兰州市名校2020年高二(下)数学期末统考试题含解析

兰州市名校2020年高二(下)数学期末统考试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（ ）
A ．221x y x =--
B ．2sin y x x =
C ．ln x y x =
D ．()22x
y x x e -= 【答案】D
【解析】
【分析】 对B 选项的对称性判断可排除B. 对C 选项的定义域来看可排除C ，对A 选项中，2x =-时，计算得0y <，可排除A ，问题得解．
【详解】
Q 2sin y x x =为偶函数，其图象关于y 轴对称，∴排除B.
Q 函数ln x y x
=的定义域为{}011x x x <或，∴排除C . 对于221x y x =--，当2x =-时，()222210y -=---<，∴排除A
故选D
【点睛】
本题主要考查了函数的对称性、定义域、函数值的判断与计算，考查分析能力，属于中档题． 2．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A ：“甲骰子的点数大于4”；事件B ：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则()P B A 的值等于（ ）
A ．13
B ．118
C ．16
D ．19
【答案】C
【解析】
本小题属于条件概率所以事件B 包含两类：甲5乙2;甲6乙1;所以所求事件的概率为21266P ==⨯ 3．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于4”为事件A ，“两颗骰子的点数之和等于7”为事件B ，则(|)P B A =（ ）
A ．13
B ．16
C ．19
D ．112
【分析】
(|)P B A 为抛掷两颗骰子，红骰子的点数小于4同时两骰子的点数之和等于7的概率，利用公式()
()(|)=n AB P B A n A 求解即可．
【详解】
解：由题意，(|)P B A 为抛掷两颗骰子，红骰子的点数小于4时两骰子的点数之和等于7的概率． Q 抛掷两颗骰子，红骰子的点数小于4，基本事件有1863=⨯个，红骰子的点数小于4时两骰子的点数之和等于7，基本事件有3个，分别为（1，6），（2，5），（3，4），
1(|)1836
P B A ∴==． 故选：B ．
【点睛】
本题考查条件概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
4．已知函数1()ln x f x x ax -=
+，若函数()f x 在[1∞,+）上为增函数，则正实数a 的取值范围为（） A ．()1,+∞
B ．[1,)+∞
C ．()0,1
D ．(01]，
【答案】B
【解析】
【分析】
求f （x ）的导数f ′（x ），利用f ′（x ）判定f （x ）的单调性，求出f （x ）的单调增区间，即得正实数a 的取值范围．
【详解】 ∵f （x ）1x ax
-=
+lnx （a ＞0）， ∴f ′（x ）2
1ax ax -=（x ＞0）， 令f ′（x ）＝0，得x 1a
=， ∴函数f （x ）在（0，1a ]上f ′（x ）≤0，在[1a
，+∞）上f ′（x ）≥0， ∴f （x ）在（0，1a ]上是减函数，在[1a ，+∞）上是增函数； ∵函数f （x ）在区间[1，+∞）内是增函数， ∴1a
≤1，又a ＞0，∴a ≥1， ∴实数a 的取值范围是[1，+∞）；
本题考查了利用导数来研究函数的单调性问题，解题时应根据导数的正负来判定函数的单调性，利用函数的单调区间来解答问题，是中档题．
5．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x 和y 进行统计分析时，得到如表数据．由表中数据求得y 关
于x 的回归方程为0.6ˆ5ˆy
x a =+，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（ ）
A ．25
B ．35
C ．34
D ．12
【答案】A 【解析】
分析：求出样本点的中心，求出$a
的值，得到回归方程得到5个点中落在回归直线下方的有（6283，），（，）
，共2个，求出概率即可． 详解：8 3.4x y ==Q ，，
故3.40.658ˆa
=⨯+，解得：ˆ 1.8a =-， 则^y 0.65x 1.8=-
故5个点中落在回归直线下方的有6283，），（，）
，共2个， 故所求概率是25p =
， 故选A ．
点睛：本题考查了回归方程问题，考查概率的计算以及样本点的中心，是一道基础题．
6．函数()(1)e x f x x =-有( )
A ．最大值为1
B ．最小值为1
C ．最大值为e
D ．最小值为e
【答案】A
【解析】
【分析】
对函数进行求导，判断出函数的单调性，进而判断出函数的最值情况.
【详解】
解:()e (1)e e x x x f x x x '=-+-=-，当0x <时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '<，
()f x ∴在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，
()f x ∴有最大值为(0)1f =，故选A.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数最值问题，对函数的导函数的正负性的判断是解题的关键.
