高中数学人教版专用同步作业解析（含答案）第二章推理与证明

⾼中数学⼈教版专⽤同步作业解析（含答案）第⼆章推理与证明
第⼆章推理与证明
2.1合情推理
[学习⽬标]
1.合情推理的含义，能利⽤归纳和类⽐进⾏简单的推理.
2.合情推理在数学发展中的作⽤.
知识点⼀推理的定义与结构形式
1.定义：推理是⼈们思维活动的过程，是根据⼀个或⼏个已知的判断来确定⼀个新的判断的思维过程.其作⽤是从已知的知识得到未知的知识，特别是可以得到不可能通过感觉经验掌握的未知知识.
2.结构形式：从结构上来说，推理⼀般分为两部分，⼀部分是已知的事实(或假设)，叫做前提，另⼀部分是由已知判断推出的新的判断，叫做结论.
思考(1)依据部分对象得到的推理结论可靠吗？
(2)推理⼀般⽤哪些关联词？
答案(1)不⼀定完全可靠.
(2)推理⼀般可⽤关联词将“前提”和“结论”联结，常⽤的关联词有“因为……所以……”“根据……可知……”“如果……那
么……”“若……则……”.
知识点⼆归纳推理与类⽐推理
答案归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，⽽是或然性的，结论不⼀定正确.类⽐推理是从⼈们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类⽐推理的结果具有猜测性，不⼀定可靠.
知识点三合情推理
1.合情推理的含义：归纳推理和类⽐推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、⽐较、联想，再进⾏归纳、类⽐，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.
2.合情推理的过程
从具体问题出发→观察、分析、⽐较、联想→归纳、类⽐→提出猜想
思考由合情推理得到的结论可靠吗？
答案⼀般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是⼀种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了.
题型⼀归纳推理的应⽤
例1 已知数列{a n }的第1项a 1＝2，且a n ＋1＝a n
1＋a n
(n ＝1,2，…)，试归纳出这个数列的通项公式.
解∵a 1＝2，a n ＋1＝a n
1＋a n
(n ＝1,2，…)，
∴a 1＝21，a 2＝21＋2＝23
，a 3＝23
1＋23＝25，a 4＝25
1＋25＝27.
由此发现分母依次为1,3,5,7，…，分⼦都是2. ∴归纳猜想得a n ＝2
2n －1
(n ?N *).
反思与感悟求数列{a n }的通项公式的⼀般⽅法：(1)根据已知条件求出数列的前⼏项(有时题⽬已给出)，如a 1，a 2，a 3等；
(2)通过这些项找出项与序号之间的⼀般规律，归纳出数列的⼀个通项公式.
跟踪训练1 已知数列11×3，13×5，15×7，…，1
(2n －1)(2n ＋1)(n ?N *)的前n 项的和为S n .
(1)求出S 1，S 2，S 3，S 4；
(2)猜想该数列的前n 项和S n 并证明. 解 (1)S 1＝13，S 2＝25，S 3＝37，S 4＝4
9.
(2)猜想S n ＝n
2n ＋1(n ?N *).证明如下：
∵1(2n －1)(2n ＋1)＝12
12n －1－12n ＋1，
∴S n ＝121－13＋13－15＋15－1
7＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝
n
2n ＋1
(n ?N *). 题型⼆类⽐推理的应⽤
例2 在矩形ABCD 中，对⾓线AC 与两邻边AB ，BC 所成的⾓分别为α，β，则cos 2α＋cos 2β＝1.在⽴体⼏何中，通过类⽐，给出猜想并证明.
解如图(1)，在矩形ABCD 中，cos 2
α＋cos 2
β＝a c 2＋b c 2＝a 2
＋b 2
c 2＝c
2
c 2＝1.
于是类⽐到长⽅体中，猜想若其体对⾓线与共顶点的三条棱所成的⾓分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.
证明如下：如图(2)，cos 2
α＋cos 2
β＋cos 2
γ＝m l 2＋n l 2＋g l 2＝m 2
＋n 2
＋g 2
l 2＝l 2
l
2＝1.
反思与感悟类⽐推理是⼀种主观的不充分的推理，因此，要确认其猜想的正确性，还必须经过严格的逻辑论证.⼀般情况下，如果类⽐的相似性越多，相似的性质与推测的性质越相关，那么类⽐得到的命题就越可靠.
