上饶师范学院试卷(B卷答案及评分标准)

上 饶 师 范 学 院 试 卷 （ B 卷答案及评分标准）
课程名称：《概率论》 适用学期：第 五 学期 适用专业：数学与应用数学 适用层次：本科（师范）
一、填空题（8×3分=24分）
1． 设A 、B 、C 是三事件且P(A)=P(B)=P(C)=
5
1, P(AB)=P(BC)=P(AC)=8
1, P(ABC)=
16
1
则P(A ⋃B ⋃C)= 23/80 , P(A B C )= 57/80 。

2． 在三次独立试验中，事件A 出现的概率相等。

若已知A 出现一次的概率为
27
19，则事件
A 在一次试验中出现的概率为 。

3． 在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于
5
6”的概率为 17/25 。

4． 设ξ服从均值为10，均方差0.02的正态分布，,21)(2
2
du e
x u
x
-∞
-⎰
=
Φπ
)5.2(Φ=0.9938，
则ξ落在区间（9.95，10.05）内的概率为 2)5.2(Φ—1 = 0.9976 。

5． 设随机变量ξ服从[0，2]上的均匀分布，则2
)
(ξξE D = 1/3 。

6． 有朋友从远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4。

如
果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别为
4
1，
3
1，
12
1，而乘飞机不会迟到。

结果他迟到了。

则他是乘火车来的概率是 0.15 。

7． 设随机变量ξ服从λ的泊松分布，且P(ξ=2)=P(ξ=4) ，则λ= 12 。

8． 某射手每次击中目标的概率为0.29，今进行多次试验，每次试验为连续射击10次，则每次试验的平均击中次数为 3 。

二、选择题（5×3分=15分）
9．若事件A 和B 同时出现的概率P(AB)=0，则 （ B ）
(A) AB 为不可能事件 (B) AB 未必是不可能事件
(C) A 和B 不相容 (D) P(A)=0 或 P(B)=0
10．设A ，B 是两个随机事件，若当B 发生是A 必发生，则定有（ ）
(A) P (AB) = P (A) (B) P (A+B) = P (A) (C) P (B|A) = 1 (D) P (B|A) =P (A)
11．设ξ为随机变量，且E ξ=－2，D ξ= 4，则E[3（ξ
2
+2）]=（ C ）
(A) 9 (B) －6 (C) 30 (D) 42
12．设随机变量ξ～⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛b a
4
16
14321，则a ，b 分别等于 （ D ） (A) a=6
1 ，b=4
1 (B) a=
121 ，b= 125 (C) a=
12
1 ，b= 15
2 (D) a=
4
1 ，b=
3
1
13 设随机变量ξ～)(x ϕ=2
)
2(2
21+-x e π
，且P(ξc ≤)=P(ξc ≥)，则C=( C )
(A) 2 (B) 0 (C) －2 (D) 无法确定
三、判断对错并说明理由（5×3分=15分）
14．对于同时投掷甲、乙两枚硬币的试验。

若记A=“甲、乙硬币均正面朝上”，则其对立事件A =“甲、乙硬币都不是正面朝上”。

解：不正确：A =“甲、乙两枚硬币至少有一枚反面朝上” 15“事件A 、B 、C 两两互不相容”与“ABC=φ”是一回事。

解：不正确：“事件A 、B 、C 两两互不相容”可以推出“ABC=φ”，但“ABC=φ”不能推
出“事件A 、B 、C 两两互不相容”。

16．函数 F （x ）=⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤≤<1
1100
2
x x x
x 和F （x ）=π
2
arctgx ，－ωω<<x
都可作为某一随机变量的分布函数。

