高中数学 4.1.2 圆的一般方程能力提升(含解析)新人教A

【优化方案】2013-2014学年高中数学 4.1.2 圆的一般方程能
力提升（含解析）新人教A 版必修2
1．若使圆x 2＋y 2＋2x ＋ay －a －12＝0(a 为实数)的面积最小，则a ＝________. 解析：由已知得圆的半径：
r ＝12 22＋a 2－4(－a －12) ＝12 4＋a 2＋4a ＋48＝12 (a ＋2)2＋48， ∴当a ＝－2时，r min ＝12
48＝23， 即此时圆的面积最小．
答案：－2
2．已知圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0，则x 2＋y 2的最大值是________．
解析：圆的方程为(x －2)2＋y 2＝1，圆心坐标是(2,0)，半径为1.由于x 2＋y 2表示圆上的点(x ，y )到原点的距离，故其最大值为2＋1＝3，从而x 2＋y 2的最大值是9. 答案：9
3．(1)已知点M 与两个定点A (4,2)、B (－2,6)的距离的比值为1，探求点M 的轨迹，然后求出它的方程；
(2)已知点M 与两个定点A (4,2)、B (－2,6)的距离的比值为12
时，M 点的轨迹又是什么？求出它的方程．
解：设M (x ，y )，
(1)因为点M 与两个定点A (4,2)、B (－2,6)的距离的比值为1，所以
(x －4)2＋(y －2)2(x ＋2)2＋(y －6)2＝1，
化简得3x －2y ＋5＝0，
所以M 的轨迹是直线，它的方程是3x －2y ＋5＝0.
(2)因为点M 与两个定点A (4,2)、B (－2,6)的距离的比值为12
， 所以(x －4)2＋(y －2)2(x ＋2)2＋(y －6)
2＝12， 化简得(x －6)2＋(y －23)2＝2089
， 故此时M 的轨迹是以(6，23
)为圆心， 半径为43
13的圆， 它的方程是(x －6)2＋(y －23)2＝2089
. 4．已知圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0，在圆上求一点M 使它到点P (1,1)的距离最大？圆上哪一点到P 点的距离最小呢？
解：如图所示，将方程配方得(x －4)2＋(y －1)2＝5，方程表示以(4,1)为圆心，5为半径的圆．
根据图形可知连接PO1并延长分别交圆于N、M两点，
显然|PM|为圆上的点和P点连线的距离的最大值，即|PM|＝|PO1|＋R＝(4－1)2＋(1－1)2＋5＝3＋5，
N点为圆上的点和P点连线的距离最小的点，
由图形知N点纵坐标为1，故令圆的方程中y＝1，
得(x－4)2＝5.解得x1＝4＋5，x2＝4－ 5.
故点M(4＋5，1)为圆上到点P距离最大的点，点N(4－5，1)为圆上到点P距离最小的点．。