类⽐的关键是能把两个系统之间的某种⼀致性或相似性确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些⽅⾯⼀致性的含糊认识说清楚.
跟踪训练2“若直⾓三⾓形两直⾓边的长分别为a，b，将其补成⼀个矩形，则根据矩形
的对⾓线长可求得该直⾓三⾓形外接圆的半径r＝a2＋b2
2”.对于“若三棱锥三条侧棱两
两垂直，侧棱长分别为a，b，c”，类⽐上述处理⽅法，可得该三棱锥的外接球的半径R ＝__________.
答案a2＋b2＋c2
2
解析由求直⾓三⾓形外接圆的半径的⽅法，通过类⽐得出求三条侧棱两两垂直的三棱锥外接球的半径的⽅法为：⾸先将该三棱锥补全为长⽅体，⽽长⽅体的体对⾓线长就是三棱
锥的外接球的直径，从⽽得出该三棱锥的外接球的半径R＝a2＋b2＋c2
2.
合情推理的应⽤
归纳推理、类⽐推理都是合情推理，归纳推理是由部分到整体、由个别到⼀般的推理；⽽类⽐推理则是通过某两类对象在对⽐中启发猜想结论.这些结论未必正确，要进⼀步验证(或证明)其正确性.
例3设f(n)＝n2＋n＋41，n?N*，计算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并⽤n＝40验证猜想是否正确.
解f(1)＝12＋1＋41＝43，
f(2)＝22＋2＋41＝47，
f(3)＝32＋3＋41＝53，
f(4)＝42＋4＋41＝61，
f(5)＝52＋5＋41＝71，
f(6)＝62＋6＋41＝83，
f(7)＝72＋7＋41＝97，
f (8)＝82＋8＋41＝113， f (9)＝92＋9＋41＝131， f (10)＝102＋10＋41＝151.
∵43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都是质数，
∴归纳猜想：当n ?N *时，f (n )＝n 2＋n ＋41的值都为质数.
验证：当n ＝40时，f (40)＝402＋40＋41＝40×(40＋1)＋41＝41×41. ∴f (40)是合数，∴由上⾯归纳推理得到的猜想不正确.
1.已知
2＋23
＝223
，3＋38
＝338
，4＋
415
＝44
15
，….若 6＋a b
＝6
a b
(a ，b ?R ), 则( ) A.a ＝5，b ＝24 B.a ＝6，b ＝24 C.a ＝6，b ＝35 D.a ＝5，b ＝35
答案 C
解析观察式⼦的特点可知，分式a
b 的分⼦a 与根号外的数相同，⽽分母b 则为该数的平⽅
减1.
2.在数学解题中，常会碰到形如“
x ＋y
1－xy
”的结构，这时可类⽐正切的和⾓公式.如：设a ，b 是⾮零实数，且满⾜a sin π5＋b cos
π5a cos π5－b sin
π5＝tan 8π15，则b
a 等于( )
A.4
B.15
C.2
D. 3 答案 D
解析将已知式变形，则有a sin π5＋b cos π5a cos π5－b sin π5＝a tan π5＋b a －b tan π5＝tan π5＋b a 1－b a tan
π5＝tan 8π
15，类⽐正切的和⾓
公式，即tan(α＋β)＝
tan α＋tan β1－tan αtan β
，可知只有当b a ＝tan π
3＝3时，上式成⽴.
3.已知x ?(0，＋∞)，观察下列不等式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，…，类⽐有x ＋a
x n
≥n ＋1(n ?N *)，则a ＝________. 答案 n n
解析由类⽐推理可得x ＋a x n ＝n x x n n ++
个
a x
n ≥(n ＋1)·x n ·x n ·…·x n ·a
x n ＝n ＋1，此时a ＝n n . 4.在平⾯⼏何中有如下结论：
若正三⾓形ABC 的内切圆⾯积为S 1，外接圆⾯积为S 2，则S 1S 2＝1
4.推⼴到空间⼏何可以得到
类似结论：若正四⾯体ABCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1
V 2＝________.
答案
127
5.根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式. (1)a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1； (2)a 1＝a ，a n ＋1＝1
2－a n
；
(3)对⼀切的n ?N *，a n >0，且2S n ＝a n ＋1. 解 (1)由已知可得a 1＝3＝22－1， a 2＝2a 1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1， a 3＝2a 2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a 4＝2a 3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜想a n ＝2n ＋
1－1，n ?N *.