解：不正确：第一个是，但第二个不是，一1<F （x ）=π
2
arctgx<1,而 F(x)是非负的。

17．随机变量独立和不相关是相互等价的一组概念。

解：不正确：随机变量独立可以推出不相关，但不相关不一定得到随机变量独立。

18．对于任意的随机变量ξ，E ξ，E ξ2
都存在，则E ξ
2
≥2
)(ξE 。

解：正确：由于D ξ= E ξ2
— 2
)(ξE ≥0，则E ξ2
≥2
)(ξE 。

四．计算题（ 共40分）
19．设随机向量（ξ，η）的联合分布律如下，（1）求ξ的边缘分布律；（2）求ξ+η的分布律；（3）求E （ξ·η） ；（4）P （ξ－η≥3）(10分)
解：（1）ξ的边缘分布律为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4/18/34/18
/14321
（2分） （2）ξ+η的分布律为⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛8/116
/116
/38
/14
/18
/18
/18765432
（3分） （3）E （ξ·η）=1⨯1⨯1/8 + 2⨯1⨯1/8 +2⨯2⨯1/8 +3⨯1⨯1/8 +3⨯2⨯1/8 +3⨯3⨯1/8
+4⨯2⨯1/16 + 4⨯3⨯1/16 + 4⨯4⨯1/8=51/8 （3分）
（4）P （ξ－η≥3）= 1/8 （2分） 20 设ξ和η是独立的随机变量，分别具有密度函数
p ξ(x)=⎩⎨
⎧≤>-00
x x e x
λλ p η(y)= ⎩⎨⎧<≥-0
0x x e x
μμ。

(其中λ>0，μ>0)，求随机变量ζ=ξ+η的概率密度。

（10分） 解：
21．设随机变量（ξ，η）具有概率密度p (x ，y)=⎪⎩
⎪
⎨
⎧≤≤≤≤+其它。

02
02
0)
(y x y x k ，
求（1）确定k ，（2）E ξ ，（3）Cov(ξ，η)，（4）D （ξ+η），（5）ξηρ。

（12分） 解：（1）由f (x ，y)在区域G ：0<x<2, 0<y<2上积分为1，得k=1/8 （2分）
（2）由f (x ，y)在G ：0<x<2, 0<y<2上不等于0. 从而E ξ=⎰⎰
=
+2
2
7
6)(8
1dy y x dx （2分）
（3）E ξ
2
=3
5)(8
2
2
20
=
+⎰
⎰dy y x x
dx , E ξη=⎰
⎰=
+2
20
3
4)(8
dy y x xy dx (2 分)
由ξ和η的对称性有E ξ=E η=7/6, E η
2
= E ξ
2
=5/3, 且D η=D ξ=11/36, (2 分)
从而Cov(ξ,η)=36
1-
(1 分) , （4） D(ξ+η)=D ξ+ξη+2Cov(ξ,η)=
9
5 (1 分)
（5） ξηρ=
11
1),(-=η
ξ
ηξD D Cov (2 分)
22．在一家保险公司的老年人保险一年有10 000个人参加保险，每人每年付40元保险费。

在一年内一个人死亡的概率为0.017，死亡时其家属可向保险公司领得2000元，试计算在这次保险中保险公司亏本的概率多大？已知Φ（2.321）=0.986 （8分）
解：保险公司一年的保险总数400 000元，设在一年内死亡人数为随机变量ξ，在这次保险中保险公司亏本时，当且仅当2000ξ>400 000， 即ξ>200，(4分) 从而在这次保险中保险公司亏本的概率为 P （ξ>200）= P （
983
.017030983
.0170170⨯>
⨯-ξ）≈1－ )321.2(Φ=0.014 （4分）
四．证明题（6分）
23．设 {}n ξ为相互独立的随机变量序列，P （n ξ=±2n ）= )
12(2
1+n ，P （n ξ=0）=1－
n
22
1，
n=1，2，…，证明{}n ξ服从大数定理。

解：E n ξ= 2n ⨯
)
12(21+n －2n ⨯)
12(21+n +0⨯（1－
n
22
1）=0，
D n ξ= 2n 2⨯)
12(2
1
+n +2n 2⨯
)
12(2
1
+n =1。

（2分）
令n η =
∑=n
i i
n
1
1ξ
，n=1,2, ，则E n η=0，D n η=1/n ，对任意的,0>ε由切比雪夫不等
式可知P （|n η—E n η|< ε）≥12
1ε
n -。

故有 ∞
→n lim （|n η—E n η|< ε）=1。

即{}n ξ服从大
数定理。

（4分）。