传热学-第二章-稳态热传导精讲
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均匀但各向异性材料——空心砖 细观上非均匀各向异性，但宏观上均匀且各项同性——多 孔结构介质
压制复合木板 （非均各向异性）
空心砖 （均匀各向异性）
多孔结构材料
不同物质导热系数的差异 1、气体的导热系数 气体导热：由于分子的热运动和相互碰撞传递能量
气体 0.006~0.6 W (mK)
－ T ＝e （Tw4 Te4） w n w
补充2. 界面处（不考虑接触热阻）：同时满足，温度、热流密度连续条件：
T w ＝T w
－ T n ＝－
w
T n
a.必须有温差；
b.物体直接接触；
c.依靠分子、原子及自由电子等微观粒子热运动 而传递热量；
2.热对流：由于流体的宏观运动引起的流体各部分间 发生位移，冷热掺混所导致的热量传递现象。 3.热辐射：物体通过电磁波的形式传递能量的方式称为 辐射，因热的原因发出辐射能的现象称为热辐射。
§2-1 导热基本定律
热流量的形式：
三、导热系数 （Thermal conductivity）
导热系数表征物质导热能力大小（需实验测定） 稳态法（傅里叶定律）
非稳态法
影响导热系数的因素：物质的种类、温度、湿度、压力、密度等
金属 非金属; 固相 液相 气相
不同材料的导热系数 有些天然材料（石英石、木材）和人造材料（复合板）， 其密度和导热系数沿各方向不同，属于非均各向异性材料
非稳态，常物性，无内热源：
稳态，常物性，有内热源：
稳态，常物性，无内热源：
圆柱坐标系 （r, F, z）
t r 1 t q r t q z z qr
x r cos ; y r sin ; z z
c
t 1 t t q gradt t i j k r z r
F
导入微元体的热量Qout： t F x dydz dx x x x
F z
t dxdy z z
F z dz
t F z dydx dz （3） z z z
1、几何条件：给定导热体的几何形状和大小
如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等
2、物理条件：给定导热体的物理特征
如：物性参数 、cp 和 的数值，是否随温度变化； 有无内热源、大小和分布；是否各向同性 3、时间条件：说明导热过程随着时间变化的特点
稳态导热过程不需要时间条件 — 与时间无关 对非稳态导热过程必须给出过程开始时刻导热体内的 温度分布
t 1 t 1 t t ( r ) 2 ( ) ( ) qv r r r r z z
球坐标系 （r, ，F）
t r 1 t q r 1 t q r sin qr
x r sin cos ; y r sin sin ; z r cos
微元体内热源生成热量
(4)
Qin Qout Qs U (1)
导热微分方程一般性表达式：
笛卡尔坐标系内，三维非稳态导热微分方程的一般形式
热扩散系数（thermal diffusivity）
导热系数为常数
a
[m2/s] cp
热扩散系数a反映了导热过程中材料的导热能力（ ）与沿途物质储热 能力（ cp ）之间的关系。 a值大，即 值大或（ cp） 值小，说明物体的某一部分一旦获得热量， 该热量能在整个物体中很快扩散。 a 表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋向于均匀一致的能力， 在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体内部各处的温度差别越 小。 a反应导热过程动态特性，研究非稳态导热重要物理量。
第二章
稳态热传导
Steady Heat Conduction
第二章 稳态热传导
主要内容：
1.（掌握）导热的基本定律——傅里叶定律
2.（重点掌握）导热问题的数学描述
3.（掌握）典型一维导热问题的分析解
4.（掌握）通过肋片的导热
5.（掌握）具有内热源的一维导热问题
6.（了解）多维稳态导热问题的求解
1. 导热：指同一物体各部分或温度不同的两物体间直 接接触时，依靠分子、原子及自由电子等微观粒子热 运动而进行的热量传递的现象。
导热微分方程式不适用范围——非傅里叶导热过程： 极短时间、产生极大的热流密度的热量传递现象，如激光加 工过程 极低温度(接近于0K)时的导热问题
二、定解条件
定解条件（几何，物性，初始，边界） 导热问题完整的数学描述 导热微分方程 导热微分方程描写物体的温度随时间和空间变化的关系，没有 涉及具体、特定的导热过程；是针对普适情况的通用表达式。 对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充说明条件，即 单值性条件：获得唯一解的补充条件。