(2)由已知可得a 1＝a ，
a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝1
2－a 2＝2－a 3－2a ，
a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a
.
猜想a n ＝(n －1)－(n －2)a
n －(n －1)a (n ?N *).
(3)∵2S n ＝a n ＋1，
∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1，∴a 1＝1.⼜2S 2＝a 2＋1，
∴2a 1＋a 2＝a 2＋1，∴a 22－2a 2－3＝0. ∵对⼀切的n ?N *，a n >0，∴a 2＝3.
同理可求得a 3＝5，a
4＝7，猜想出a n ＝2n －1(n ?N *).
1.归纳推理的⼀般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出⼀个明确表述的⼀般性命题(猜想).
2.类⽐推理的⼀般步骤：①找出两类对象之间的相似性或⼀致性；②⽤⼀类对象的性质去推测另⼀类对象的性质，得出⼀个明确的命题(猜想).
⼀、选择题
1.已知a1＝3，a2＝6，且a n＋2＝a n＋1－a n，则a33为()
A.3
B.－3
C.6
D.－6
答案 A
解析∵a1＝3，a2＝6，a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3, ∴周期T＝6，∴a33＝a3＝3.
2.如图所⽰，在杨辉三⾓中，斜线l的上⽅，从1开始箭头所⽰的数组成⼀个锯齿形数列：1,3,3,4,6,5,10，…，记其前n项和为S n，则S19等于()
A.129
B.172
C.228
D.283
答案 D
解析由组合数的性质，如数列1,3,3,4,6,5,10，…，其实是由组合数C22，C13，C23，C14，C24，C15，C25，…组成的.
∴S19＝C22＋C13＋C23＋C14＋C24＋…＋C111＋C211
＝C33＋C23＋C24＋…＋C211－C23＋C23＋C13＋C14＋…＋C111
＝C312＋C212－3＝283.
3.数列5,9,17,33，x，…中的x等于()
A.47
B.65
C.63
D.128
答案 B
解析5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x＝26＋1＝65.
4.根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于()
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111 … A.1 111 110 B.1 111 111 C.1 111 112 D.1 111 113
答案 B
解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111. 5.设0<θ<π
2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，猜想a n 等于( )
A.2cos θ
2n
B.2cos θ
2n －1
C.2cos θ
2n ＋1
D.2 sin θ
2n
答案 B
解析⽅法⼀∵a 1＝2cos θ， a 2＝2＋2cos θ＝2
1＋cos θ2＝2cos θ
2， a 3＝2＋a 2＝2 1＋cos
θ22＝2cos θ
4
，…，猜想a n ＝2cos θ
2
n －1.
⽅法⼆验n ＝1时，排除A 、C 、D ，故选B.
6.设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的⾯积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S
a ＋
b ＋
c ，
类⽐这个结论可知：四⾯体ABCD 的四个⾯的⾯积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为R ，四⾯体ABCD 的体积为V ，则R 等于( ) A.V
S 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2V
S 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3V
S 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4V
S 1＋S 2＋S 3＋S 4
答案 C
解析设四⾯体的内切球的球⼼为O ，则球⼼O 到四个⾯的距离都是R ，所以四⾯体的体积等于以O 为顶点，分别以四个⾯为底⾯的4个三棱锥体积的和.则四⾯体的体积为V
四⾯体
ABCD
＝13(S 1
＋S 2＋S 3＋S 4)R ，所以R ＝
3V
.
S1＋S2＋S3＋S4
⼆、填空题
7.已知数列{a n}满⾜条件(n－1)·a n＋1＝(n＋1)·a n－n－1，且a2＝6，设b n＝a n＋n(n?N*)，则数列{b n}的通项公式b n＝
________.
答案2n2
解析a1＝1，a2＝6，a3＝15，a4＝28，
b1＝2，b2＝8，b3＝18，b4＝32.
可以通过求数列{a n}的通项公式来求数列{b n}的通项公式.
我们发现a1＝1＝1×1；a2＝6＝2×3；
a3＝15＝3×5；a4＝28＝4×7；…，猜想a n＝n×(2n－1)，
进⽽猜想b n＝2n2－n＋n＝2n2.
