2023-2024学年安徽省合肥市庐江县高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年安徽省合肥市庐江县高一（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合A ＝{x |﹣1≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，则A ∪（∁R B ）＝（ ） A ．{x |x ＞1}
B ．{x |x ≥﹣1}
C ．{x |1＜x ≤2}
D ．{x |1≤x ≤2}
2．下列四组函数中f （x ）与g （x ）是同一函数的是（ ） A ．f （x ）＝2lgx ，g （x ）＝lgx 2
B ．f(x)=(1
2
)x ，g(x)=x 12
C ．f （n ）＝2n +1（n ∈Z ），g （x ）＝2x +1（x ∈R ）
D ．f （x ）＝|x |，g(x)=√x 2
3．若命题p ：1
a
＞−1，q ：a ＜﹣1，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知lga +lgb ＝0，函数f （x ）＝a x 与函数g （x ）＝﹣log b x 的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （﹣x ）＝f （x ），且函数f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，若a =f(2cos 2
3π)，b =f(log 12
4.1)，c =f(20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．a ＜c ＜b
B ．c ＜b ＜a
C ．b ＜c ＜a
D ．c ＜a ＜b
6．将函数y ＝2sin （2x +π
6）的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ）
A ．y ＝2sin （2x +π
4）
B ．y ＝2sin （2x +π
3）
C ．y ＝2sin （2x −π
4
）
D ．y ＝2sin （2x −π
3
）
7．已知常数a ＞0，函数f(x)=3x
3x +ax
经过点P(p ，85)，Q(q ，−3
5)，若3p +q ＝16pq ，则a 的值为（ ）
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
8．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a ，若cos(a 4π−θ)=1
3，则sin2θ＝（ ）
A ．−7
9
B ．−29
C ．29
D ．79
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列命题为真命题的是（ ） A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2 B ．若﹣2＜a ＜3，1＜b ＜2，则﹣4＜a ﹣b ＜2
C ．若b ＜a ＜0，m ＜0，则
m a
＞
m b
D ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd
10．德国数学家狄利克雷（1805～1859）在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x ，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄利克雷函数D （x ），即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．以下关于狄利克雷函数D （x ）的性质正确的有（ ） A ．D(√2)=0 B ．D （x ）的值域为{0，1}
C ．
D （x ）为奇函数
D ．D （x ﹣1）＝D （x ）
11．下列四个等式中正确的是（ ）
A ．tan25°+tan35°+√3tan25°tan35°=√3
B ．√3tan12°−3sin12°(4cos 212°−2)
=−4√3
C ．sin （2024π﹣θ）＝sin θ
D ．
tan15°1−tan 215°
=
√36
12．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，有f （1﹣x ）＝﹣f （1+x ），当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 2+x ﹣2，则（ ）
A ．f （x ）是以2为周期的周期函数
B ．f （x ﹣2）+f （﹣4﹣x ）＝0
C ．f （0）+f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2022）+f （2023）＝2
