高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 函数的单调性与导数习题 新人教A版选修22

第一章 1.3 1.3.1 函数的单调性与导数
A 级 基础巩固
一、选择题
1．在下列结论中，正确的有( A ) (1)单调增函数的导数也是单调增函数； (2)单调减函数的导数也是单调减函数； (3)单调函数的导数也是单调函数； (4)导函数是单调的，则原函数也是单调的． A ．0个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
[解析] 分别举反例：(1)y ＝ln x ，(2)y ＝1x
(x >0)，(3)y ＝2x ，(4)y ＝x 2
，故选A ．
2．函数f (x )＝ax 3
－x 在R 上为减函数，则( A ) A ．a ≤0 B ．a <1 C ．a <2
D ．a ≤13
[解析] f ′(x )＝3ax 2
－1≤0恒成立，∴a ≤0．
3．(2017·宣城高二检测)函数f (x )＝2x
＋x 3
－2在区间(0,1)内的零点个数是( B ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
[解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力．
∵f (x )＝2x ＋x 3－2,0<x <1，∴f ′(x )＝2x ln2＋3x 2
>0在(0,1)上恒成立，∴f (x )在(0,1)上单调递增．
又f (0)＝20
＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0，f (0)f (1)<0，则f (x )在(0,1)内至少有一个零点，
又函数y ＝f (x )在(0,1)上单调递增，则函数f (x )在(0,1)内有且仅有一个零点． 4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( B ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x e 2
C ．y ＝x 3
－x
D ．y ＝ln x －x
[解析] 对于B ，y ＝x e 2
，则y ′＝e 2
，∴y ＝x e 2
在R 上为增函数，在(0，＋∞)上也为增函数，选B ．
5．(2018·商洛模拟)设f (x )在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f ′(x )的图
象可能是( B )
[解析] 由f (x )的图象可得，在y 轴的左侧，图象下降，f (x )递减， 即有导数小于0，可排除C ，D ；
再由y 轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降， 函数f (x )递减，再递增，后递减， 即有导数先小于0，再大于0，最后小于0， 可排除A ；则B 正确． 故选B ．
6．若f (x )＝ln x
x
，e<a <b ，则( A )
A ．f (a )>f (b )
B ．f (a )＝f (b )
C ．f (a )<f (b )
D ．f (a )f (b )>1
[解析] 因为f ′(x )＝1－ln x
x
2
， ∴当x >e 时，f ′(x )<0，则f (x )在(e ，＋∞)上为减函数，因为e<a <b ， 所以f (a )>f (b )．选A ． 二、填空题
7．(2018·无锡期末)函数f (x )＝x ＋2cos x (0≤x ≤2π)的单调递减区间为(π6，5π6)．
[解析] ∵函数y ＝x ＋2cos x ，∴y ′＝1－2sin x ＜0， ∴sin x ＞1
2
，
又∵x ∈[0,2π]，∴x ∈(π6，5π6)，故答案为(π6，5π
6
)．
8．(2018·沙市区校级期中)函数y ＝x 3－x 2
－x 的单调增区间为(－∞，13)，(1，＋∞)．
[解析] 由y ＝x 3－x 2－x ，∴f ′(x )＝3x 2
－2x －1＝3(x ＋13
)(x －1)．
令f ′(x )＝0，解得x ＝－1
3，1．
列表如下：
由表格可知：函数f (x )的单调递增是(－∞，－3)，(1，＋∞)；
故答案为(－∞，1
3)，(1，＋∞)．
三、解答题
9．(2018·天津理，20(1))已知函数f (x )＝a x
，g (x )＝log a x ，其中a >1．求函数h (x )＝f (x )－x ln a 的单调区间．
[解析] 由已知，h (x )＝a x
－x ln a ，有h ′(x )＝a x
ln a －ln a ． 令h ′(x )＝0，解得x ＝0．
由a >1，可知当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：
所以函数h
10．(2017·长沙高二检测)已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2
－2ax )e x
．设f (x )在区间[－1,1]上是单调函数，求a 的取值范围．
[解析] ∵f (x )＝(x 2
－2ax )e x
， ∴f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x
＝e x [x 2
＋2(1－a )x －2a ]
令f ′(x )＝0，即x 2＋2(1－a )x －2a ＝0， 解x 1＝a －1－1＋a 2
，x 2＝a －1＋1＋a 2
， 其中x 1<x 2，
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表
1212∴x 2≥1，即a －1＋1＋a 2
≥1，
∴a ≥34
．
B 级 素养提升
一、选择题
1．(2018·和平区二模)已知f (x )是定义在R 上的函数，它的图象上任意一点P (x 0，y 0)处的切线方程为y ＝(x 2
0－x 0－2)x ＋(y 0－x 3
0＋x 2
0＋2x 0)，那么函数f (x )的单调递减区间为( A )
A ．(－1,2)
B ．(－2,1)
C ．(－∞，－1)
D ．(2，＋∞)
[解析] 因为函数f (x )，(x ∈R )上任一点(x 0，y 0)的切线方程为
y ＝(x 20－x 0－2)x ＋(y 0－x 30＋x 2
0＋2x 0)，
即函数在任一点(x 0，y 0)的切线斜率为k ＝x 2
0－x 0－2， 即知任一点的导数为f ′(x )＝x 2
－x －2＝(x －2)(x ＋1)，
由f ′(x )＜0，得－1＜x ＜2，即函数f (x )的单调递减区间是(－1,2)． 故选A ．
