最新北师大版数学八年级上册《2.7 二次根式(第3课时)》精品教学课件
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5 5 7 35 7 7 7 7
思考 如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的式子， 如： 2 1, 3 2 等，该怎样去掉分母中的二次根式呢？
根据整式的乘法公式在 二次根式中也适用，你 能想到什么好方法吗？
探究新知
素养考点 1 分母有理化的应用
例 计算: （1） 1 ；
3- 2
（2） 4 .
1 4
2
1 6
4
1 8
6
1 2018
. 2016
解：(1)
2 5
3
2 5 3 5 3 5
2 5 3 52
3 2
3
5
3;
2 53 5 3 5 3
5 3 5 3 5 3.
5 3
(2)
1 4 2 6 4 8 6 2018 2016 2
课堂小结
二次根 式混合 运算
北师大版 数学 八年级 上册
2.7 二次根式 第3课时
导入新知
有八只小白兔，每只身上都标有一个最简二次根式，你能 根据被开方数的特征将这些小白兔分到四个不同的栅栏里吗？
2
23
25
3 2
3 2 2 7 5
47
素养目标
3. 会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.
2. 熟练掌握二次根式的混合运算的运算法则. 1. 类比整式运算法则，掌握二次根式 的运算法则.
探究新知
知识点 1 二次根式的混合运算 回顾
二次根式加减法的步骤：
（1）将每个二次根式化为最简二次根式；
（2）找出其中的同类二次根式；
（3）合并同类二次根式.
交流归纳
一化 二找 三合并
探究新知
回顾 问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘 法法则分别是什么? m(a+b+c)=ma+mb+mc； (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb
2
2
2
18 8 1 8 144 4 12 2 ＝10 . 2
探究新知 素养考点 2
有关代数式的二次根式运算
例2 已知x 3 1, y 3 1, 试求x2+2xy+y2的值.
解： x2+2xy+y2=（x+y）2
把
代入上式得
原式= （ 3+1）+（ 3 1）2
（2 3）2
巩固练习
问题2 多项式与单项式的除法法则是什么? (ma+mb+mc)÷m=a+b+c
探究新知
前面两个问题的思路是：
转化
单×多
分配律
单×单
思考 若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同学任
选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一 样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.
变式训练
化简：
（1） 2 1 ； （2）12 3 1； （3）( 18 1 ) 8 .
5 10
3
2
解（：1） 2
5
1 10
25 55
110
1
1 10
10 1
10 ;
1010 5
10
10
（2） 12
3
1
43
3
1 3 2 31 33 4来自3;333
3
3
（3）( 18 1 ) 8 18 8 1 8 18 8 1 8
8
1
32 2
22 2
2 3 22 21 2
8
16
4
5 4
2
（3）( 24
1 ) 3 6
24
3
1 6
3
24 3
1 6
3
42
6
2
6
2
2
1 6
2
11 6
2
8
1 63
（4） 25
2
99 18
25 2 22
911
92
5 2
2 3 11 3 2
1 2 3 11 2
巩固练习
2
在进行类似于二次根式
的运算时，通常有如下两种方
3 1
法将其进一步化简：
方法一：
2
2 3 1 2 3 1
3 1
3 1
3 1
2 3 1; 3 1
方法二：
2
31
3 1
3 1 3 1.
3 1 3 1
3 1
课堂检测
拓广探索题
(1)请用两种不同的方法化简：
5
2
; 3
(2)化简：
3
(2) 2 18 - 50 1 45
3
10 2-6 3 3 2
6 2-5 2 5
13 2 - 6 3
2 5
课堂检测
基础巩固题
7.计算： （1）（ 32 2） 2
解：（1）（ 32 2） 2
4 2 2 2
（2）
1 2
3
1 2-
3
1
（2） 2
1 3 2-
3
2
2- 3
32-
3
2
2 3
变式训练
已知
，求x3y+xy3.