§2-2 导热问题的数学描写
任务：利用傅里叶定律和能量守恒定律，建立物体中温度场与 时间、空间的变化关系式（导热微分方程 partial differential equation of heat conduction）——求解出导热体内的温度分布 导热微分方程 导热问题完整的数学描述
定解条件(几何，物性，初始，边界）
3、固体的导热系数
(1) 金属的导热系数：
纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动且 主要依靠前者
一般规律： 金属导热与导电机理一致 , 良导 电体为良导热体：
T
金属中掺入任何杂质将破坏晶格的完整性，干扰自由电子的运动
合金 纯金属
如常温下： 纯铜 398w/m K
思考：每两条相邻等温线间温差相等时，其疏密可直观反映热流密度的大小？
温度梯度：空间点r处，等温面法线方向上的温度变化率
垂直于等温面（线） 指向温度升高的方向
——各坐标轴上温度变化率与单位向量乘积的矢量叠加
热流密度：单位时间，单位面积上传递的热量。 总是通过等温面上某点指向温度降低的方向。
等温线（isotherm）：用任意一个二维截面与等温面相交得到等温线
Gr=1E6 e=0.4
源自文库
等温面与等温线的特点：
温度不同的等温面或等温线彼此不能相交 在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，它们或者是物体中 完全封闭的曲面（曲线），或者就终止与物体的边界上 物体的温度场通常用等温面或等温线表示
Qin Qout Qs U （1）
x 轴方向：
d 时间内、经 x 表面导入的热量Fx：
傅里叶定律
F x
t dydz x x
d 时间内、经 x+dx 表面导出的热量Fx+dx ：
泰勒级数：
导入微元体的热量Qin：
x dx t F x dydz x x t t F y dxdz （2） F y dy F y dxdz dy y y y y y
（3）第三类边界条件
固体壁面与周围流体进行对流传热时，给定了流体的温度和 表面传热系数，称为第三类边界条件。
t 以物体被冷却为例： n h(tw t f )
w
三类边界条件分别对应数学物理方程中的：Dirichlet，Neumann，Robin三种条件
补充1. 导热物体与外界只发生辐射传热则有：辐射边界条件
基本规律：
液体 0.07~0.7 W (mK )
T
p
McLaughlin, E., “Theory of the Thermal Conductivity of Fluids,” in R. P. Tye, Ed., Thermal Conductivity, Vol. 2, Academic Press, London, 1969.
☺ 温度是标量，但温度梯度是矢量，指向温度增加最快的方向； 热流密度是矢量，方向正好与温度梯度相反。
二、导热基本定律
1822 年，法国数学家傅里叶（ FOURIER ）在实验研究的基础 上，发现导热基本规律 —— 傅利叶定律 导热基本定律一般性表述：单位时间内通过给定截面的导热热
流量，正比于该截面的法向温度变化率（温度梯度），方向与 温升方向相反。
一、导热微分方程式 (Heat Diffusion Equation)
理论基础：傅里叶定律 + 热力学第一定律
在导热体中任取一平行六面体微 元
单位时间内，由内热源产生的能量
单位时间内，微元体热力学能净增量
热力学第一定律：
z
Q U W W 0, Q U
导入热量-导出热量+内热源发热量=系统热力学能的增量
定义：导热是由温度不同的两物体，或者同一物体中温度不同的两部分之 间，直接接触时由微观粒子的热运动而引起的能量转移过程。 本章的论述重点是建立在这一微观现象基础上的宏观现象，对导热的微观 机理的研究超出了本书的研究范围。
温度场（Temperature field）
某 时 刻 ， 空 间 所 有 点 温 度 分 布 的 集 合 ， 又 叫 温 度 分 布 （ temperature distribution）。温度场是时间和空间的函数，即：
t 1 t 1 t q gradt t i j k r r sin r
t 1 2 t 1 t 1 t c 2 ( r ) 2 ( sin ) 2 2 ( ) qv r r r r sin r sin
（2）第二类边界条件
给定物体边界上热流密度的分布及变化规律称为第二类 边界条件。 由傅里叶定律：
t q n w
n：壁面法线方向
