所示。

已知月球质量约为地球的1
81
，月球表面重力加速度约为
地球表面的1
6
，求：
(1)月球与地球的半径之比（结果可保留根号）；
(2)加速及减速过程中，封装装置对月壤样品的作用力大小之差。

22．如图所示，宇航员站在某一质量分布均匀的星球表面上从P点沿水平方向以初速度0v 抛出一个小球，小球经时间t垂直落在一斜坡点Q上，斜面的倾角为θ，已知该星球半径为R，求：
(1)该星球表面的重力加速度g；
(2)人造卫星在该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T。

23．嫦娥一号在西昌卫星发射中心发射升空，准确进入预定轨道．随后，嫦娥一号经过变轨和制动成功进入环月轨道．如图所示，阴影部分表示月球，设想飞船在圆形轨道Ⅰ上作匀速圆周运动，在圆轨道Ⅰ上飞行n圈所用时间为t到达A点时经过暂短的点火变速，进入椭圆轨道Ⅱ，在到达轨道Ⅱ近月点B点时再次点火变速，进入近月圆形轨道Ⅲ，而后飞船在轨道Ⅲ上绕月球作匀速圆周运动，在圆轨道Ⅲ上飞行n圈所用时间为．不考虑其它星体对飞船的影响，求：
（1）月球的平均密度是多少？
（2）飞船从轨道Ⅱ上远月点A运动至近月点B所用的时间．
（3）如果在Ⅰ、Ⅲ轨道上有两只飞船，它们绕月球飞行方向相同，某时刻两飞船相距最近（两飞船在月球球心的同侧，且两飞船与月球球心在同一直线上），则经过多长时间，他们又会相距最近？
24．假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若这颗卫星在距该天体表面高度为h的轨道做匀速圆周运动，周期为T，已知万有引力常量为G，求：
(1)该天体的质量是多少？
(2)该天体的密度是多少？
(3)该天体表面的重力加速度是多少？
25．我国发射的“嫦娥三号”探月卫星在环月圆轨道绕行n圈所用时间为t，如图所示．已知月球半径为R，月球表面处重力加速度为g月，引力常量为G。

求：
(1)月球的质量M；
(2)月球的第一宇宙速度1v；
(3)“嫦娥三号”卫星离月球表面高度h。

26．宇航员站在某一星球距其表面h 高度处，以某一速度沿水平方向抛出一个小球，落地时竖直方向的速度大小为v ，已知该星球的半径为R ，引力常量为G ，求该星球的质量和密度？
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一、选择题
1．B
解析：B
A ．根据开普勒第二定律，可知，彗星绕太阳做椭圆运动时，轨道半径在相等时间内扫过的面积相等，要使面积相等，半径越小，在相等时间内彗星转过的圆心角越大，因此彗星的角速度越大，由此可知，彗星的角速度是变化的，故A 错误；
B ．彗星绕太阳做椭圆运动时，轨道半径在相等时间内扫过的面积相等，要使面积相等，半径越小，在相等时间内，彗星转过的弧长越大，彗星的线速度越大，即在近日点，彗星的线速度大，故B 正确；
C ．太阳与彗星的质量不变，在近日点两者间的距离小，由万有引力定律可知，彗星受到的引力大，由牛顿第二定律可知，力越大，加速度越大，所以彗星在近日点的加速度大于在远日点的加速度，故C 错误；
D ．彗星绕太阳运行的过程中，只有万有引力做功，其机械能是守恒的，即彗星在近日点处的机械能等于远日点处的机械能，故D 错误。

故选B 。

2．B
解析：B
A ．卫星从轨道1在P 点加速才能进入轨道2，则卫星在轨道2上P 点的速度大于在轨道1上P 点的速度，A 错误；
B ．根据
2
Mm G
ma r = 解得 2GM a r =
可知，不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P 点的加速度都相同，B 正确；
C ．根据
2Mm G
ma r
= 解得 2GM
a r =
可知，卫星在轨道1的不同位置具有的加速度不同，C 错误；
D ．卫星在轨道2的任何位置都具有相同大小的速度，但是方向不同，D 错误。