8.将⾃然数按如下规则排列在平⾯直⾓坐标系中：
①每⼀个⾃然数对应⼀个整点(横、纵坐标均为整数的点)；②0在原点，1在(0,1)，2在(1,1)，3在(1,0)，4在(1，－1)，5在(0，－1)，9在(－1,2)，…，所有⾃然数按顺序顺时针“缠绕”在以“0”为中⼼的“桩”上且所有整点上均有⾃然数，则数字(2n＋1)2(n? N*)的坐标为______.
答案(－n，n＋1)
解析9的坐标为(－1,2)，且9＝(2×1＋1)2,25的坐标为(－2,3)，且25＝(2×2＋1)2,49的坐标为(－3,4)，且49＝(2×3＋1)2，…，所以(2n＋1)2的坐标为(－n，n＋1).
9.如图所⽰，将正整数排成三⾓形数阵，每排的数称为⼀个群，从上到下顺次为第1群，第2群，……，第n群，……，第n群恰好有n个数，则第n群中n个数的和是______.
1
2 3
4 6 5
8 12 107
1624 20149
3248 40281811
…
答案3×2n－2n－3
解析根据规律观察可得每排的第⼀个数1,2,4,8,16，…构成以1为⾸项，2为公⽐的等⽐数列，所以第n群的第⼀个数是2n－1，第n群的第2个数是3×2n－2，…，第n群的第n－1个数是(2n－3)×21，第n群的第n个数是(2n－1)×20，所以第n群的所有数之和为2n－1＋3×2n－2＋…＋(2n－3)×21＋(2n－1)×20，根据错位相减法求和得其和为3×2n－2n－3.
10.设f (x )＝2x ＋2.利⽤课本中推导等差数列前n 项和的公式的⽅法，可求得f (－5)＋f (－4)
＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________. 答案 3 2
解析∵6－(－5)＝11，∴f (－5)，f (－4)，…，f (5)，f (6)，共有12项.课本中推导等差数列前n 项和的公式的⽅法是倒序相加法，即∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a n ＋a 1，令S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1，∴2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1)＝n (a 1＋a n )，∴S n ＝n (a 1＋a n )2
.
同理，∵f (x )＋f (1－x )＝12x ＋2＋1
21－x ＋2
＝12x ＋2＋2x 2＋2×2x ＝2＋2x 2(2x ＋2)＝2
2. 令T n ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (5)＋f (6)，则T n ＝f (6)＋f (5)＋…＋f (－4)＋f (－5)，
∴2T n ＝[f (－5)＋f (6)]＋[f (－4)＋f (5)]＋…＋[f (6)＋f (－5)]＝12×2
2
＝6 2. ∴T n ＝3 2. 三、解答题
11.在平⾯⼏何中，有这样⼀个命题：⼀边长为a 的正三⾓形内任意⼀点P 到三边的距离之和等于边长的
3
2
倍.请你⽤类⽐推理的⽅法，在⽴体⼏何中寻找⼀个类似的命题. 解在棱长为a 的正四⾯体S －ABC 中，P 为正四⾯体内任意⼀点，连接P A ，PB ，PC ，PS (如图所⽰)，则正四⾯体被分割为四个⼩三棱锥P －ABC ，P －SAB ，P －SBC ，P －SCA ，设P 到四个⾯的距离分别为h 1，h 2，h 3，h 4.由于正四⾯体的四个⾯的⾯积相等，故 V S －ABC ＝V P －ABC ＋V P －SAB ＋V P －SCA ＋V P －SBC ＝1
3S △ABC (h 1＋h 2＋h 3＋h 4). ⼜S △ABC ＝
34a 2，V S －ABC ＝2
12
a 3，∴h 1＋h 2＋h 3＋h 4＝
6
3
a . 故在⽴体⼏何中可得到的命题是：棱长为a 的正四⾯体内任意⼀点P 到四个⾯的距离之和
等于棱长的
3
倍. 12.如图所⽰，点P 为斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱BB 1上⼀点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N . (1)求证：CC 1⊥MN ；
(2)在任意△DEF 中有余弦定理DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF cos ∠DFE .拓展到空间，类⽐三⾓形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧⾯⾯积与其中两个侧⾯所成的⼆⾯⾓之间的关系，并予以证明.
