【创新设计】(江苏专用)高考数学一轮复习 第十四章 第3讲 合情推理与演绎推理配套课件 理 新人教A版

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解析
x x 由 f(x)＝ (x>0)得，f1(x)＝ f(x)＝ ， x＋ 2 x＋ 2
x x f2(x)＝ f(f1(x))＝ ＝ 2 2， 3x＋ 4 2 － 1 x＋ 2 x x f3(x)＝ f(f2(x))＝ ＝ 3 3， 7x＋ 8 2 － 1 x＋ 2 x x f4(x)＝ f(f3(x))＝ ＝ 4 4， 15x＋ 16 2 － 1 x＋ 2 …… x ∴当 n≥ 2 且 n∈ N 时， fn(x)＝f(fn－ 1(x))＝ n n. 2 － 1 x＋ 2 x 答案 2n－1 x＋2n
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(小前提 ) (小前提 ) (结论)
[方法总结] 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式 是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是 大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．
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2x－1 【训练 3】 已知函数 f(x)＝ x (x∈R)， 2 ＋1
(1)判定函数f(x)的奇偶性； (2)判定函数f(x)在R上的单调性，并证明．
*
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考向二
类比推理
【例 2】 在平面几何里， 有“若△ABC 的三边长分别为 a， b， 1 c， 内切圆半径为 r， 则三角形面积为 S△ABC＝ (a＋b＋c)r”， 2 拓展到空间，类比上述结论，“若四面体 ABCD 的四个面 的面积分别为 S1，S2，S3，S4，内切球的半径为 r，则四面 体的体积为________”． 解析 三角形的面积类比为四面体的体积， 三角形的边长类 比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半 1 1 1 径． 二维图形中 类比为三维图形中的 ， 得 V 四面体 ABCD＝ (S1 2 3 3 ＋S2＋S3＋S4)r.
90°，5°＋100°－15°＝90°，13°＋35°＋42°＝90°.于
是通过类比可得． 答案 ＝1
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当α＋β＋γ＝90°时，tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α
考向一
【例1】 观察下列等式：
归纳推理
可以推测：13＋23＋33＋…＋n3＝________(n∈N*，用含 有n的代数式表示)．
解 2－x－ 1 1－ 2x (1)对∀x∈ R 有－ x∈ R，并且 f(－x)＝ －x ＝ x＝ 2 ＋ 1 1＋ 2
2x－ 1 － x ＝－ f(x)，所以 f(x)是奇函数． 2 ＋1 (2)f(x)在 R 上单调递增，证明如下： 任取 x1， x2∈ R，并且 x1＞ x2， 2x1－ 1 2x2－ 1 f(x1)－ f(x2)＝ － 2x1＋ 1 2x2＋ 1
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4．(2010· 陕西卷)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23 ＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．
解析 13 ＋ 23 ＝ 32＝ (1＋ 2)2,13 ＋ 23＋ 33＝ 62＝ (1＋ 2＋ 3)2,13＋ 23 ＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2，则 13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋… n n＋ 1 2 2 3 3 3 ＋n) ＝ ，故第五个等式即为当 n ＝ 6 时， 1 ＋ 2 ＋ 3 2 6× 7 2 3 3 3 2 ＋4 ＋5 ＋6 ＝ ＝ 21 . 2 答案 13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
2 为公比的等比数列．
(结论 )
(大前提是等比数列的定义，这里省略了 ) Sn＋ 1 Sn－ 1 (2)由 (1)可知 ＝ 4· (n≥ 2)， n＋ 1 n－ 1 Sn－ 1 n－ 1＋ 2 ∴ Sn＋1＝ 4(n＋ 1)· ＝ 4· · Sn－1 n－ 1 n－ 1 ＝ 4an(n≥ 2) 又 a2＝ 3S1＝ 3， S2＝ a1＋ a2＝ 1＋ 3＝ 4＝ 4a1， ∴对于任意正整数 n，都有 Sn＋1＝ 4an (第(2)问的大前提是第 (1)问的结论以及题中的已知条件 )
答案 1 2 n (n＋1)2 4
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[方法总结] 所谓归纳，就是由特殊到一般，因此在归纳时
就要分析所给条件之间的变化规律，从而得到一般结论．
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x 【训练 1】 (2011· 山东)设函数 f(x)＝ (x>0)，观察： x＋2 x f1(x)＝f(x)＝ ， x＋ 2 x f2(x)＝f(f1(x))＝ ， 3x＋4 x f3(x)＝f(f2(x))＝ ， 7x＋8 x f4(x)＝f(f3(x))＝ ， 15x＋16 …… 根据以上事实，由归纳推理可得： 当 n∈N*且 n≥ 2 时， fn(x)＝f(fn－ 1(x))＝ ________.
解析
n
利用等比数列性质，即若 m＋n＝p＋q，则 bm· bn＝
bp· bq ，得 T 2 (bnbn － 1…b2b1) ＝ (b1bn)n ，即 Tn ＝ n ＝ (b1b2…bn)· (b1bn)2.
