第二章-章末总结 2025年高考数学知识点题型及考项复习

的最小值是.
【答案】
+

【解析】记 + 3 = ,2 + = ,
则 =
3−
,
5
所以 + =
=
=
+2
5
2+ 2
，即
2
所以
2−
1
，且
5

=
+2
5
⋅
1

+ = 1,
1

+
1

3
5
≥ +2

5
4+ 2
2+3 2
, =
时等号成立，
10
10
3+2 2
+ 的最小值为
2 + 1)①.
∵ + = 1,∴ 2 + 2 = 1 − 2,
∴ 4 2 2 + 2 + 2 + 1 = 4(2 2 + 1 − 2 + 1) = 4[( − 1)2 + 1] ②.
∵ 1 = + ≥ 2 （当且仅当 = =
1
4
∴ 0 < ≤ ,

−
数 的最大值为________.

【解析】由 + ≥ ,得
+2 + 2
+

+
⋅
=
+
2

+
+ =
1
2
− = 2
当且仅当 + =
∴



+
+
+

−1≥

+
++
+
2
−1=

+
+
+
2
1
− ,
2

且
+
+2 + 2
的最小值为
【解析】 − + − = ⋅ − + − ⋅ ≤
[ + − ] ⋅ [ − + ] = ,
当且仅当

−
=
−
,即

= + 时，等号成立.
例7 (2023·南京大学强基计划)已知 > 0, > 0, + = ,求 2 + 2 + 2 + 2 的
元素为4和5，即ቊ 2
6 − 8 × 6 + ≥ 0,
解得12 ≤ < 15.
所以实数的取值范围是{|12 ≤ < 15}.
图2-1
例10 (2023·中山大学强基计划)解不等式
4 2
1− 1+2
2
&知1 + 2 ≥ 0,1 ≠ 1 + 2,所以 ≥ − 且 ≠ 0.
+
2
2
=
2
=
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + =
+ 2,

时，等号成立.
+
+ 2.
命题点2 不等式的解集问题
例8 (2022·全国高中数学联赛一试B卷)不等式
20
−9
>
22
{| < −或
的解集为_______________
−11
<
< }
≥
25
4
⇔ +
1

≥
25
4
− 2,即只要证 +
1

≥
17
4
④.
如何证明④呢？
考虑
=
1
.
16

+ 中

为多少时， +


≥ 2 ,当且仅当 = =
1
时取等号，由此可得
2
于是有
1
+

=
当且仅当 = =
1
+
16
15
+
16
≥ 2 ⋅
1
.
5
=
⋅
2
5
=
3+2 2
,当且仅当
5
= 1 + 2,
例5 (2022·上海交大强基测试)已知 > > 0，则 +
4
+
+
1
的最小值为.
−
【答案】
【解析】∵ > > 0,∴ + > 0, − > 0,即
1
(
2
+ )
4
+
+
1
+
2
−
=
+ = 2 2,
原式可化简为
2
即[
1+2+1
1+2−1
2
得[
所以
2
2
1+2−1
1+2+1
1+2+1 2
] <
2
1 + 2 + 1
< 2 + 9，
]2 < 2 + 9，
2 + 9，
2
< 2 + 9，
化简得2 1 + 2 < 7,即 <
45
.
8
1
2
综上，不等式的解集为{| − ≤ < 0或0 < <
17
4
+2=
25
.
4
证法二 +
1

+
1

≥
25
4
⇔ 4 2 + 1 ⋅ 2 + 1 ≥ 25 ⇔ 4(2 2 + 2 + 2 +
1) ≥ 25.
∵ + = 1,∴ 2 + 2 = 1 − 2,
∴ +
1

+
1

≥
25
4
⇔ 4 2 2 + 1 − 2 + 1 ≥ 25 ⇔ 42 2 − 33 + 8 ≥ 0
1





1

+
1

，则
+ + .
1
2
∵ 1 = + ≥ 2 （当且仅当 = = 时取等号）,
∴
1

⑦
1
+ ⑧，得
− ≥

2
1
9
1
− ≥ ,即 +

4

∴


≥ 2⑦，− ≥ −


1
2
3
,
2
⑧.
≥
17
,
4
1
2
又 + ≥ 2（当且仅当 = = 时取等号），故 ≥
2025年高考数学一轮基础知识复习
第二章
一元二次函数、方程和不等式
章末总结
例1 已知 > 0, > 0, + = 1,求证： +
1

⋅ +
1

≥
25
.
4
【解析】 ∵ 1 = + ≥ 2 ,∴ 1 ≥ 4.
于是 +
1

+
1

≥ 4 +
1

+
1

= 4 2 + 1 ⋅ 2 + 1 = 4(2 2 + 2 +
൝
即൞
− = 2,
=
1
+
−
≥2 2+2
3 2
,
2
时等号成立.故
2
2
+
1
2
=3
4
+
+
1
2，当且仅当൞21
2
1
的最小值为3
−
+ =
− =
2.
4
,
+
1 即
,
−
例6 (2023·全国高中数学联赛江西赛区预赛)设 ≥ , ≥ , > 0.证明：
− + − ≤ ,并确定等号成立的条件.
=
1
+

先看
1
+


1
+

≥ 2,当且仅当 =
但 ≠ 1,故 +


25
取得最小值 .这启发我们进行如下变形：
4


1

≥
1
2
1
，即

=
1
+


+


+ .