2．(2018·黔东南州一模)已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2
x －1，则函数y ＝ln f (x )的单调递增区间是( A )
A ．(k π－π8，k π＋π
8](k ∈Z )
B ．[k π－3π8，k π＋π
8)(k ∈Z )
C ．[k π＋π8，k π＋3π
8)(k ∈Z )
D ．[k π＋π8，k π＋5π
8
](k ∈Z )
[解析] 由已知，化简得f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π
4)，
又y ＝ln f (x )与y ＝f (x )的单调性相同且f (x )＞0， 所以2x ＋π4∈(2k π，2k π＋π
2]，
∴x ∈(k π－π8，k π＋π
8](k ∈Z )，
故选A ．
3．若函数f (x )＝x －1
3sin2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( C )
A ．[－1,1]
B ．[－1，1
3
]
C ．[－13，13]
D ．[－1，－1
3
]
[解析] 函数f (x )＝x －1
3sin2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f ′(x )＝1
－23cos2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋5
3
≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x ＝t ， 则g (t )＝－43t 2＋at ＋5
3
≥0在[－1,1]恒成立，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
g
＝－43＋a ＋5
3≥0
g
－
＝－43－a ＋53
≥0
，
解得－13≤a ≤1
3．故选C ．
二、填空题
4．已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋(2a －3)x －1．
(1)若f (x )的单调减区间为(－1,1)，则a 的取值集合为{0}． (2)若f (x )在区间(－1,1)内单调递减，则a 的取值集合为{a |a <0}． [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋2a －3＝(x ＋1)(3x ＋2a －3)． (1)∵f (x )的单调减区间为(－1,1)， ∴－1和1是方程f ′(x )＝0的两根， ∴
3－2a
3
＝1，∴a ＝0，∴a 的取值集合为{0}． (2)∵f (x )在区间(－1,1)内单调递减，∴f ′(x )<0在(－1,1)内恒成立，又二次函数y ＝f ′(x )开口向上，一根为－1，∴必有3－2a 3
>1，∴a <0，
∴a 的取值集合为{a |a <0}． 三、解答题
5．(2017·驻马店高二检测)已知函数f (x )＝(ax 2
＋x －1)e x
，其中e 是自然对数的底数，
a ∈R ．
(1)若a ＝1，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若a ＝－1，求f (x )的单调区间．
[解析] (1)因为f (x )＝(x 2
＋x －1)e x ，所以f ′(x )＝(2x ＋1)e x ＋(x 2＋x －1)e x ＝(x 2
＋3x )e x
，所以曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为k ＝f ′(1)＝4e ．
又因为f (1)＝e ，所以所求切线方程为y －e ＝4e(x －1)， 即4e x －y －3e ＝0．
(2)f (x )＝(－x 2＋x －1)e x ，因为f ′(x )＝－x (x ＋1)e x
，令f ′(x )<0， 得x <－1或x >0；f ′(x )>0 得－1<x <0．
所以f (x )的减区间为(－∞，－1)，(0，＋∞)，增区间为(－1,0)． 6．(2018·咸阳期末)已知函数f (x )＝12ax 2
－ln x －2．
(1)当a ＝1时，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若a ＞0，求函数f (x )的单调区间． [解析] (1)当a ＝1时，f (x )＝12
x 2
－ln x －2，
f ′(x )＝x －1
x
，
∴f ′(1)＝0，f (1)＝－3
2
，
∴曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－3
2
；
(2)∵f ′(x )＝ax 2－1
x (x ＞0)，
a ＞0时，令f ′(x )＞0，解得：x ＞
a a ，令f ′(x )＜0，解得：0＜x ＜a a
， ∴f (x )在(0，
a a )递减，在(a
a
，＋∞)递增． C 级 能力拔高
已知函数f (x )＝x 2
＋2a ln x ． (1)求函数f (x )的单调区间；
(2)若函数g (x )＝2
x
＋f (x )在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围．
[解析] (1)f ′(x )＝2x ＋2a x ＝2x 2
＋2a
x
，
函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．
①当a ≥0时，f ′(x )>0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； ②当a <0时f ′(x )＝
x ＋－a
x －－a
x
．
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下：
(2)由g (x )＝2x ＋x 2
＋2a ln x ，得g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2a x
，
由已知函数g (x )为[1,2]上的单调减函数， 则g ′(x )≤0在[1,2]上恒成立， 即－2x 2＋2x ＋2a
x
≤0在[1,2]上恒成立．
即a ≤1x
－x 2
在[1,2]上恒成立．
令h (x )＝1x －x 2
，x ∈[1,2]，则h ′(x )＝－1x 2－2x ＝－(1x
2＋2x )<0，
∴h (x )在[1,2]上为减函数．h (x )min ＝h (2)＝－7
2，
∴a ≤－72，故a 的取值范围为{a |a ≤－7
2
}．。