解:因为
所以 x y 3 2 3 2 2 3,
xy 3 2 3 2 3 2 1,
x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy[(x+y)2-2xy]
探究新知 知识点 3 分母有理化
在前面我们学习二次根式的除法法则时，学会了怎样去掉 分母的二次根式的方法，比如:
四则混合运算
化简求值
化简已知条件和所求代数式 分母有理化
你还有什么疑惑？
请与同伴交流！
小 结 与 思 考
这节课的学习你有 什么收获？
课后总结
通过这节课的学习，你明白了什 么? 还有什么疑问吗?
课后作业
1.基础型作业：梳理本节课知识点。 2.发展型作业：完成本课时练习。
总结点评 反思
同学们，这节课你们表现得都非常棒。 在以后的学习中，请相信你们是存在着巨 大的潜力的，发挥想象力让我们的生活更 精彩吧。
即a＜c＜b，
又因为
所以a+c＞b，
故能够成三角形，周长为
课堂检测
拓广探索题
1.已知a，b都是有理数，现定义新运算：a*b=
（2*3）－（27*32）的值．
a 3 b ，求
解： （2*3）－（27*32）
= 2 3 3 27 3 32
=
=
课堂检测
拓广探索题
2.阅读下列材料，然后回答问题：
2 2 3.
先代入后化简
原式= 1 a b b a b
a bb a
把a=3，b=2代入代数式中， 原式 2 2 3.
先化简后代入
探究新知
方法总结
解二次根式化简求值问题时，直接代入求 值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式 变形代入即可求得．
连接中考
1. 下列各数中与2 3的积是有理数的是（ D ）
5 1
解:（1）
1 3-
2
（
1（ 3 3- 2）（
2） 3
2）
3
（2）
4
5 1 （
（4 5-1） （4
5 1）（ 5-1）
5 -1）
4
2 5 -1
提示：分母形如 m a n b的式子，分子、分母同乘以 m a n b的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.
巩固练习
变式训练
已知
a
1 ,b 52
1 52
,求
a2 b2 2
.
解:∵
a2 b2 2 a b2 2ab 2
2
52 52 2 52 52 2
探究新知
议一议
化简
1 a
b
ab ，其中a=3，b=2.你是怎么做的？
解法一：
解法二：
哪种简便？
把a=3，b=2代入代数式中，
原式=
1 3
2
32
1 32 232 3
（2）4 18 - 9 2 =_3__2
（3）10 2 （3 8 - 7 2）=_9__2 （4）5 12 （- 3 8 2 27）=__4__3_-6__2__
课堂检测
基础巩固题
6.计算: (1)5 8-2 27 18; 解：(1) 5 8 - 2 27 18
(2) 2 18- 50 1 45.
探究新知 素养考点 1 利用二次根式的四则混合运算法则进行计算
例1 计算：
（1） 3 2 ;
2
3
（3）( 24 1 ) 3;
6
（2）
18
8
1; 8
（4）
25 2
99
18.
解：（1）
3 2
2 3
32 22
23 1 33 2
61 3
6 (1 1) 6 23
1 6
6
探究新知
（2）18
D. 3( 2 3) 6 2 3
5.
3.设 a 1 ，b 10 3则, a = b
10 3
(填“>”“ < ”或“= ”）.
课堂检测
基础巩固题
4.三角形的三边长分别为 20 ，40 ，45 ， 则这个三角形的周 长为___5 _5_+_2__1_0 _.
5.计算: （1）5 2 18 =_8__2
32-
3
2
4
32-
3
课堂检测
能力提升题
已知a,b,c满足
2
a 8
b5 c3 2 0
.
(1)求a,b,c的值；
(2)以a,b,c为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出
其周长；若不能，请说明理由.
