高考数学(浙江,文理通用)大一轮复习讲义课件：第4章 平面向量 4.3

1.若向量 a，b 满足|a|＝|b|＝2，a 与 b 的夹角为 60°，则|a＋b|等于( B )
A.2 2＋ 3
B.2 3
C.4
D.12
解析 |a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos 60°＝4＋4＋2×2×2×12＝12，|a＋
b|＝2 3.
解析答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2.已知向量 a＝(1， 3)，b＝(3，m).若向量 a，b 的夹角为π6，则实数 m
等于( B )
A.2 3
B. 3
C.0
D.－ 3
解析 ∵a·b＝(1， 3)·(3，m)＝3＋ 3m，
a·b＝ 12＋ 32× 32＋m2×cos π6， ∴3＋ 3m＝ 12＋ 32× 32＋m2×cos π6， ∴m＝ 3.
→→
∴cos∠BAC＝
AC·AB →→
＝
|AC||AB|
1 2×
4＝
6 4.
3
1 2345
解析答案
5.已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量 a方向上的－投2影为________. 解析 由数量积的定义知，b在a方向上的投影为
|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.
解析答案
(2)若 m 与 n 的夹角为π3，求 x 的值.
解 因为|m|＝|n|＝1，所以 m·n＝cos π3＝12，
即
2 2 sin
x－
2 2 cos
x＝12，所以
sinx－π4＝12，
因为 0<x<π2，所以－π4<x－π4<π4，
所以 x－π4＝π6，即 x＝51π2.
思维升华 解析答案
答案
2.平面向量的数量积
设两个非零向量a，b的夹角为θ|a，||b|则·co数s θ量 定义
叫做a与b的数量积，记作a·b
投影 |a|cos θ 叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos θ 叫做向量b在a方向上的投影
几何 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方|b向|co上s θ
意义 的投影
例 2 (1)已知向量 a，b 均为单位向量，它们的夹角为π3，则|a＋b|等于( C )
A.1
B. 2
C. 3
D.2
解析 因为向量 a，b 均为单位向量，它们的夹角为π3，所以|a＋b|＝ a＋b2
＝ a2＋2a·b＋b2
＝ 1＋2cos π3＋1＝ 3.
解析答案
(2)(2014·湖南)在平面直角坐标系中，O 为原点，A(－1,0)，B(0， 3)， C(3,0)，动点 D 满足|C→D|＝1，则|O→A＋O→B＋O→D|的最大值是________.
22，－
22，
n＝(sin x，cos x)，x∈0，π2.
(1)若 m⊥n，求 tan x 的值；
解
因为

m＝
22，－
22，n＝(sin
x，cos
x)，m⊥n.
所以
m·n＝0，即
2 2 sin
x－
2 2 cos
x＝0，
所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.
跟踪训练3
已知 O 为坐标原点，向量O→A＝(3sin α，cos α)，O→B＝(2sin α，5sin α－4cos
α)，α∈32π，2π，且O→A⊥O→B，则 tan α 的值为( )
A.－43
B.－45
4
3
C.5
D.4
解析答案
返回
思想与方法系列
思 想 与 方 法 5.向量夹角范围不清致误
解析答案
命题点 2 求向量的夹角
例 3 (1)(2015·重庆)若非零向量 a，b 满足|a|＝232|b|，且(a－b)⊥(3a
＋2b)，则 a 与 b 的夹角为( )
π
π
A.4
B.2
3π
C. 4
D.π
解析答案
(2)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b与c的夹角 为钝角，则k的取值范围是________.
同理可得A→O·A→C＝12×10 2×10 2＝10 2×5 2. 又因为A→O·A→O＝xA→B·A→O＋yA→C·A→O＝x×16×8＋y×10 2×5 2＝4(32x
＋25y)＝100，故选 B.
解析答案
题型三 平面向量与三角函数
例4
(2015·广东)在平面直角坐标系
xOy
中，已知向量

