河南省青桐鸣大联考2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷

河南省青桐鸣大联考2024-2025学年高二上学期10月联考数学
试卷
一、单选题
1．在正三棱柱111ABC A B C -中，则平面ABC 内不可能存在一条直线与直线1AC （ ） A ．平行
B ．垂直
C ．相交
D ．异面
2．已知角θ∈R ，直线()1
cos 12
y x θ=-的倾斜角的取值范围是（ ） A ．3π,π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．3π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．{}3π,π04⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
U
3．已知退休的王大爷连续5天户外运动的步数（单位：百步）分别为50，49，51，48，52，则该组数据的均值与方差分别为（ ） A ．50，2
B ．50，10
C ．51，2
D ．51，1
4．已知在空间直角坐标系中， ()1,2,3a =r ，()0,1,3b =r ，则a r 在b r
方向上的投影向量为（ ）
A ．⎛ ⎝⎭
B ．⎛ ⎝⎭
C ．11330,,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．130,,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭
5．已知直线l 过点()1,2，且直线l 与直线1y ax =-平行，与直线11y x a a ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
垂直，
0a ≠，则直线l 的方程为（ ） A ．20x y +-= B ．240x y +-=
C ．20x y --=
D ．240x y --=
6．已知在ABC V 中， D ，E 分别为AC ，AB 的中点， BD b =u u u r r ，CE c =r u u u r ，则AB u u u r
可以用含b r ，c r
的式子表示为（ ）
A ．1433b c --r r
B ．4233b c --r r
C ．2433b c +r r
D ．4233
b c +r r
7．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a 45A =︒，则下列说法错误的是（ ）
A ．若60
B =︒，则b =B ．若120B =︒，则b
C ．若3
2
b =
，则B 有两解 D ．若2b =，则B 有两解
8．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中， 2AB =，14AA =，M 是该正四棱柱表面上的一动点，且满足1DM BD ⊥，则点M 的运动轨迹的长度为（ ）
A ．8
B ．
C ．
D ．
二、多选题
9．已知复数()i ,,0z a b a b b =+∈≠R ，z 为z 的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A ．若
2i
1i z
=+，则1i z =+ B ．若2i z z =-，则1b = C ．z z =
D ．若()2i z -为实数，则2a b =
10．已知某篮球运动员共投篮两次，记事件A =“第一次投篮投中”，事件B =“第二次投篮投中”，事件C =“两次投篮均投中”，则下列说法正确的是（ ）
A ．A ，
B 互为互斥事件 B ．A 与
C 互为互斥事件 C ．A B C =U
D ．A B ⋃与C 互为对立事件
11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC 与BD 的交点，平面11A BC 与平面ABCD 交于直线l ，则下列说法正确的是（ ）
A ．1//A
B 平面1
C OB B ．1AB ⊥平面1A BD
C ．l AC ∥
D ．存在一条直线与直线11A D ，1CC ，AB 都
相交
三、填空题
12．在平面直角坐标系中，向量()1,3a =r
，()1,2b =-r ，
且满足()()
a b a b λλ+⊥-r r r r ，其中0λ>，则λ=.
13．在四面体ABCD 中，点G 为ABD △的重心， E ，F ，H 分别为AB ，BD ，DA 的中
点，且CE CF CH kCG ++=u u u r u u u r u u u r u u u r
，则实数k =.
14．甲、乙、丙三人一同下棋（无平局），甲胜乙、乙胜丙、丙胜甲的概率分别为0.6，0.5，0.4.第一局由甲、乙二人先下，丙旁观，规则为负者在下一局旁观，胜者与丙比赛……依次类推.若其中有一人累计胜两局，则结束比赛，胜两局者最终获胜，则甲最终获胜的概率是.
四、解答题
15．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()2,3-，直线l ：()()22130x y λλλ++-+-=，
R λ∈.
(1)若直线l 过点A ，求λ的值； (2)求点A 到直线l 距离的最大值.
16．某高二实验班共有50名学生，数学老师为研究某次考试，将所有学生的成绩分成5组：[)100,110，[)110,120，[)120130
,，[)130140,，[]140,150，得到频率分布直方图如下.
(1)求a 的值，并估计本班学生成绩的中位数（计算结果保留1位小数）；
(2)全班共有24名女生，该次考试成绩在120分以下的女生有8人，则不低于120分的男生有多少人？
17．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且s i n s i n s i n s i n a A b B a B c C +-=.
(1)求角C 的值；
(2)若2c =，求ABC V 周长的最大值.
18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，平面ABC ⊥平面11BCC B ，1AB CC ⊥.
(1)证明：1CC ⊥平面ABC ；
(2)若1AC BC CC ==，求二面角1A C B C --的正弦值.
19．如图，在正三棱台111ABC A B C -中， 1122AB A B ==，11AB BC ⊥.
(1)求1AA 的长度；
(2)求三棱台111ABC A B C -的体积.。