第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界法向温度梯度值
稳态导热： q f (r )
非稳态导热：
t q0 绝热边界面（特例）： n w
q
t q f ( r , ) n w
黄铜 109w/m K 黄铜：70%Cu, 30%Zn
金属的加工过程也会造成晶格的缺陷
合金的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动；且 主要依靠后者
T
温度升高、晶格振动加强、导热增强
(2) 非金属的导热系数： 非金属的导热：依靠晶格的振动传递热量
T
0.025~3W (m C)
0 C : 空气 0.0244W (m K) ;
20 C : 空气 0.026W (m K)
分子动力学理论——气体导热系数可表示为：
cv ：气体的定容比热
c
mfp
：气体分子运动的均方根速度
：气体分子的平均自由程
：气体的密度；
2、液体的热导率
液体的导热的微观机理尚不明确
稳态温度场：温度的空间分布不随时间而改变(Steady temperature field)
非 稳 态 温 度 场 ： 温 度 的 空 间 分 布 随 时 间 而 改 变 (Transient/unsteady temperature field)
等温面与等温线
等温面（isothermal surface） ：某一时刻、温度场中所有温度相同的 点连接起来所构成的面
时间条件又称为初始条件（Initial conditions）
４、边界条件（Boundary Condition）
给出导热体边界上温度或传热情况的条件称为边界条件 边界条件一般可分为三类：第一类、第二类、第三类边界条件
（１）第一类边界条件
规定了边界上温度值称为第一类边界条件
稳态导热： tw = f (r) 非稳态导热：>0, tw = f (r,) 例： x 0, t tw1 x , t tw2
压制复合木板 （非均各向异性）
空心砖 （均匀各向异性）
多孔结构材料
不同物质导热系数的差异 1、气体的导热系数 气体导热：由于分子的热运动和相互碰撞传递能量
气体 0.006~0.6 W (mK)
－ T ＝e （Tw4 Te4） w n w
补充2. 界面处（不考虑接触热阻）：同时满足，温度、热流密度连续条件：
T w ＝T w
－ T n ＝－
w
T n
a.必须有温差；
b.物体直接接触；
c.依靠分子、原子及自由电子等微观粒子热运动 而传递热量；
2.热对流：由于流体的宏观运动引起的流体各部分间 发生位移，冷热掺混所导致的热量传递现象。 3.热辐射：物体通过电磁波的形式传递能量的方式称为 辐射，因热的原因发出辐射能的现象称为热辐射。
§2-1 导热基本定律
热流量的形式：
三、导热系数 （Thermal conductivity）
导热系数表征物质导热能力大小（需实验测定） 稳态法（傅里叶定律）
非稳态法
影响导热系数的因素：物质的种类、温度、湿度、压力、密度等
金属 非金属; 固相 液相 气相
不同材料的导热系数 有些天然材料（石英石、木材）和人造材料（复合板）， 其密度和导热系数沿各方向不同，属于非均各向异性材料
非稳态，常物性，无内热源：
稳态，常物性，有内热源：
稳态，常物性，无内热源：
圆柱坐标系 （r, F, z）
t r 1 t q r t q z z qr
x r cos ; y r sin ; z z
c
t 1 t t q gradt t i j k r z r
F
导入微元体的热量Qout： t F x dydz dx x x x
F z
t dxdy z z
F z dz
t F z dydx dz （3） z z z
1、几何条件：给定导热体的几何形状和大小
如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等
2、物理条件：给定导热体的物理特征
如：物性参数 、cp 和 的数值，是否随温度变化； 有无内热源、大小和分布；是否各向同性 3、时间条件：说明导热过程随着时间变化的特点
稳态导热过程不需要时间条件 — 与时间无关 对非稳态导热过程必须给出过程开始时刻导热体内的 温度分布
t 1 t 1 t t ( r ) 2 ( ) ( ) qv r r r r z z
球坐标系 （r, ，F）
t r 1 t q r 1 t q r sin qr
x r sin cos ; y r sin sin ; z r cos
微元体内热源生成热量
(4)
Qin Qout Qs U (1)
导热微分方程一般性表达式：
笛卡尔坐标系内，三维非稳态导热微分方程的一般形式