= 1时取等号，

2的方法是不妥的（缩小变形不恰当）.再看


+

≥ 2，当且仅
当 = ，即 = = 时取等号，这样做是恰当的，于是
16
15
+
16
1
2
= +
15
16
⑤,
1
时取等号.
2
1
2
由已知，得1 = + ≥ 2 （当且仅当 = = 时取等号）,故0 < ≤
由⑤⑥得 +
1

1
2
≥ +
15
1 =
16×4
17
.下面再给出例1的其他几种证法.
4
1
4
⑥.
证法一 设 = +
= +
____________.
20 −11 −22 −9
−9 −11
【解析】移项通分可得
则解集为{| < −11或9 < < 11}.
> 0,进一步整理得
+11
−9 −11
< 0，
例9 (2023·全国高中数学联赛吉林赛区预赛)已知集合 = {| 2 − 9 > 0},
= { ∈ | 2 − 8 + < 0}.若集合 ∩ 的子集个数为4，则实数的取值范围是
{| ≤ < }
_________________.
【解析】由题意，集合 ∩ 中的元素个数为2，即 ∩ 为二元集合，
易知 = {| > 3或 < −3},
设 = 2 − 8 + ,函数图象如图2-1所示，则 ∩ 中的
52 − 8 × 5 + < 0,
+
=
2−
+
,即 =
2
1
,即实数
2
2+1
,
2
2−1
=
时取等号.
2
1
的最大值为 2 − .
2
1
2
− ≥2
例3 (全国高中数学联赛福建赛区预赛)若正实数,满足 + 2 = 9,则 5 的最大
值为
.
【答案】54
【解析】由题设知，9 = + 2 =
所以33
45
}.
8
感谢观看
另外,不少同学会这样来做：
1

1

∵ > 0, > 0,∴ + ≥ 2, + ≥ 2 ③，
∴ +
1

+
1

≥ 4.
上面的证明看似正确，但没有达到我们的目标，下面分析一下原因：

1
+

1

≥ 2,当且仅当 =
1
,即

= 1时取等号，但由 > 0, > 0, + = 1知 < 1,因此
1
时取等号）,
2
∴ 4[ − 1
综上可得
2
1
+ 1] ≥ 4[ − 1
4
1
1
25
+
+ ≥ .


4
2
+ 1] =
25
.
4
上面的证明同学们看懂并不困难，并且这样处理很快就可解决问题.但是其中的关键
步骤，如缩小变形①与恒等变形②是怎样想到的呢？同学们往往无法体会，而这恰
恰是解题研究的精髓.为此，同学们不妨自己动手做一做，看看会出现什么问题.
最小值.
【解析】由柯西不等式可知
2 + 2 + 2 + 2 =
2 + 2 + 2 + 2
2 + 2 + 2 + 2 + 2 2 + 2 ⋅ 2 + 2 ≥
+
2


+ +


2
=
当且仅当 = 时，即 =
故原式的最小值为
+

,
+
⇔ 4 − 1 − 8 ≥ 0 ⑨.
1
4
易得0 < ≤ ,
∴ 4 − 1 ≤ 0, − 8 < 0.
因此⑨式成立，故原不等式成立.
命题点1 利用基本不等式求最值
例2 (2023·全国高中数学联赛吉林赛区预赛)
若不等式 + 2 + 2 ≥ + 对任意满足 + ≥ 的正实数,,均成立，则实
1

1

1

+ ≥ 2与 + ≥ 2中的等号都不能取到，只能是 + > 2与 + > 2.
这就是说，缩小变形③是不恰当的，缩得过小,此路不通！
我们再认真观察题目的特点，不难发现：所给条件和结论中字母和是“对称”的，
1
2
为此，我们取 = = ,代入 +
1

+
1

25
4
1
2
中，得 .这说明，当 = = 时，
≥
3
⋅
1

2
1
⋅
2
⋅
2, 5
号成立.
所以 5 的最大值为54.
≤ 2⋅
33
=
1

2
+
1

2
+ 2 ≥ ⋅ 3
1
54,当且仅当
2
3
1

2
⋅
1

2
⋅ 2，
= 2,即 = 6, =
6
时等
4
例4
1
(全国高中数学联赛四川赛区预赛)已知正实数,满足
+3
+
1
2+