D ．函数y ＝f （x ）﹣log 2（x +1）有3个零点 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．命题p ：∀x ＞1，x 3＞x 2，则p 的否定是 ． 14．已知函数f （x ）＝（m 2﹣2m ﹣2）•x m ﹣2
是幂函数，且在（0，+∞）上递增，则实数m ＝ ． 15．已知正实数x ，y 满足x +2y ＝3，则
1x+1
+12y
的最小值为 ．
16．已知函数f(x)={|log 3(x −1)|，1＜x ≤4x 2−10x +25，x ＞4，若方程f （x ）＝n 有4个解分别为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1
＜x 2＜x 3＜x 4，则(
1x 1+1
x 2
)(x 3+x 4)= ． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）计算下列各式的值：
（1）(0.027)−13+√(π−3)2+21
2×√18
6
；
（2）lg 25+lg 22+lg2⋅lg25+log 25⋅log 258+e ln2．
18．（12分）已知集合A ＝{x |（x +1）（x ﹣a ）＜0}，B =[−1，√5)． （1）若a =√6，求∁R A ，A ∩B 及A ∪B ； （2）若A ⊆B ，求a 的取值范围．
19．（12分）已知函数f （x ）＝2cos x （√3sin x +cos x ）﹣1． （1）求f （x ）的周期和单调区间；
（2）若f （α）=8
5，α∈（π4，π2
），求cos2α的值．
20．（12分）某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条线段围成．设圆弧AB ̂、CD ̂所在圆的半径分别为r 1、r 2米，圆心角为θ（弧度）． （1）若θ=
2π
3
，r 1＝3，r 2＝6，求花坛的面积； （2）根据公司要求扇环形状的花坛面积为32平方米，已知扇环花坛的直线部分的装饰费用为45元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，求当装饰费用最低时线段AD 的长．
21．（12分）已知函数f(x)=log 3x ⋅log 3(3x)，函数g （x ）＝4x ﹣2x +1+2．
（1）求函数f （x ）的最小值；
（2）若∀m ∈[﹣1，2]，不等式f （x ）﹣g （m ）≥0成立，求实数x 的取值范围．
22．（12分）某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．
（1）据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？
（2）为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价x （x ≥16）元，并投入33
4（x ﹣16）
万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少0.8
(x−15)2
万瓶，
则当每瓶售价x 为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润． （提示：月总利润＝月销售总收入﹣月总成本）
2023-2024学年安徽省合肥市庐江县高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合A ＝{x |﹣1≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，则A ∪（∁R B ）＝（ ） A ．{x |x ＞1}
B ．{x |x ≥﹣1}
C ．{x |1＜x ≤2}
D ．{x |1≤x ≤2}
解：由A ＝{x |﹣1≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，所以∁R B ＝{x |x ≥1}，所以A ∪（∁R B ）＝{x |x ≥﹣1}． 故选：B ．
2．下列四组函数中f （x ）与g （x ）是同一函数的是（ ） A ．f （x ）＝2lgx ，g （x ）＝lgx 2
B ．f(x)=(1
2
)x ，g(x)=x 12
C ．f （n ）＝2n +1（n ∈Z ），g （x ）＝2x +1（x ∈R ）
D ．f （x ）＝|x |，g(x)=√x 2 解：f （x ）＝2lgx ，
则函数f （x ）的定义域为{x |x ＞0}， g （x ）＝lgx 2，
则g （x ）的定义域为{x |x ≠0}，定义域不同，不是同一函数；故A 错误；
函数f （x ）的定义域为R ，g （x ）的定义域为{x |x ≥0}，定义域不同，不是同一函数；故B 错误； 函数f （n ）的定义域为Z ，g （x ）的定义域为R ，定义域不同，不是同一函数，故C 错误；
f （x ）＝|x |，
