高二数学电子题库2.3双曲线2.3.2含答案苏教版选修21

1.(2011·高考安徽卷改编)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是________．
解析：∵2x 2－y 2＝8，∴x 24－y 2
8
＝1，
∴a ＝2，∴2a ＝4. 答案：4
2.(2010·高考北京卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 2
9
＝1的焦点相
同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．
解析：双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出为(±4，0)，又双曲线离心率为2，即c
a
＝2，c
＝4，故a ＝2，b ＝23，渐近线为y ＝±b
a
x ＝±3x .
答案：(±4，0) 3x ±y ＝0
3.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程是________．
解析：由题意得2a ＋2b ＝22c ，即a ＋b ＝2c ，又因为a ＝2，c 2＝a 2＋b 2＝4＋b 2，所以b ＝2c －2，所以c 2＝4＋(2c －2)2，即c 2－42c ＋8＝0，所以c ＝22，b ＝2，所求的双曲线
的标准方程是y 24－x 2
4＝1.
答案：y 24－x 2
4
＝1
4.(2011·高考湖南卷改编)设双曲线x 2a 2－y 2
9
＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为
________．
解析：渐近线方程可化为y ＝±32x .∵双曲线的焦点在x 轴上，∴9a 2＝(±3
2
)2，解得a ＝±2，
由题意知a >0，∴a ＝2.
答案：2 5.(2010·高考辽宁卷改编)设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________．
解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，F (c ，0)，B (0，b )，直线FB ：bx ＋cy －bc ＝
0与渐近线y ＝b
a
x 垂直，所以⎝⎛⎭⎫－b c ·b a ＝－1，即b 2＝ac ，所以c 2－a 2＝ac ，即e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－5
2(舍去)．
答案：5＋1
2
[A 级 基础达标]
1.已知双曲线C 经过点(1，1)，它的一条渐近线方程为y ＝3x ，则双曲线C 的标准方程是________．
解析：设双曲线的方程为y 2－3x 2＝λ(λ≠0)，将点(1，1)代入可得λ＝－2，故双曲线C 的
标准方程是x 223－y 2
2＝1.
答案：x 223
－y 2
2＝1
2.(2011·高考北京卷)已知双曲线x 2－y 2b
2＝1(b >0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则b ＝________．
解析：∵双曲线的焦点在x 轴上，∴b a ＝2，∴b 2
a
2＝4.
∵a 2＝1，∴b 2＝4.又∵b >0，∴b ＝2. 答案：2
3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为x －2y ＝0，则它的离心率为________．
解析：由双曲线焦点在y 轴上，一条渐近线方程为x －2y ＝0，可知a b ＝12，则e ＝c a ＝
c 2
a 2
＝a 2＋b 2a 2＝ 1＋b 2
a
2＝ 5.
答案： 5
4.已知双曲线x 29－y 2
16
＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 作平行于双曲线的一条渐近线
的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．
解析：由题意求出双曲线中a ＝3，b ＝4，c ＝5，则双曲线渐近线方程为y ＝±4
3
x ，不妨设
直线BF 斜率为4
3
，可求出直线BF 的方程为4x －3y －20＝0①，将①式代入双曲线方程解得y B
＝－3215，则S △AFB ＝12AF ·|y B |＝12(c －a )·3215＝3215
.
答案：3215
5.(2011·高考山东卷改编)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2
－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为________．
解析：双曲线的渐近线方程为bx ＋ay ＝0和bx －ay ＝0，圆心为(3，0)，半径r ＝2.由圆心
到直线的距离为r ＝|3b |
a 2＋b
2，所以4a 2＝5b 2，又双曲线的右焦点为圆C 的圆心，所以c ＝3，
即9＝a 2＋b 2，a 2＝5，b 2
＝4.故所求双曲线方程为x 25－y 2
4
＝1.
答案：x 25－y
24
＝1
6.已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与
双曲线的左支交于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，试求该双曲线的离心率．
解：由△ABF 2是正三角形，则在Rt △AF 1F 2中，有∠AF 2F 1＝30°，∴AF 1＝1
2
AF 2，又AF 2
－AF 1＝2a ，
∴AF 2＝4a ，AF 1＝2a ，又F 1F 2＝2c ，
又在Rt △AF 1F 2中有AF 21＋F 1F 22＝AF 22，即4a 2＋4c 2＝16a 2
，∴e ＝ 3.