故选B 。

3．D
解析：D
A ．根据开普勒第三定律
3
2
r k T = 可得
12
T T =故A 错误； B ．轨道Ⅱ是椭圆轨道，嫦娥五号在轨道运行时速度大小不断变化，故B 错误； C ．嫦娥五号在圆形轨道Ⅰ
，由圆形轨道Ⅰ转入椭圆轨道是需要点火加
速，故v >
C 错误；
D ．由 2
221
4GMm m R R T π= 可得
23
2
14πR M GT = 故D 正确。

故选D 。

4．B
解析：B
A ．牛顿提出了万有引力定律，卡文迪许用实验测量了万有引力常量，故A 错误；
B ．在不需要考虑物体本身的大小和形状时，用质点来代替物体的方法叫建立物理模型法，故B 正确；
C ．开普勒提出行星运动三定律，故C 错误；
D ．伽利略在研究力和运动的关系时，得出了力不是维持物体运动的原因，采用的是理想斜面实验法，故D 错误。

故选B 。

5．B
解析：B
A ．由牛顿第二定律
22
Mm G
M r a G m r =
= 加速度相等，A 错误； B ．卫星乙在P 点加速才能做离心运动进入卫星甲轨道，所以卫星甲经过Р点时的速度大于卫星乙经过Р点时的速度，B 正确；
C ．由开普勒第三定律，甲的周期最大，C 错误；
D ．卫星丙的发射速度如果小于7.9km/h ，将落回地面，D 错误。

故选B 。

6．A
解析：A
ABD ．倾斜地球同步卫星与静止轨道卫星离地高度均为3.6万千米，中圆地球轨道卫星离地高度2.1万千米，根据
222Mm G m r r T π⎛⎫= ⎪⎝⎭
得
2T = 可知倾斜地球同步轨道卫星轨道半径相等，周期相等；中圆地球轨道卫星轨道半径小于静止轨道卫星的轨道半径，中圆地球轨道卫星的运行周期小于静止轨道卫星的周期，故A 正确，BD 错误；
C ．根据
2
2Mm v G m r r
= 得
v =中圆地球轨道卫星轨道半径小于静止轨道卫星的轨道半径，中圆地球轨道卫星的线速度大于静止轨道卫星的线速度，故C 错误。

故选A 。

7．A
解析：A
A ．双星圆周运动的向心力由万有引力提供，是同轴转动，角速度相等，恒星A 和恒星
B 轨道半径分别为A r 和B r ，据万有引力提供向心力
2212122A B M M G
M r M r L
ωω== 则 12A B M r M r =
因为
B A r r >
所以，A 星的质量一定大于B 星的质量，A 正确；
B ．双星圆周运动的向心力由万有引力提供，是同轴转动，角速度相等，恒星A 和恒星B 轨道半径分别为A r 和B r ，据万有引力提供向心力，对于恒星A
21212
A M M G
M r L ω= 对于恒星B 21222B M M G M r L
ω= 结合
A B L r r =+ 解得
ω=
B 错误；
C ．双星靠相互间的万有引力提供向心力，所以向心力相等，C 错误；
D ．双星系统中两颗恒星间距不变，是同轴转动，角速度相等，根据
v r ω=
因为
B A r r >
所以
A B v v <
D 错误。

故选A 。

8．C
解析：C
A ．“天问一号”在科学探测段的半长轴小于火星捕获段的半长轴，根据开普勒第三定律可知，“天问一号”在科学探测段的周期小于火星捕获段的周期，A 错误；
B ．“天问一号”从火星捕获段到火星停泊段要降低轨道做向心运动，需要在P 点朝运动方向喷气，B 错误；
C ．“天问一号”在科学探测段经过P 点时受到的火星的引力等于它在火星捕获期经过P 点时的引力大小，则“天问一号”在科学探测段经过P 点时的加速度大小等于在火星捕获期经过P 点时的加速度大小，C 正确；
D ．“天问一号”在离轨着陆段，动能逐渐增大，引力势能逐渐减小，机械能保持不变，D 错误。

故选C 。

9．D
解析：D
AB ．设地球质量为M 1，月球的公转半径为r ，由万有引力定律和牛顿第二定律得
21224MM G M r r T
π=
地球的质量M 1和月球的公转半径r 都是未知量，无法求出地球的质量M 1和月球的公转半径为r ，AB 错误； C ．月球公转的向心加速度为
2
24a r T
π=
月球的公转半径为r 未知，无法求出月球公转的向心加速度，C 错误； D ．设月球“同步卫星”的高度为h ，由万有引力定律和牛顿第二定律得
()
()2
2
24Mm
G
m R h T
R h π=++
解得
h R = D 正确。