7．sin cos y x x =是（ ）
A ．最小正周期为2π的偶函数
B ．最小正周期为2π的奇函数
C ．最小正周期为π的偶函数
D ．最小正周期为π的奇函数 【答案】D
【解析】
【分析】 整理1sin cos sin 22y x x x ==
,即可判断选项. 【详解】
由题,因为1sin cos sin 22
y x x x ==, 所以该函数是奇函数,周期为22T ππ=
=, 故选:D
【点睛】
本题考查三角函数的奇偶性和周期性的判定,考查正弦的二倍角公式的应用.
8．若函数f(x)=
21x a x ++(a ∈R)是奇函数，则a 的值为（ ） A ．1
B ．0
C ．－1
D ．±1 【答案】B
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质，利用()00f =，代入即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，函数()21
x a f x x +=+是定义域R 上的奇函数， 根据奇函数的性质，可得()00f =，
代入可得()200001
a f +=
=+，解得0a =，故选B. 【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性的应用，其中解答中熟记奇函数的性质()00f =是解答的关键，着重考查
了推理与运算能力，属于基础题.
9．空间四边形OABC 中，OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r
，点M 在线段AC 上，且2AM MC =，点N 是OB 的中点，则MN =u u u u r （ ）
A ．212323a b c +-r r r
B ．212323
a b c -+r r r C ．112323a b c -+-r r r D ．111323a b c +-r r r 【答案】C
【解析】
分析：由空间向量加法法则得到MN MO ON MA AO ON =+=++u u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，由此能求出结果． 详解：由题空间四边形OABC 中，OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，点M 在线段AC 上，且2AM MC =，
点N 是OB 的中点，则()
221,,332
MA CA OA OC ON OB ==-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v MN MO ON MA AO ON =+=++u u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ()2132
a c a
b =--+v v v v 112 .323
a b c =-+-r r r 故选C.
点睛：本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
10．某产品的销售收入1y （万元）关于产量x （千台）的函数为)10y x =>；生产成本2y （万元）
关于产量x （千台）的函数为)2203y x =
>，为使利润最大，应生产产品( ) A ．9千台
B ．8千台
C ．7千台
D ．6千台 【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意得到利润关于产量的函数式，再由导数求得使利润最大时的产量，即可求解出答案。

【详解】
设利润为y 万元，则)
12203y y y x =-=>，y '=， 令0y '>，得08x <<，令0y '<，得8x >，
∴当8x =时，y 取最大值，故为使利润最大，应生产8千台．选B.
【点睛】
本题主要考查了利用导数的性质求函数的最值来解决实际问题。

11．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()ln f x x =，记12a f ⎛⎫⎛ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
12b f ⎛⎫⎫=-⎪ ⎪⎭⎝
⎭，()3c f =，则,,a b c 的大小关系为( ) A ．c b a >>
B ．b c a >>
C ．b a c >>
D ．a b c >> 【答案】A
【解析】 分析：根据x ＞0时f （x ）解析式即可知f （x ）在（0，+∞）上单调递增，由f （x ）为奇函数即可得出
()
b f =，然后比较1()32，和的大小关系，根据f （x ）在（0，+∞）上单调递增即可比较出a ，b ，
c 的大小关系．
详解：x ＞0时，f （x ）=lnx ；
∴f （x ）在（0，+∞）上单调递增；
∵f （x ）是定义在R 上的奇函数；
1122b f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()
f ；
12＜＜，10(12
＜； ∴
10()32
＜＜；
∴()
()
1
(32f f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜＜； ∴a ＜b ＜c ；
即c ＞b ＞a ．
故选A ．
点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．
12．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ
，若(3)0.84P ξ=…，则(1)P ξ=…（ ） A ．0.16
B ．0.32
C ．0.68
D ．0.84
【答案】A
【解析】
【分析】
利用正态分布曲线关于2x =对称进行求解.
()22,N ξσQ ～，∴正态分布曲线关于2x =对称，(1)(3)P P ξξ≤=≥∴，
(3)1(3)10.840.16P P ξξ≥=-≤=-=Q ，∴(1)P ξ=…0.16.
【点睛】
本题考查正态分布，考查对立事件及概率的基本运算，属于基础题.
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．某小镇对学生进行防火安全教育知晓情况调查，已知该小镇的小学生、初中生、高中生分别有1400
人、1600人、800人，按小学生抽取70名作调查，进行分成抽样，则在初中生中的抽样人数应该是________
【答案】80
【解析】
【分析】
根据小学生抽取的人数计算抽取比例，再根据这个比例求初中生中需抽取的人数.