(1)证明∵CC 1∥BB 1，∴CC 1⊥PM ，CC 1⊥PN ，∴CC 1⊥平⾯PMN . ∴CC 1⊥MN .
(2)解在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中有
S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2SBCC 1B 1·SACC 1A 1 cos x ，其中x 为平⾯CC 1B 1B 与平⾯CC 1A 1A 所成的⼆⾯⾓.
∵CC 1⊥平⾯PMN ，∴上述的⼆⾯⾓为∠MNP . 在△PMN 中，PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN ·MN cos ∠MNP .
∴PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·
CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP . ∵SBCC 1B 1＝PN ·C 1C ，SACC 1A 1＝MN ·CC 1，SABB 1A 1＝PM ·BB 1，∴S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2SBCC 1B 1·SACC 1A 1 cos x .
13.(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意
⼀点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM →
为定值b 2－a 2.
(2)类⽐(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是双
曲线C 上异于A 、B 的任意⼀点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证AN →·BM →
为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程). (1)证明设点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )，依题意，得A (－a,0)，B (a,0)，所以直线P A 的⽅程为y ＝y 0x 0＋a (x ＋a ).
令x ＝0，得y M ＝ay 0
x 0＋a
，
同理得y N ＝－ay 0x 0－a ，所以y M y N ＝a 2y 20
a 2－x 20
.
⼜点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 2
0a 2＋y 20
b
2＝1，
因此
y 20＝b 2a
2(a 2－x 20)，所以
y M y N ＝a 2y 20
a 2－x 20
＝b 2.
因为AN →＝(a ，y N )，BM →
＝(－a ，y M )，所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2. (2)解－(a 2＋b 2).
2.1.2 演绎推理
[学习⽬标] 1.了解演绎推理的重要性.2.掌握演绎推理的基本模式，并能进⾏⼀些简单的推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.
知识点⼀演绎推理及其⼀般模式——“三段论”
1.演绎推理
2.三段论
思考(1)
(2)如何分清⼤前提、⼩前提和结论？
答案(1)演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就⼀定正确. (2)在演绎推理中，⼤前提描述的是⼀般原理，⼩前提描述的是⼤前提⾥的特殊情况，结论是根据⼀般原理对特殊情况作出的
判断，这与平时我们解答问题中的思考是⼀样的，即先指出⼀般情况，从中取出⼀个特例，特例也具有⼀般意义.例如，平⾏四边形对⾓线互相平分，这是⼀般情况；矩形是平⾏四边形，这是特例；矩形对⾓线互相平分，这是特例具有的⼀般意义.
知识点⼆演绎推理与合情推理的区别与联系
题型⼀⽤三段论的形式表⽰演绎推理
例1把下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)在⼀个标准⼤⽓压下，⽔的沸点是100 ℃，所以在⼀个标准⼤⽓压下把⽔加热到100 ℃时，⽔会沸腾；
(2)⼀切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；
(3)三⾓函数都是周期函数，y＝tan α是三⾓函数，因此y＝tan α是周期函数.
解(1)在⼀个标准⼤⽓压下，⽔的沸点是100 ℃，⼤前提
在⼀个标准⼤⽓压下把⽔加热到100 ℃，⼩前提
⽔会沸腾.结论
(2)⼀切奇数都不能被2整除，⼤前提
2100＋1是奇数，⼩前提
2100＋1不能被2整除.结论
(3)三⾓函数都是周期函数，⼤前提
y＝tan α是三⾓函数，⼩前提
y＝tan α是周期函数.结论
反思与感悟三段论由⼤前提、⼩前提和结论组成.⼤前提提供⼀般原理，⼩前提提供特殊情况，两者结合起来，体现⼀般原理与特殊情况的内在联系，在⽤三段论写推理过程时，关键是明确命题的⼤、⼩前提，⽽⼤、⼩前提在书写过程中是可以省略的. 跟踪训练1 将下列演绎推理写成三段论的形式. (1)0.332是有理数；
(2)y ＝cos x (x ?R )是周期函数； (3)Rt △ABC 的内⾓和为180°.
解 (1)有限⼩数是有理数(⼤前提)，0.332是有限⼩数(⼩前提)，0.332是有理数(结论). (2)三⾓函数是周期函数(⼤前提)，函数y ＝cos x (x ?R )是三⾓函数(⼩前提)，函数y ＝cos x (x ?R )是周期函数(结论).