故选D 。

10．B
解析：B
近中心天体旋转的卫星周期最小，对于近中心天体旋转的卫星，根据万有引力提供向心力可得
2
2
24πGMm m R R T
=⋅ 解得
=2T 则探测器分别围绕火星做圆周运动一周的最短时间和围绕地球做圆周运动一周的最短时间之比为
T T 火地
故选B 。

11．C
解析：C
人造卫星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，由向心力公式得
22
2224==Mm v G m r m m r ma r T r
πω== 可得
v 2GM a r
＝
ω
2T = 因为r N >r M 可得
v M >v N a M >a N ωM >ωN T M <T N
故C 正确，ABD 错误。

故选C 。

12．D
解析：D
A ．卡文迪许巧妙地运用扭秤测出引力常量，采用了放大法，故A 错误；
B ．伽利略为了说明力不是维持物体运动的原因用了理想实验法，故B 错误；
C ．在不需要考虑物体本身的形状和大小时，用质点来代替物体的方法叫理想模型法，故C 错误；
D ．在推导匀变速直线运动位移公式时，把整个运动过程划分成很多小段，每一小段近似看做匀速直线运动，然后把各小段的位移相加之和代表物体的位移，这里采用了微元法，故D 正确。

故选D 。

二、填空题 13．
2
3πGT
[1]根据万有引力提供向心力得
2
2
24GMm m R R T
解得
23
2
4R M GT π=
根据密度公式得
23
2234343
R M GT V GT R ππρπ=== 14．
24GMm R 2
8GMm
R
[1]根据万有引力定律可知
12
2
(2)4Mm GMm
F G
R R == [2]挖去部分对质点的万有引力为
22
2(2)8M m
Mm F G G
R R == 则
21222
488GMm Mm GMm
F F F
G R R R
=-
=
-= 15． 2:9 根据万有引力提供向心力，有
2
22()GMm F F m r r T
π==
=
向 得
2T = 因轨道半径之比
A B 3R R :
=:1
则他们的周期之比为
A B T T :=
又因质量之比为
A B 2m m :=:1
故它们所受向心力之比为
A B 2F F :=:9
16．5345
解析：5 3 4.5 [1]．根据2Mm
mg G
R
=可得 2
GM
g R =
则
22213
=3()24
R g M g R M =⨯⨯=星星地星地地 则
23
=7.5m/s 4
g g =
星地 [2]．物体所受摩擦力的大小为
=0.227.5N 3N f mg μ=⨯⨯=星
[3]．物体运动的加速度大小为
2123
4.5m/s 2
F f a m --=
== 17．01
解析：201 （1）令A 和B 圆周运动的半径分别为r A 和r B ，根据题意有：
r A +r B =L ①
22
222 ()()A B mM G
mr Mr L T T
ππ＝＝ ② 可得
A M
r L m M
+＝ B m
r L m M
+＝
③ 将③代入②可得周期
2T =④ （2）在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心O 不在地心，由题意知，月球做圆周运动的周期可由下式得出
12T =⑤
式中，M 和m 分别是地球与月球的质量，L 是地心与月心之间的距离。

若认为月球在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则
2
22
2Mm G
m L L T π=（） ⑥ 式中，T 2为月球绕地心运动的周期。