【详解】 解：由题可知抽取的比例为701140020=， 故初中生应该抽取人数为116008020N =⨯=. 故答案为：80.
【点睛】
本题考查基本的分层抽样，解决分层抽样的关键是抓住各层抽取的比例相等，属基本题.
14．函数()ln f x x x =-的单调递增区间是 ．
【答案】()1,+∞
【解析】
试题分析：因为1()101f x x x
'=-
>⇒>，所以单调递增区间是()1,+∞ 考点：导数应用
15．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为60︒和30︒，如果这时气球的高是30米，则河流的宽度BC 为______米.
【答案】3
【分析】
由题意画出图形，利用特殊角的三角函数，可得答案．
【详解】
解：由题意可知30C ∠=︒，30BAC ∠=︒，30DAB ∠=︒，30AD m =， 30203cos30BC AB ∴===︒．
故答案为203.
【点睛】
本题给出实际应用问题，着重考查了三角函数的定义，属于简单题．
16．已知函数()1
3,01(),03
x x x f x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则()27f f ⎡⎤--=⎣⎦______． 【答案】127
. 【解析】
【分析】
由题设条件，先求出()273f -=-，()()273f f f ⎡⎤--=⎣⎦．
【详解】
由题()1
3,01,03x x x f x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭
⎩，可得()()1327273,f -=-=- 则()()311273.327f f f ⎛⎫⎡⎤--=== ⎪⎣⎦⎝⎭ 即答案为
127
【点睛】
本题考查分段函数的函数值求法，解题时要认真审题，仔细解答，是基础题．
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知sin 3cos 0,27,2A A a b +===.
（1）求角A 和边长c ；
（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积.
【答案】（1）
23
π，4；（2
. 【解析】 试题分析：（1
）先根据同角的三角函数的关系求出tan A =从而可得A 的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长c 的值；（2）先根据余弦定理求出cos C ，求出CD 的长，可得12
CD BC =，从而得到12
ABD ABC S S ∆∆=，进而可得结果. 试题解析：（1
）sin 0,tan A A A =∴=Q 20,3
A A ππ<<∴=Q ，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即21284222c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭
，即22240c c +-=，解得6c =-（舍去）或4c =，故4c =.
(2)2222cos c b a ab C =+-Q
，1628422cos C ∴=+-⨯⨯
，
2cos 2cos AC C CD C ∴=∴===12CD BC ∴=
，114222ABC S AB AC sin BAC ∆∴=
⋅⋅∠=⨯⨯=
12ABD ABC S S ∆∆∴==18．已知直线1:10l x y ++=，2510--=：
l x y ，33210++=：l x y ，其中1l 与2l 的交点为P . （1）求点P 到直线3l 的距离；
（2）求过点P 且与直线3l 的夹角为45︒的直线方程.
【答案】（1
；（2）510--=x y 或550++=x y 【解析】
【分析】
（1）先解方程组得点P 坐标，再根据点到直线距离得结果；
（2）根据夹角公式求所求直线斜率，再根据点斜式得结果.
【详解】 (1)由10510x y x y ++=⎧⎨--=⎩得0(0,1)1x P y =⎧∴-⎨=-⎩
点P 到直线3l
=
（2）设所求直线斜率为k ， 所以23()12tan 45||52450351()2
k k k k k --=∴--=∴=-+-o 或5， 因此所求直线方程为51y x =-或115
y x =-- 即510--=x y 或550++=x y 【点睛】
本题考查点到直线距离、直线交点以及直线夹角公式，考查基本分析求解能力，属中档题.
19．在62x x ⎛- ⎪⎝
⎭的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含2x 的项．
【答案】（1）第3项的系数为242
6C ＝240.（2）含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2.
【解析】
试题分析：(1)根据二项展开式的通项，即可求解第3项的二项式系数及系数；
（2）由二项展开式的痛项6316(1)2k k k k r T C x --+=-⋅⋅，可得当1k =时，即可得到含2x 的系数. 试题解析：(1)第3项的二项式系数为C ＝15， 又T 3＝C (2)42＝24·
C x ， 所以第3项的系数为24C ＝240.
(2)T k ＋1＝C (2)6－k k ＝(－1)k 26－k C x 3－k ，
令3－k ＝2，得k ＝1.
所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2.