(3)三⾓形内⾓和是180°(⼤前提)，Rt △ABC 是三⾓形(⼩前提)，Rt △ABC 的内⾓和为180°(结论).
题型⼆演绎推理在证明数学问题中的应⽤
例2 在锐⾓三⾓形中，求证sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C . 证明∵在锐⾓三⾓形中，A ＋B ＞π2，
∴A ＞π2－B ，∴0＜π2－B ＜A ＜π2
.
⼜∵在0，π
2内，正弦函数是单调递增函数，∴sin A ＞sin π2－B ＝cos B ，即sin A ＞cos B ，①同理sin B ＞cos C ，② sin C ＞cos A .③
以上①②③两端分别相加，有： sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C .
反思与感悟 (1)应⽤三段论解决问题时，应当⾸先明确什么是⼤前提和⼩前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可
以省略.
(2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即⼀连串的三段论，关键是找到每⼀步推理的依据——⼤前提、⼩前提，注意前⼀个推理的结论会作为下⼀个三段论的前提. 跟踪训练2 (1)设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证1a ＋1b ＋1
ab ≥8.
(2)求证：函数f (x )＝2x －1
2x ＋1是定义域上的增函数.
证明 (1)∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，
∴1＝a ＋b ≥2ab ，即ab ≤1
2，
∴1
ab
≥4，∴1a ＋1b ＋1
ab ＝(a ＋b )1a ＋1b ＋1ab ≥2ab ·2
1ab ＋1
ab
≥4＋4＝8. 当且仅当a ＝b ＝1
2时等号成⽴，
∴1a ＋1b ＋1
ab ≥8. (2)函数定义域为R . 任取x 1，x 2?R 且x 1＜x 2. 则f (x 1)－f (x 2)＝12
12112+121x x
-
-- ? ?+
()()121
21
21
1222221212121x x x x x x ??-=-= ?+++?+??
121212,22,220,x x x x x x ∴∴- ＜＜＜
∴f (x 1)－f (x 2)＜0.
∴f (x 1)＜f (x 2).故f (x )为R 上的增函数. 题型三合情推理、演绎推理的综合应⽤
例3 如图所⽰，三棱锥ABCD 的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两互相垂直，O 为点A 在底⾯BCD 上的射影. (1)求证：O 为△BCD 的垂⼼；
(2)类⽐平⾯⼏何的勾股定理，猜想此三棱锥侧⾯与底⾯间的⼀个关系，并给出证明.
(1)证明∵AB ⊥AD ，AC ⊥AD ，AB ∩AC ＝A ，∴AD ⊥平⾯ABC ，⼜BC ?平⾯ABC . ∴AD ⊥BC ，⼜∵AO ⊥平⾯BCD
，AO ⊥BC ，∵AD ∩AO ＝A ，
∴BC ⊥平⾯AOD ，∴BC ⊥DO ，同理可证CD ⊥BO ，∴O 为△BCD 的垂⼼.
(2)解猜想：S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ABD ＝S 2△BCD .
证明如下：连接DO 并延长交BC 于E ，连接AE ，
由(1)知AD ⊥平⾯ABC ， AE ?平⾯ABC ，
∴AD ⊥AE ，⼜AO ⊥ED ，∴AE 2＝EO ·ED ，
∴12BC ·AE 2＝12BC ·EO ·12BC ·ED ，即S 2△ABC ＝S △BOC ·
S △BCD . 同理可证：S 2△ACD ＝S △COD ·S △BCD ， S 2△ABD ＝S △BOD ·
S △BCD . ∴S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ABD ＝S △BCD ·(S △BOC ＋S △COD ＋S △BOD )＝S △BCD ·S △BCD ＝S
2△BCD .
反思与感悟合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不⼀定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和⽅法，⽽演绎推理得到的结论⼀定正确(前提和推理形式都正确的前提下).
跟踪训练3 已知命题：“若数列{a n }是等⽐数列，且a n >0，则数列b n ＝n
a 1a 2…a n (n ?N *)也是等⽐数列”.类⽐这⼀性质，你能得到关于等差数列的⼀个什么性质？并证明你的结论. 解类⽐等⽐数列的性质，可以得到等差数列的⼀个性质是：若数列{a n }是等差数列，则数列
b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n
n 也是等差数列.