g （x ）=√x 2=|x |，二者的解析式相同，定义域相同，映射关系相同，值域相同，故是同一函数，故D 正确． 故选：D ．
3．若命题p ：1
a
＞−1，q ：a ＜﹣1，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解：由p ：1
a
＞−1解得a ＜﹣1或a ＞0，
q ：a ＜﹣1，∴可知（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）⫌（﹣∞，﹣1）， ∴p 是q 的必要不充分条件． 故选：B ．
4．已知lga +lgb ＝0，函数f （x ）＝a x 与函数g （x ）＝﹣log b x 的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
解：∵lga +lgb ＝0，∴ab ＝1则b =1
a
，
从而g （x ）＝﹣log b x ＝log a x ，f （x ）＝a x 与g （x ）＝log a x 的图象关于y ＝x 对称， ∴函数f （x ）与函数g （x ）的单调性是在定义域内同增同减，结合选项可知选B ， 故选：B ．
5．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （﹣x ）＝f （x ），且函数f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，若a =f(2cos 2
3π)，b =f(log 12
4.1)，c =f(20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．a ＜c ＜b
B ．c ＜b ＜a
C ．b ＜c ＜a
D ．c ＜a ＜b
解：根据题意，函数f （x ）满足f （﹣x ）＝f （x ），则函数f （x ）为偶函数， a ＝f （2cos 2π3）＝f （2cos π
3）＝f （1），b ＝f （log 12
4.1）＝f （log 24.1）c ＝f （20.8），
又由函数f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，则f （x ）在（0，+∞）上为增函数， 且1＜20.8＜2＜log 24.1，则a ＜c ＜b ； 故选：A ．
6．将函数y ＝2sin （2x +π
6）的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ）
A ．y ＝2sin （2x +π
4）
B ．y ＝2sin （2x +π
3）
C ．y ＝2sin （2x −π
4
）
D ．y ＝2sin （2x −π
3
）
解：函数y ＝2sin （2x +π6）的周期为T =2π
2
=π，
由题意即为函数y ＝2sin （2x +π
6）的图象向右平移π4个单位，
可得图象对应的函数为y ＝2sin[2（x −π4）+π
6]，
即有y ＝2sin （2x −π
）．
故选：D ．
7．已知常数a ＞0，函数f(x)=3x
3x +ax
经过点P(p ，85)，Q(q ，−3
5)，若3p +q ＝16pq ，则a 的值为（ ）
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
解：因为f(x)=3x
3x +ax =1
1+ax 3
x
． f （p ）=3p
3p +ap =11+ap
3
p =8
5，即ap 3p =−38， f （q ）=
3q 3q +aq =11+aq 3q =−3
5，即aq 3q =−83
， 两式相乘得
a 2pq 3p +q
=1，所以a 2pq ＝3P +q ，
又因为3p +q ＝16pq ，a ＞0，所以a 2＝16，解得a ＝4． 故选：C ．
8．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a ，若cos(a 4π−θ)=1
3，则sin2θ＝（ ）
A ．−7
9
B ．−29
C ．29
D ．79
解：由题意，任取数字2023，经过一步变为314，经过第二步变为123，再变为123，再变为123， 所以数字黑洞为123，即a ＝123，
代入cos(a 4π−θ)=cos(1234π−θ)=cos(34π−θ)=√22sinθ−√22cosθ=1
3
，
所以sinθ−cosθ=
√2
3
，
两边同时平方得：1−2sinθcosθ=1−sin2θ=2
9，
所以sin2θ=7
9
，
故选：D ．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列命题为真命题的是（ ） A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2 B ．若﹣2＜a ＜3，1＜b ＜2，则﹣4＜a ﹣b ＜2
C ．若b ＜a ＜0，m ＜0，则
m a
＞
m b
D ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd
解：对于A ，c ＝0时，显然错误，
对于B ，∵﹣2＜a ＜3，1＜b ＜2，∴﹣2＜a ＜3，﹣2＜﹣b ＜﹣1，∴﹣4＜a ﹣b ＜2，故B 正确， 对于C ，∵b ＜a ＜0，m ＜0，∴1a ＜1b ＜0，∴m a ＞m
b
，故C 正确，
对于D ，令a ＝﹣1，b ＝﹣2，c ＝2，d ＝1，显然错误， 故选：BC ．
10．德国数学家狄利克雷（1805～1859）在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x ，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄利克雷函数D （x ），即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．以下关于狄利克雷函数D （x ）的性质正确的有（ ） A ．D(√2)=0 B ．D （x ）的值域为{0，1}
C ．
D （x ）为奇函数
D ．D （x ﹣1）＝D （x ）
解：由题意可得狄利克雷函数D （x ）={1，x ∈Q
0，x ∈∁R Q ，
选项A ：因为√2为无理数，则D （√2）＝0，故A 正确，
选项B ：由函数的解析式可得狄利克雷函数D （x ）的值域为{0，1}， 选项C ：因为函数值0与1不关于原点对称，故C 错误，
选项D ：若x 为有理数，则x ﹣1也为有理数，所以D （x ﹣1）＝D （x ）＝1， 若x 为无理数，则x ﹣1为无理数，所以D （x ﹣1）＝D （x ）＝0，故D 正确， 故选：ABD ．
11．下列四个等式中正确的是（ ）
A ．tan25°+tan35°+√3tan25°tan35°=√3
B ．
√3tan12°−3
sin12°(4cos 212°−2)
=−4√3
C ．sin （2024π﹣θ）＝sin θ
D ．
tan15°1−tan 215°
=
√36
解：tan25°+tan35°+√3tan25°tan35°
=tan(25°+35°)(1−tan25°tan35°)+√3tan25°tan35°=√3，故A 正确； √3tan12°−3sin12°(4cos 212°−2)=√3sin12°
cos12°−32sin12°⋅cos24°=√3sin12°−3cos12°2sin12°⋅cos12°cos24°
=2√3(12sin12°−√
32cos12°)sin24°cos24°=4√3sin(12°−60°)2sin24°cos24°=4√3sin(−48°)sin48°
=−4√3，故B 正确；
根据诱导公式知sin （2024π﹣θ）＝﹣sin θ，故C 错误； tan15°1−tan 215°
=
12
×
2tan15°1−tan 215°
=
12
×tan30°=
√3
6
，故D 正确． 故选：ABD ．
12．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，有f （1﹣x ）＝﹣f （1+x ），当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 2+x ﹣2，则（ ）
A ．f （x ）是以2为周期的周期函数
B ．f （x ﹣2）+f （﹣4﹣x ）＝0
C ．f （0）+f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2022）+f （2023）＝2
D ．函数y ＝f （x ）﹣log 2（x +1）有3个零点
解：已知f （x ）为偶函数，且f （1+x ）＝﹣f （1﹣x ），又1−x+1+x 2
=1，即f （x ）关于（1，0）对称，
则f （x +4）＝f （1+x +3）＝﹣f （1﹣（x +3））＝﹣f （﹣2﹣x ）
＝﹣f （﹣（2+x ））＝﹣f （2+x ）＝﹣f （1+1+x ）＝f （1﹣（1+x ））＝f （﹣x ）＝f （x ）， 所以f （x ）是周期为4的周期函数，故A 错误； 因为f （x ）的周期为4，f （x ）关于（1，0）对称，
所以 （﹣3，0）是函数 f （x ） 的一个对称中心，则 f （x ﹣2）+f （﹣4﹣x ）＝0成立，故B 正确； 因为f （x ）的周期为4，且f （0）+f （1）+f （2）+f （3）＝0，
f （0）+f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2022）+f （2023）＝0，故C 错误； 作出函数f （x ）与y ＝lo
g 2（x +1）的图象，易得两个函数有3个交点，
所以函数y ＝f （x ）﹣log 2（x +1）有3个零点，故D 正确． 故选：BD ．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．命题p ：∀x ＞1，x 3＞x 2，则p 的否定是 ∃x 0＞1，x 03≤x 02 ． 解：命题p ：∀x ＞1，x 3＞x 2的否定是：∃x 0＞1，x 03≤x 02