m＝
解析答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
3.设向量 e1，e2 是夹角为23π的单位向量，若 a＝3e1，b＝e1－e2，则向量
b 在 a 方向上的投影为( )
3
1
A.2
B.2
C.－12
D.1
解析答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
思维升华 解析答案
(1)如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB＝8，
跟踪训练1
AD＝5，C→P＝3P→D，A→P·B→P＝2，则A→B·A→D＝__2_2__.
解析 由C→P＝3P→D，得D→P＝14D→C＝14A→B，A→P＝A→D＋D→P＝A→D＋14A→B，B→P
＝A→P－A→B＝A→D＋14A→B－A→B＝A→D－34A→B. 因为A→P·B→P＝2，所以(A→D＋14A→B)·(A→D－34A→B)＝2， 即A→D2－12A→D·A→B－136A→B2＝2. 又因为A→D2＝25，A→B2＝64，所以A→B·A→D＝22.
1 2345
解析答案
返回
题型分类 深度剖析
题型一 平面向量数量积的运算 例 1 (1)(2015·四川)设四边形 ABCD 为平行四边形，|A→B|＝6，|A→D|＝4，
若点 M，N 满足B→M＝3M→C，D→N＝2N→C，则A→M·N→M等于( C )
A.20
B.15
C.9
D.6
解析 A→M＝A→B＋34A→D，
.
|a||b|
(4)cos θ＝
.
|a||b| (5)|a·b|≤ .
答案
4.平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b＝b·a ； (2)(λa)·b＝λ(a·b)a＝·(λb) (λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c .
答案
5.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2 ，由此得到： (1)若 a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝ x2＋y2 . (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点间的距离|AB|＝|A→B|＝
的乘积
答案
3.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角. 则
(1)e·a＝aa··eb＝＝|a0|cos θ.
(2)a⊥b⇔
.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时|a，|2 a·b＝－a|a·a||b|.
特别地，aa··ab＝ 或|a|＝
第四章 平面向量
§4.3 平面向量的数量积
内
容
索
基础知识 自主
引
学习
题型分类 深度
剖析
思想与方法系列
思想方法 感悟提高
练出高分
基础知识 自主学习
1
知识梳理
1.向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b，作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB就是向量 a 与 b 的夹角，向量夹角的范围是： [0，π].
x2－x12＋y2－y12 . (3)设两个非零向量 a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔ x1x2＋ y1y2＝0 .
答案
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向√量.(
)
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的
1 2345
解析答案
4.已知
O
是△ABC
外心，若A→O＝25A→B＋15A→C，则
6 cos∠BAC＝____4____.
解析 ∵O为三角形的外心，
∴A→O·A→B＝12A→B2，A→O·A→C＝12A→C2，
由A→O·A→B＝25A→B2＋15A→C·A→B，整理得A→B2＝2A→C·A→B，
同理A→O·A→C＝25A→B·A→C＋15A→C2，整理得A→C2＝43A→B·A→C，
运算结果是向量.( ) √
(3)在四边形 ABCD 中，A→B＝D→C且A→C·B→D＝0，则四边形 ABCD 为矩
形.( × )
(4)两个向量的夹角的范围是[0，π2].( × )
答案
(5)由a·b＝0可得a＝0或b＝0×.( ) (6)(a·b)c＝a(b·c).(× )
答案
2 考点自测
1.已知向量 a 与 b 的夹角为 30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|等于( C )
解析答案
(2)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则A→E·B→D＝__2___. 解析 由题意知：A→E·B→D＝(A→D＋D→E)·(A→D－A→B) ＝(A→D＋12A→B)·(A→D－A→B) ＝A→D2－12A→D·A→B－12A→B2＝4－0－2＝2.
解析答案
题型二 用数量积求向量的模、夹角 命题点 1 求向量的模
温馨提醒
易错分析
解析答案
返回
思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.计算数量积的三种方法：定义法、坐标运算、数量积的几 何意义，解题要灵活选用恰当的方法，和图形有关的不要忽 略数量积几何意义的应用. 2.求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化 为向量的数量积的运算. 3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最 值问题常用的方法与技巧.
( D) A.－32a2
B.－a2
C.34a2
D.32a2
解析 如图所示，
由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos 120°＝a2＋a2－2a·a×－12＝3a2， ∴BD＝ 3a.
∴B→D·C→D＝|B→D||C→D|cos 30°＝ 3a2× 23＝32a2.
系列 典例 (14分)若两向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2所成的 角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2所成的角为钝角，求实 数t的取值范围.
易错分析 两个向量所成角的范围是[0，π]，两个向量所成的 角为钝角，容易误认为所成角π为钝角，导致所求的结果范围扩 大.
3＝
3 6.
解析答案
(2)已知 O 为△ABC 的外心，|A→B|＝16，|A→C|＝10 2，若A→O＝xA→B＋yA→C，
且 32x＋25y＝25，则|O→A|等于( B )
A.8
B.10
C.12
D.14
解析 根据 O 为△ABC 的外心，以及向量数量积的几何意义可得A→O·A→B
＝12×16×16＝16×8，
N→M＝C→M－C→N＝－14A→D＋13A→B，
∴A→M·N→M＝14(4A→B＋3A→D)·112(4A→B－3A→D)
＝418(16A→B2－9A→D2)＝418(16×62－9×42)＝9， 故选C.
解析答案
(2)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则D→E·C→B的 值为________；D→E·D→C的最大值为________.
思维升华 解析答案
跟踪训练2
(1)已知向量 a，b 满足|a|＝3，|b|＝2 3，若|a＋b|＝3 3，则向量 a，b 3
夹角的余弦值为____6____.
解析 由已知有|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝32＋2a·b＋(2 3)2＝(3 3)2，
∴a·b＝3，
∴cos θ＝|aa|·|bb|＝3×32
1 2345
解析答案
3.已知单位向量 e1，e2 的夹角为 α，且 cos α＝13，若向量 a＝3e1－2e2， 则|a|＝____3____.
解析 ∵|a|2＝a·a＝(3e1－2e2)·(3e1－2e2)
＝9|e1|2－12e1·e2＋4|e2|2＝9－12×1×1×13＋4＝9.∴|a|＝3.
失误与防范 1.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不 能得出b＝c，两边不能约去一个向量. 2.两个向量的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立；两个向 量夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立.
返回
练出高分
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
A. 6
B. 5
C. 3
D. 2
解析 由题意可得 a·b＝|b|cos 30°＝ 23|b|,4a2－4a·b＋b2＝1， 即 4－2 3|b|＋b2＝1，由此求得|b|＝ 3，故选 C.
1 2345
解析答案
2.(2015·山东)已知菱形 ABCD 的边长为 a，∠ABC＝60°，则B→D·C→D等于