证明如下：
设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝na 1＋
n (n －1)d 2n ＝a 1＋d
2(n －1)，
所以数列{b n }是以a 1为⾸项，d
2
为公差的等差数列.
三段论中因忽视⼤(⼩)前提致误
例4 已知a ，b ，c ?R ＋
，且a ，b ，c 不全相等，试⽐较a 3bc ＋b 3ca ＋c 3
ab
与a ＋b ＋c 的⼤⼩.
错解因为a ，b ，c ?R ＋
，依基本不等式有
a 4＋
b 4≥2a 2b 2
，b 4＋c 4≥2b 2c 2，
c 4＋a 4≥2c 2a 2.
由三式相加得a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.①⼜a 2b 2＋b 2c 2≥2a 2b 4c 2＝2ab 2c ，同理b 2c 2＋c 2a 2≥2abc 2， c 2a 2＋a 2b 2≥2a 2bc ，
三式相加得a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2.②
由①②得a 4＋b 4＋c 4≥a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2，⼜a ，b ，c ?R ＋
，
所以a 3bc ＋b 3ca ＋c 3
ab
≥a ＋b ＋c .
错因分析以上过程忽视了⼩前提“a ，b ，c 不全相等”，因此①②两式中均为“＞”. 正解∵a ，b ，c ?R ＋
，有
a 4
＋b 4
≥2a 2b 2
，b 4＋c 4
≥2b 2c 2，c 4＋a 4≥2c 2a 2.
⼜a ，b ，c 不全相等，故三式相加，得 a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.③⼜a 2b 2＋b 2c 2≥2ab 2c ， b 2c 2＋c 2a 2≥2abc 2， c 2a 2＋a 2b 2≥2a 2bc ，
且a ，b ，c 不全相等，三式相加得 a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2＞a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2，④由③④得a 4＋b 4＋c 4＞a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2，∵a ，b ，c ?R ＋
，∴a 3bc ＋b 3ca ＋c 3
ab
＞a ＋b ＋c . 防范措施利⽤三段论推理时，正确使⽤⼤(⼩)前提，尤其注意数学中有关公式、定理、性质、法则的使⽤情形.
1.下列推理中是演绎推理的是( )
A.全等三⾓形的对应⾓相等，如果△ABC ≌△A ′B ′C ′，则∠A ＝∠A ′
B.某校⾼三(1)班有55⼈，(2)班有54⼈，(3)班有52⼈，由此得⾼三各班的⼈数均超过50
⼈
C.由平⾯内三⾓形的性质，推测空间中四⾯体的性质
D.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1
2a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此猜想出{a n }的通项公式
答案 A
解析 B 项是归纳推理，C 项是类⽐推理，D 项是归纳推理.故选A. 2.指数函数都是增函数，……………………⼤前提函数y
＝1e x
是指数函数，……………………⼩前提所以函数y ＝1e x 是增函数. ……………………结论上述推理错误的原因是( ) A.⼤前提不正确 B.⼩前提不正确 C.推理形式不正确 D.⼤、⼩前提都不正确答案 A
解析⼤前提错误.因为指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)在a ＞1时是增函数，⽽在0＜a ＜1时为减函数.故选A.
3.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，则f (x )的周期是________. 答案 8
解析 f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝f (2－2－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴f (x ＋8)＝f [4＋(4＋x )]＝－f (x ＋4)＝－[－f (x )]＝f (x ).∴T ＝8是它的周期.
4.设数列{a n }的⾸项a 1＝32，前n 项和为S n ，且满⾜2a n ＋1＋S n ＝3(n ?N *)，则满⾜1817＜S 2n S n ＜
8
7的所有n 的和为________. 答案 7
解析由2a n ＋1＋S n ＝3得2a n ＋S n －1＝3(n ≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，化简得2a n ＋1＝a n (n ≥2)，即a n ＋1a n ＝12(n ≥2)，由已知求出a 2＝34，易得a 2a 1＝1
2，所以数列{a n }是⾸项为
a 1＝32，公⽐为q ＝12的等⽐数列，所以S n ＝321－12n 1－
1
2＝31－12n ，S 2n ＝31－122n ，代⼊1817＜S 2n S n ＜87，可得1
17＜12n ＜17
，解得n ＝3或4，所以所有n 的和为7.。