． 故答案为：∃x 0＞1，x 03≤x 02．
14．已知函数f （x ）＝（m 2﹣2m ﹣2）•x m
﹣2
是幂函数，且在（0，+∞）上递增，则实数m ＝ 3 ．
解：由题意得m 2﹣2m ﹣2＝1，解得m ＝3或﹣1，
当m ＝3时，f （x ）＝x ，在（0，+∞）上递增，满足要求， 当m ＝﹣1时，f （x ）＝x ﹣
3，在（0，+∞）上递减，不合要求，
故m ＝3． 故答案为：3．
15．已知正实数x ，y 满足x +2y ＝3，则
1x+1
+
12y
的最小值为 1 ．
解：因为正实数x ，y 满足x +2y ＝3，所以（x +1）+2y ＝4， 所以
1x+1
+
12y
=
1
4(
1
x+1
+
12y
)[(x +1)+2y]=
14
(2+
2y x+1
+
x+12y
)≥
14
(2+√
2y x+1
⋅
x+12y
)=1，
当且仅当2y x+1
=
x+1
2y
，即x ＝y ＝1时取等号， 所以
1x+1
+
1
2y
的最小值为1．
故答案为：1．
16．已知函数f(x)={|log 3(x −1)|，1＜x ≤4
x 2
−10x +25，x ＞4，若方程f （x ）＝n 有4个解分别为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1
＜x 2＜x 3＜x 4，则(
1x 1+1
x 2
)(x 3+x 4)= 10 ． 解：作出函数f （x ）的大致图象，如下：
可知，0＜n ＜1且当1＜x ≤4时，|log 3（x ﹣1）|＝n 有2个解x 1，x 2； log 3（x 1﹣1）＝﹣n ，log 3（x 2﹣1）＝n ， 得x 1=3
−n
+1，x 2=3n
+1，∴
1x 1
+
1x 2
=
13−n +1
+
13n +1
=
13n +1
+
3n 1+3n
=1；
当x ＞4时，由x 2﹣10x +21＝n 有2个解x 3，x 4，根据图象的对称性，得x 3+x 4＝10． ∴(
1x 1+1
x 2
)(x 3+x 4)=1×10=10． 故答案为：10．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）计算下列各式的值：
（1）(0.027)−1
3+√(π−3)2+2
1
2×√
1
8
6
；
（2）lg25+lg22+lg2⋅lg25+log25⋅log258+e ln2．
解：（1）(0.027)−1
3+√(π−3)2+2
1
2×√
1
8
6
=（
1000
27
）
1
3+π﹣3+2
1
2×(
1
2
)
1
2=
10
3
+π−3+1=
4
3
+π；
（2）lg25+lg22+lg2⋅lg25+log25⋅log258+e ln2=l g25+lg22+2lg2•lg5+lg5
lg2⋅
3lg2
2lg5
+2＝（lg2+lg5）
2+3
2+2=
9
2
．
18．（12分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣a）＜0}，B=[−1，√5)．
（1）若a=√6，求∁R A，A∩B及A∪B；
（2）若A⊆B，求a的取值范围．
解：（1）当a=√6时，A＝{x|（x+1）（x−√6）＜0}＝{x|﹣1＜x＜√6}，
则∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥√6}，所以A∩B＝{x|﹣1＜x＜√5}，A∪B＝{x|﹣1≤x＜√6}．（2）当a＝﹣1时，A＝∅，显然A⊆B成立；
当a＜﹣1时，A＝（a，﹣1），显然A⊆B不成立；
当a＞﹣1时，A＝（﹣1，a），
因为A⊆B，B＝[﹣1，√5），所以a≤√5，即此时−1＜a≤√5．
综上，a的取值范围是{a|−1≤a≤√5}．
19．（12分）已知函数f（x）＝2cos x（√3sin x+cos x）﹣1．
（1）求f（x）的周期和单调区间；
（2）若f（α）=8
5
，α∈（
π
4
，
π
2
），求cos2α的值．
解：（1）∵f（x）＝2cos x（√3sin x+cos x）﹣1=√3sin2x+cos2x+1＝2sin（2x+π
6），
∴T=2π
2
=π；
∴令2kπ−π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
，k∈Z，解得：kπ−
π
3
≤x≤kπ+
π
6
，k∈Z，可得f（x）的单调递增区间为[kπ−
π
3
，
kπ+π
6
]，k∈Z，
令2kπ+π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
3π
2
，k∈Z，解得：kπ+
π
6
≤x≤kπ+
2π
3
，k∈Z，可得f（x）的单调递减区间为[kπ+
π
6
，
kπ+2π
3
]，k∈Z，
（2）∵f（α）＝2sin（2α+π
6
）=
8
5
，