20．设函数()2ln m f x mx x x =--，()2e g x x
=. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）已知0m >，若存在[]01,x e ∈使得()()00f x g x =，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）241
e m e ≥
- 【解析】
【分析】 （1）求导数()22'2mx m f x x x -+=，讨论m 的不同范围得到单调区间.
（2）设函数()()()F x f x g x =-，()0'F x ≥，函数单调递增推出()40m
me e
F e =--≥，解得答案. 【详解】
（1）()f x 的定义域为()0,∞+.
()22
'2mx m
f x x x
-+=，()'0f x =，则220mx x m -+=. 当0m ≤时，则()'0f x <，()f x 在()0,∞+单调递减；
当01m <<时，220mx x m -+=，>0∆有两个根1x ，2x ，不妨设12x x <，
则1x =2x =，由1220x x m +=>，121=x x ，所以120x x <<. 所以()'0f x <时，12x x x <<，()f x 单调递减；
()'0f x >，10x x <<或2x x >，()f x 单调递增；
当m 1≥时，方程220mx x m -+=的0∆≤，则()'0f x ≥，()f x 在()0,∞+单调递增； 综上所述：当0m ≤时，()f x 的减区间为()0,∞+；
当01m <<时，()f x 的减区间为11,m m ⎛+
⎪⎝⎭，()f x 增区间为10,m ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
和
⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
. 当m 1≥时，()f x 的增区间为()0,∞+. （2）()()()F x f x g x =-，()22ln m e mx x x F x x
-
--=， ()()2
222
22'20F x mx m e x mx x m e x x
++--++==≥，所以()F x 在[]1,e 单调递增， ()120F e =-<，()4m F e me e =-
-，要使得()0F x =在[]1,e 有解，当且仅当()40m
me e
F e =--≥，解得：241
e
m e ≥-. 【点睛】
本题考查了函数的单调性，存在性问题，构造()()()F x f x g x =-，判断()0'F x ≥是解题的关键. 21．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率； (2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E(X)及方差D(X)． 【答案】 (1)0.108.(2) 1.8，0.72. 【解析】
试题分析：（1）设1A 表示事件“日销售量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此
可求出1()0.6P A =，2()0.15P A =，利用事件的独立性即可求出()P B ；（2）由题意可知X~B(3,0.6),所以即可列出分布列，求出期望为E(X)和方差D （X ）的值.
（1）设1A 表示事件“日销售量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此
1()(0.0060.0040.002)500.6P A =++⨯=. 2()0.003500.15P A =⨯=. ()0.60.60.1520.108P B =⨯⨯⨯=.
（2）X 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为
033(0)(10.6)0.064P X C ==⋅-=, 123(1)0.6(10.6)0.288P X C ==⋅-=,
223(2)0.6(10.6)0.432P X C ==⋅-=,
333(3)0.60.216P X C ==⋅=,
分布列为 X 0 1 2 3 P
0.064
0.288
0.432
0.216
因为X~B(3,0.6),所以期望为E(X)=3×0.6=1.8，方差D （X ）=3×0.6×（1-0.6）=0.72 考点：1.频率分布直方图；2.二项分布. 22．已知函数()223f x x x =++-. （1）若关于x 的不等式()2
5
2
f x m m <-
的解集不是空集，求m 的取值范围； （2）设()f x 的最小值为λ，若正实数a ，b ，c 满足a b c λ++=.证明：2222227a b a c b c
c b a
+++++≥.
【答案】（1）1m <-或7
2
m >.（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）等式()2
52f x m m >-
的不是空集，等价于()f x 的最小值()2min 5
2
m f m x <-， ()min 37
22
f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得答案
（2）由（1）知7
2
a b c ++=，再利用两次均值不等式得到答案. 【详解】
（1）不等式()2
52f x m m >-
的不是空集，等价于()f x 的最小值()2min 52
m f m x <-. ()331,232235,2213,2x x f x x x x x x x ⎧-≥⎪⎪
⎪=++-=--≤<⎨⎪
-<-⎪⎪⎩
，可知()min 37
22f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，
所以
22527m m <-，解得：1m <-或72
m >. （2）由（1）可知()f x 的最小值为7
2，所以72
a b c ++=，
正实数a ，b ，c ，由均值不等式可知：222222
a b a c b c c b a
+++++
222ab ac bc c b a ≥++， 又因为
222ab ac bc b c a c b a a b c c b a c b c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()27a b c ≥++=. 【点睛】
本题考查了解绝对值不等式，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.。