由⑥式得：
2 2T =⑦
由⑤⑦式得：
2211T m T M
=+（
） 代入题给数据得：
2
1
1.01T T = 18
2()GM R h + [1]设天宫二号质量为m ，万有引力提供向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律则有：
2
2()GMm mv R h R h
=++
解得线速度：
v =
[2] 万有引力提供向心力，则有：
()2
22
) (4m R h GMm
R h T
π+=+ 解得周期：
(
2T R h π=+[3]根据万有引力提供向心力得：
2
()
GMm
ma R h =+ 解得向心加速度：
2
()GM
a R h =
+
19．万有引力
解析：万有引力 23
1N
N ⎛⎫ ⎪-⎝⎭
[1].地球和行星做圆周运动所需的向心力来源于地球和行星受到的万有引力；
[2].由图可知行星的轨道半径大，那么由开普勒第三定律知其周期长．每过N 年，该行星会运行到日地连线的延长线上，说明从最初在日地连线的延长线上开始，每一年地球都在行星的前面比行星多转圆周的N 分之一，N 年后地球转了N 圈，比行星多转1圈，即行星转了N -1圈，从而再次在日地连线的延长线上．所以行星的周期是
1
N
N -年，根据开普勒第三定律有32
32 r T r T 地地行行
＝，即：
2
3 )1
(r N r N ==-行地 20．2R T π 23
2
4R GT
π 试题分析：一周的路程为2R π，所用的时间为T ，所以线速度为2R
v T
π=
根据公式22Mm v G m r r =，联立可得23
2
4R M GT
π= 考点：考查了万有引力定律的应用
点评：做本题的关键是对公式的熟练掌握，比较简单
三、解答题
21．
(1)
R R '=
(2)Δ 6.8N F = (1)设地球质量为M ，重力加速度为g ；则月球质量为181M ，重力加速度为1
6
g ；地球表面
2Mm
G
mg R
= 月球表面
21
1816
Mm G m g
R '=''
得
9
R R '=
(2)由图像得加速过程加速度大小为2
13m/s a =，减速过程加速度大小为221m/s a =；加速
上升，对月壤样品
11F mg ma '-=
减速上升，对月壤样品
22mg F ma -'=
作用力大小之差
12ΔF F F =-
得
Δ 6.8N F =
22．(1)
tan v t θ
⋅ ；(2) 0tan 2πtR v θ⋅
(1)小球做平抛运动垂直落在斜坡上，将其速度分解得
00
tan y v v v gt
θ=
= 得
tan g t v θ
=
⋅
(2)人造卫星的向心力由万有引力提供
2
2
24GMm m r r T
π= 该星球表面物体所受重力等于万有引力
2
GMm
mg R
= 当r R =时，T 最小
20
4tan 2R tR T g v πθπ⋅==
23．（1）月球的平均密度是
．
（2）飞船从轨道Ⅱ上远月点A 运动至近月点B 所用的时间为．
（3）则经
（m=1，2，3…），他们又会相距最近
（1）在圆轨道Ⅲ上的周期： T 3=
…①
由万有引力提供向心力有：
…②
又：M=
…③
联立得：=…④
（2）设飞船在轨道I 上的运动周期为T 1，在轨道I 有：…⑤
又：
…⑥
联立①②⑤⑥得：r=4R
设飞船在轨道II 上的运动周期T 2，而轨道II 的半长轴为：=2.5R…⑦
根据开普勒定律得：
…⑧
可解得：T 2=0.494T 3
所以飞船从A 到B 的飞行时间为：
（3）设飞船在轨道I 上的角速度为ω1、在轨道III 上的角速度为ω3，有：
所以
设飞飞船再经过t 时间相距最近，有： ω3t′﹣ω1t′=2mπ 所以有：t=
（m=1，2，3…）
24．(1)()3
224R h GT π+；(2)()3
233R h GT R π+；(3)()3
2224R h R T
π+
(1)卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有
()
()2
2
2(
)Mm
G
m R h T
R h π=++ 解得
()3
22
4R h M GT
π+=
(2)天体的密度
()
3
23223343()43
R h M R h GT V GT R R ππρπ++=== (3)在天体表面，重力等于万有引力，故
2
R 联立解得
23
22
4()R h g R T
π+=
25．(1)2g R G 月；；R (1)月球表面处引力等于重力，则有
2
GMm
mg R =月 可得月球的质量
2
g R M G
=月 (2)第一宇宙速度为近月卫星运行速度，由万有引力提供向心力，则有
2
12mv GMm R R
=
可得月球第一宇宙速度为
1v =(3)卫星做圆周运动，由万有引力提供向心力得
222
4GMm m r
r T π=
卫星周期为
t
T n
=
轨道半径为
r R h =+
联立解得
h R =- 26．222v R M hG =；2
38v GRh
ρπ=
根据
22v gh =
解得，该星球表面重力加速度
2
2v g h
= 又根据
2
R 可得，星球质量
22
2v R M hG
=
又由于
3=
43
M M V R ρπ=
可得，星球密度
2
38v GRh
ρπ=。