∴可得sin（2α+π
6
）=
4
5
，
∵α∈(π4，π2)，可得2α+π6∈（2π3，7π6
）， ∴cos （2α+π6）=−√1−sin 2(2α+π6)=−35
， ∴cos2α＝cos （2α+π6−π6）＝cos （2α+π6）cos π6+sin （2α+π6）sin π6=−35×√32+45×12=4−3√310
． 20．（12分）某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和
延长后通过点O 的两条线段围成．设圆弧AB ̂、CD ̂所在圆的半径分别为r 1、r 2米，圆心角为θ（弧度）．
（1）若θ=2π3
，r 1＝3，r 2＝6，求花坛的面积； （2）根据公司要求扇环形状的花坛面积为32平方米，已知扇环花坛的直线部分的装饰费用为45元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，求当装饰费用最低时线段AD 的长．
解：（1）设花坛的面积为S ，则S =12r 22θ−12r 12θ=12×36×2π3−12×9×2π3
=9π 答：花坛的面积为9π（m 2）
（2）AB
̂的长为r 1θ米，CD ̂的长为r 2θ米，线段AD 的长为（r 2﹣r 1）米 由题意知S =12r 22θ−12r 12θ=12
（r 1θ+r 2θ）（r 2﹣r 1）＝32， 则r 1θ+r 2θ=64r 2−r 1
， 记r 2﹣r 1＝x ，则x ＞0，装饰总费用为y ，
则y ＝45×2（r 2﹣r 1）+90（r 1θ+r 2θ）＝90（x +64x
），（0＜x ＜10） 用定义法可证明y 关于x 在（0，8]单调递减，在[8，+∞）单调递增，
所以当x ＝8时，y 有最小值为1440，
故当线段AD 的长为8米时，花坛的装饰费用最小．
21．（12分）已知函数f(x)=log 3x 9
⋅log 3(3x)，函数g （x ）＝4x ﹣2x +1+2． （1）求函数f （x ）的最小值；
（2）若∀m ∈[﹣1，2]，不等式f （x ）﹣g （m ）≥0成立，求实数x 的取值范围．
解：（1）f(x)=log 3x 9⋅log 3(3x)=(log 3x −2)(log 3x +1)=(log 3x)2−log 3x −2=(log 3x −12)2−94
，
∴显然当log 3x =12，即x =√3时，f(x)min =−94
， ∴f （x ）的最小值为−94
； （2）∵∀m ∈[﹣1，2]，使不等式f （x ）﹣g （m ）≥0成立，
∴f （x ）≥g （m ）max ，又g （x ）＝4x ﹣2x +1+2＝（2x ﹣1）2+1，
∴g （m ）＝（2m ﹣1）2+1，
又m ∈[﹣1，2]，显然当m ＝2时，g(m)max =(22−1)2+1=10，
∴有f （x ）≥10，即(log 3x)2−log 3x −2≥10，
可得（log 3x ﹣4）（log 3x +3）≥0，
∴log 3x ≤﹣3或log 3x ≥4，解得0＜x ≤
127或x ≥81， 故实数x 的取值范围为（0，127
]∪[81，+∞）． 22．（12分）某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．
（1）据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？
（2）为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价x （x ≥16）元，并投入334
（x ﹣16）万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少0.8(x−15)2
万瓶，则当每瓶售价x 为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．
（提示：月总利润＝月销售总收入﹣月总成本）
解：（1）设饮料每瓶售价为a 元，
由题意得[8﹣0.8（a ﹣15）]（a ﹣10）≥（15﹣10）×8，即a 2﹣35a +300≤0，解得15≤a ≤20， 故饮料每瓶售价最多为20元；
（2）每瓶售价x （x ≥16）元，设下月总利润为W ，则每瓶利润为（x ﹣10）元，月销售量为8−
0.8(x−15)2•（x ﹣15）＝（8−0.8x−15
）万瓶， 由题意得W ＝（x ﹣10）（8−
0.8x−15）−334（x ﹣16）=−14x −4x−15+51.2=−14[（x ﹣15）+16x−15]+47.45（x ≥16），
∵x ≥16，则x ﹣15≥1，
∴（x ﹣15）+16x−15≥2√(x −15)⋅16x−15=8，当且仅当x ﹣15=16x−15
，即x ＝19时，等号成立，
∴W=−1
4
[（x﹣15）+16
x−15
]+47.45≤−1
4
×8+47.45＝45.45，
故当每瓶售价x为19元时，下月的月总利润最大，且下月的最大总利润为45.45万元．。