热扩散系数（thermal diffusivity）
导热系数为常数
a
[m2/s] cp
热扩散系数a反映了导热过程中材料的导热能力（ ）与沿途物质储热 能力（ cp ）之间的关系。 a值大，即 值大或（ cp） 值小，说明物体的某一部分一旦获得热量， 该热量能在整个物体中很快扩散。 a 表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋向于均匀一致的能力， 在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体内部各处的温度差别越 小。 a反应导热过程动态特性，研究非稳态导热重要物理量。
第二章
稳态热传导
Steady Heat Conduction
第二章 稳态热传导
主要内容：
1.（掌握）导热的基本定律——傅里叶定律
2.（重点掌握）导热问题的数学描述
3.（掌握）典型一维导热问题的分析解
4.（掌握）通过肋片的导热
5.（掌握）具有内热源的一维导热问题
6.（了解）多维稳态导热问题的求解
1. 导热：指同一物体各部分或温度不同的两物体间直 接接触时，依靠分子、原子及自由电子等微观粒子热 运动而进行的热量传递的现象。
导热微分方程式不适用范围——非傅里叶导热过程： 极短时间、产生极大的热流密度的热量传递现象，如激光加 工过程 极低温度(接近于0K)时的导热问题
二、定解条件
定解条件（几何，物性，初始，边界） 导热问题完整的数学描述 导热微分方程 导热微分方程描写物体的温度随时间和空间变化的关系，没有 涉及具体、特定的导热过程；是针对普适情况的通用表达式。 对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充说明条件，即 单值性条件：获得唯一解的补充条件。
§2-2 导热问题的数学描写
任务：利用傅里叶定律和能量守恒定律，建立物体中温度场与 时间、空间的变化关系式（导热微分方程 partial differential equation of heat conduction）——求解出导热体内的温度分布 导热微分方程 导热问题完整的数学描述
定解条件(几何，物性，初始，边界）
3、固体的导热系数
(1) 金属的导热系数：
纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动且 主要依靠前者
一般规律： 金属导热与导电机理一致 , 良导 电体为良导热体：
T
金属中掺入任何杂质将破坏晶格的完整性，干扰自由电子的运动
合金 纯金属
如常温下： 纯铜 398w/m K
思考：每两条相邻等温线间温差相等时，其疏密可直观反映热流密度的大小？
温度梯度：空间点r处，等温面法线方向上的温度变化率
垂直于等温面（线） 指向温度升高的方向
——各坐标轴上温度变化率与单位向量乘积的矢量叠加
热流密度：单位时间，单位面积上传递的热量。 总是通过等温面上某点指向温度降低的方向。
等温线（isotherm）：用任意一个二维截面与等温面相交得到等温线
Gr=1E6 e=0.4
源自文库
等温面与等温线的特点：
温度不同的等温面或等温线彼此不能相交 在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，它们或者是物体中 完全封闭的曲面（曲线），或者就终止与物体的边界上 物体的温度场通常用等温面或等温线表示
Qin Qout Qs U （1）
x 轴方向：
d 时间内、经 x 表面导入的热量Fx：
傅里叶定律
F x
t dydz x x
d 时间内、经 x+dx 表面导出的热量Fx+dx ：
泰勒级数：
导入微元体的热量Qin：
x dx t F x dydz x x t t F y dxdz （2） F y dy F y dxdz dy y y y y y
（3）第三类边界条件
固体壁面与周围流体进行对流传热时，给定了流体的温度和 表面传热系数，称为第三类边界条件。
t 以物体被冷却为例： n h(tw t f )
w
三类边界条件分别对应数学物理方程中的：Dirichlet，Neumann，Robin三种条件
补充1. 导热物体与外界只发生辐射传热则有：辐射边界条件
基本规律：
液体 0.07~0.7 W (mK )
T
p
McLaughlin, E., “Theory of the Thermal Conductivity of Fluids,” in R. P. Tye, Ed., Thermal Conductivity, Vol. 2, Academic Press, London, 1969.