7.设双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过(a ，0)、(0，b )两点，且点(1，0)
到直线l 的距离与点(－1，0)到直线l 的距离之和s ≥4
5
c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．
解：直线l 过(a ，0)、(0，b )两点，得到直线方程为bx ＋ay －ab ＝0.
由点到直线的距离公式，且a >1，得点(1，0)到直线l 的距离为d 1＝（a －1）b
a 2＋
b 2
，
同理得到点(－1，0)到直线l 的距离为d 2＝（a ＋1）b a 2＋b
2，由s ≥45c 得到2ab c ≥4
5c ①.将b 2＝c 2
－a 2代入①式的平方，整理得4c 4－25a 2c 2＋25a 4≤0，
两边同除以a 4
后令c 2
a
2＝x ，得到4x 2－25x ＋25≤0，
解得5
4≤x ≤5，
又e ＝c a ＝x ，故5
2
≤e ≤ 5.
[B 级 能力提升]
8.(2011·高考课标全国卷改编)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为________．
解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称
轴垂直，因此直线l 的方程为l ：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2⎝⎛⎭⎫c 2a 2－1＝b 4
a
2，∴y ＝
±b 2a ，故AB ＝2b 2a
， 依题意2b 2a ＝4a ，∴b 2
a 2＝2，
∴c 2－a 2a
2＝e 2
－1＝2，∴e ＝ 3.
答案： 3
9.(2011·高考浙江卷改编)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 2
4
＝1有公共的
焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则b 2＝________．
解析：C 2的一条渐近线为y ＝2x ，设渐近线与椭圆C 1：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的交点分别为C (x 1，
2x 1)，D (x 2，2x 2)，则OC 2＝x 21＋4x 21＝⎝⎛⎭⎫a 32，即x 21＝a 245，又由C (x 1，2x 1)在C 1：x 2a 2＋y 2b
2＝1上，
所以有145＋4a 2
45b 2
＝1，①
又由椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2
－y 2
4＝1有公共的焦点可得a 2－b 2＝5，②
由①②可得b 2＝1
2
.
答案：12
10.已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点M (4，－10)． (1)求双曲线方程；
(2)若点N (3，m )在双曲线上，求证：NF 1→·NF 2→
＝0； (3)求△F 1NF 2的面积．
解：(1)∵e ＝2，故可设等轴双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)， ∵过点M (4，－10)，∴16－10＝λ，∴λ＝6.
∴双曲线方程为x 26－y 2
6
＝1.
(2)证明：由(1)可知：在双曲线中，a ＝b ＝6，∴c ＝2 3. ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)． ∴NF 1→＝(－23－3，－m )，NF 2→
＝(23－3，－m )． ∴NF 1→·NF 2→
＝[(－23－3)·(23－3)]＋m 2 ＝－3＋m 2.
∵N 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，∴m 2＝3. ∴NF 1→·NF 2→
＝0.
(3)∵△F 1NF 2的底F 1F 2＝43，高h ＝|m |＝3，∴△F 1NF 2的面积S ＝6. 11.
(创新题)热电厂的冷却塔的外形是双曲线型，是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所成的曲面，它的最小直径是24 m ，上口直径是26 m ，下口直径是50 m ，高是55 m ，建立如图所示的直角坐标系，求此双曲线的方程(精确到1 m)．
解：设所求双曲线的方程是x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，那么AA ′＝2a ＝24，a ＝12，点B ，C 的
横坐标分别是－25，－13，
设点B ，C 的坐标分别是(－25，y 1)，(－13，y 2)，(y 1<0，y 2>0)，
所以⎩
⎨⎧625144－y 21
b 2＝1169144－y 22
b
2＝1，解得：y 1＝－48112b ，y 2
＝512b ， 又因为塔高为55 m ，所以y 2－y 1＝55，即512b ＋481
12
b ＝55，b ≈25，故所求的双曲线的方
程是x 2144－y 2
625＝1.。