答案 (b1bn)2
n
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考向三
演绎推理
【例 3】 数列{an}的前 n 项和记为 Sn，已知 a1＝1，an＋1 n＋2 ＝ S (n∈N＋)，证明： n n
在空间内，若两个正方体的棱长的比为1∶2，则它们的 体积比为________． 解析 答案 由正方体的体积之比等于棱长的立方之比可得． 1∶8
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2．给出下列三个类比结论． ①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn； ②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β) ＝sin αsin β； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋ 2a· b＋b2. 其中结论正确的序号是________． 答案 ③
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考向四
推理的应用
x2 【例 4】 (2012· 无锡第一学期期末考试 )命题 p：已知椭圆 2 a y2 ＋ 2＝ 1(a>b>0)，F1，F2 是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上 b 的一个动点，过点 F2 作∠F1PF2 的外角平分线的垂线， 垂足为 M，则 OM 的长为定值．类比此命题，在双曲线 x2 y2 中也有命题 q：已知双曲线 2－ 2＝ 1(a>0，b>0)，F1，F2 a b 是双曲线的两个焦点， P 为双曲线上的一个动点，过点 F2 作∠F1PF2 的________的垂线，垂足为 M，则 OM 的 长为定值．
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5．(2011· 盐城调研)观察下列几个三角恒等式：
①tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1； ②tan 5°tan 100°＋tan 100°tan(－15°)＋tan(－15°)
tan 5°＝1；
③tan 13°tan 35°＋tan 35°tan 42°＋tan 42°tan 13°＝1. 一般地，若tan α，tan β，tan γ都有意义，你从这三个恒等式中 猜想得到的一个结论为________． 解析 由于三个等式中，角度之间满足10°＋20°＋60°＝
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2x1－ 1 2x2＋ 1－ 2x2－ 12x1＋ 1 ＝ 2x1＋ 1 2x2＋ 1 2 2x1－ 2x2 ＝ . 2x1＋ 1 2x2＋ 1 ∵ x1＞ x2，∴ 2x1＞ 2x2＞ 0， 即 2x1－ 2x2＞ 0，又∵ 2x1＋ 1＞ 0,2x2＋ 1＞ 0. 2 2x1－ 2x2 ∴ ＞ 0. 2x1＋ 1 2x2＋ 1 ∴ f(x1)＞f(x2)． ∴ f(x)在 R 上为单调递增函数．
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解析
第二列等式的右端分别是 1×1,3×3,6×6,10×10,
15×15， ∵1,3,6,10,15， …第 n 项 an， 与第 n－1 项 an－1(n≥2) 的差为：an－an－1＝n，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝ 4，…，an－an－1＝n，各式相加得， an＝a1＋2＋3＋…＋n， 其中 a1＝1， ∴an＝1＋2＋3＋…＋n， nn＋1 1 2 2 即 an ＝ ，∴an＝ n (n＋1)2. 2 4
(2)类比推理的特点 ①类比推理是由特殊到特殊的推理；
②类比推理属于合情推理，其结论具有或然性，可能为真，
也可能为假； ③类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相 关，类比得出的命题就越可靠．
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3．演绎推理
(1)定义：演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按
照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程． (2)演绎推理的特点 ①演绎推理是由一般到特殊的推理； ②当前提为真时，结论必然为真．
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3．“因为指数函数 y＝a 是增函数(大前提)，而 数函数(小前提)ຫໍສະໝຸດ 所以函数1 x y＝ 3
x
1 x y＝ 是指 3
是增函数(结论)”，上
面推理的错误在于________错误导致结论错．
解析
“指数函数y＝ax是增函数”是本推理的大前提，它
是错误的，因为实数a的取值范围没有确定，所以导致结 论是错误的． 答案 大前提错
第3讲 合情推理与演绎推理
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考点梳理
1．归纳推理 (1)定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类 每一个事物都有这种属性的推理．或者由个别事实概 事物中______ 括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)． (2)归纳推理的特点
①归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理；
(3)演绎推理的主要形式是三段论，其一般模式为：
①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
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【助学· 微博】 一个命题解读 本部分内容是新课标内容，高考考查的几率非常大．对归 纳推理与类比推理仍会以填空形式考查，主要是由个别情 况归纳出一般结论，或运用类比的形式给出某个问题的结 论．而演绎推理以解答题出现的可能性较大，因此要求学 生具备一定的逻辑推理能力． 两个防范
②归纳推理的结论不一定为真； ③归纳的个别情况越多，越具有代表性，推广的一般性命题 就越可靠．
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2．类比推理 (1)定义：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基 础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有 类似 的其他特征的推理，称为类比推理．类比推理是两 _____
类事物特征之间的推理．
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【训练 2】 (2012· 盐城模拟)记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， 利用倒序求和的方法，可将 Sn 表示成首项 a1、末项 an 与 n a1＋an 项数 n 的一个关系式，即公式 Sn＝ ；类似地，记 2 等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn， 且 bn>0(n∈ N*)， 试类比等 差数列求和的方法，可将 Tn 表示成首项 b1、末项 bn 与项 数 n 的一个关系式，即公式 Tn＝ ________.
(1)合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想
的结论都要经过进一步严格证明． (2)演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理 数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．
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考点自测
1．(2012· 盐城市第一学期摸底考试)在平面上，若两个正方
形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4；类似地，
Sn (1)数列 是等比数列； n
(2)Sn＋1＝4an.
证明
n＋2 (1)∵an＋ 1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝ Sn ， n
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即 nSn＋1＝2(n＋1)Sn. Sn＋ 1 Sn ∴ ＝2· ， n n＋1 (小前提)
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Sn 故 是以 n
答案 1 V 四面体 ABCD＝ (S1＋S2＋S3＋S4)r 3
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[方法总结] (1)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正
在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新 的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事
物的特殊属性；(3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，
但它却有发现的功能．