☺ 温度是标量，但温度梯度是矢量，指向温度增加最快的方向； 热流密度是矢量，方向正好与温度梯度相反。
二、导热基本定律
1822 年，法国数学家傅里叶（ FOURIER ）在实验研究的基础 上，发现导热基本规律 —— 傅利叶定律 导热基本定律一般性表述：单位时间内通过给定截面的导热热
流量，正比于该截面的法向温度变化率（温度梯度），方向与 温升方向相反。
一、导热微分方程式 (Heat Diffusion Equation)
理论基础：傅里叶定律 + 热力学第一定律
在导热体中任取一平行六面体微 元
单位时间内，由内热源产生的能量
单位时间内，微元体热力学能净增量
热力学第一定律：
z
Q U W W 0, Q U
导入热量-导出热量+内热源发热量=系统热力学能的增量
定义：导热是由温度不同的两物体，或者同一物体中温度不同的两部分之 间，直接接触时由微观粒子的热运动而引起的能量转移过程。 本章的论述重点是建立在这一微观现象基础上的宏观现象，对导热的微观 机理的研究超出了本书的研究范围。
温度场（Temperature field）
某 时 刻 ， 空 间 所 有 点 温 度 分 布 的 集 合 ， 又 叫 温 度 分 布 （ temperature distribution）。温度场是时间和空间的函数，即：
t 1 t 1 t q gradt t i j k r r sin r
t 1 2 t 1 t 1 t c 2 ( r ) 2 ( sin ) 2 2 ( ) qv r r r r sin r sin
（2）第二类边界条件
给定物体边界上热流密度的分布及变化规律称为第二类 边界条件。 由傅里叶定律：
t q n w
n：壁面法线方向
第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界法向温度梯度值
稳态导热： q f (r )
非稳态导热：
t q0 绝热边界面（特例）： n w
q
t q f ( r , ) n w
黄铜 109w/m K 黄铜：70%Cu, 30%Zn
金属的加工过程也会造成晶格的缺陷
合金的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动；且 主要依靠后者
T
温度升高、晶格振动加强、导热增强
(2) 非金属的导热系数： 非金属的导热：依靠晶格的振动传递热量
T
0.025~3W (m C)
0 C : 空气 0.0244W (m K) ;
20 C : 空气 0.026W (m K)
分子动力学理论——气体导热系数可表示为：
cv ：气体的定容比热
c
mfp
：气体分子运动的均方根速度
：气体分子的平均自由程
：气体的密度；
2、液体的热导率
液体的导热的微观机理尚不明确
稳态温度场：温度的空间分布不随时间而改变(Steady temperature field)
非 稳 态 温 度 场 ： 温 度 的 空 间 分 布 随 时 间 而 改 变 (Transient/unsteady temperature field)
等温面与等温线
等温面（isothermal surface） ：某一时刻、温度场中所有温度相同的 点连接起来所构成的面
时间条件又称为初始条件（Initial conditions）
４、边界条件（Boundary Condition）
给出导热体边界上温度或传热情况的条件称为边界条件 边界条件一般可分为三类：第一类、第二类、第三类边界条件
（１）第一类边界条件
规定了边界上温度值称为第一类边界条件
稳态导热： tw = f (r) 非稳态导热：>0, tw = f (r,) 例： x 0, t tw1 x , t tw2