解：(1)由题意得 a 8 2 2,b 5, c 3 2 ；
(2)能.理由如下： 因为
A．2 3 B．2
C． 3
D．2 - 3
2. 计算： 12 - 3 ＝（ A ）
A． 3
B．2 3
C．3
D．4 3
课堂检测
基础巩固题
1.下列计算中正确的是（ B ）
A. 3( 3 1 ) 3 3
C. 32 1 2 2 2
2.计算：（ 2+ 3）2 24
B.( 12- 27) 3 1
思考 如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的式子， 如： 2 1, 3 2 等，该怎样去掉分母中的二次根式呢？
根据整式的乘法公式在 二次根式中也适用，你 能想到什么好方法吗？
探究新知
素养考点 1 分母有理化的应用
例 计算: （1） 1 ；
3- 2
（2） 4 .
1 4
2
1 6
4
1 8
6
1 2018
. 2016
解：(1)
2 5
3
2 5 3 5 3 5
2 5 3 52
3 2
3
5
3;
2 53 5 3 5 3
5 3 5 3 5 3.
5 3
(2)
1 4 2 6 4 8 6 2018 2016 2
课堂小结
二次根 式混合 运算
北师大版 数学 八年级 上册
2.7 二次根式 第3课时
导入新知
有八只小白兔，每只身上都标有一个最简二次根式，你能 根据被开方数的特征将这些小白兔分到四个不同的栅栏里吗？
2
23
25
3 2
3 2 2 7 5
47
素养目标
3. 会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.
2. 熟练掌握二次根式的混合运算的运算法则. 1. 类比整式运算法则，掌握二次根式 的运算法则.
探究新知
知识点 1 二次根式的混合运算 回顾
二次根式加减法的步骤：
（1）将每个二次根式化为最简二次根式；
（2）找出其中的同类二次根式；
（3）合并同类二次根式.
交流归纳
一化 二找 三合并
探究新知
回顾 问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘 法法则分别是什么? m(a+b+c)=ma+mb+mc； (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb
2
2
2
18 8 1 8 144 4 12 2 ＝10 . 2
探究新知 素养考点 2
有关代数式的二次根式运算
例2 已知x 3 1, y 3 1, 试求x2+2xy+y2的值.
解： x2+2xy+y2=（x+y）2
把
代入上式得
原式= （ 3+1）+（ 3 1）2
（2 3）2
巩固练习
问题2 多项式与单项式的除法法则是什么? (ma+mb+mc)÷m=a+b+c
探究新知
前面两个问题的思路是：
转化
单×多
分配律
单×单
思考 若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同学任
选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一 样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.
变式训练
化简：
（1） 2 1 ； （2）12 3 1； （3）( 18 1 ) 8 .
5 10
3
2
解（：1） 2
5
1 10
25 55
110
1
1 10
10 1
10 ;
1010 5
10
10
（2） 12
3
1
43
3
1 3 2 31 33 4来自3;333
3
3
（3）( 18 1 ) 8 18 8 1 8 18 8 1 8
8
1
32 2
22 2
2 3 22 21 2
8
16
4
5 4
2
（3）( 24
1 ) 3 6
24
3
1 6
3
24 3
1 6
3
42
6
2
6
2
2
1 6
2
11 6
2
8
1 63
（4） 25
2
99 18
25 2 22
911
92
5 2
2 3 11 3 2
1 2 3 11 2
巩固练习
2
在进行类似于二次根式
的运算时，通常有如下两种方
3 1
法将其进一步化简：
方法一：
2
2 3 1 2 3 1
3 1
3 1
3 1
2 3 1; 3 1
方法二：
2
31
3 1
3 1 3 1.
3 1 3 1
3 1
课堂检测
拓广探索题
(1)请用两种不同的方法化简：
5
2
; 3
(2)化简：
3
(2) 2 18 - 50 1 45
3
10 2-6 3 3 2
6 2-5 2 5
13 2 - 6 3
2 5
课堂检测
基础巩固题
7.计算： （1）（ 32 2） 2
解：（1）（ 32 2） 2
4 2 2 2
（2）
1 2
3
1 2-
3
1
（2） 2
1 3 2-
3
2
2- 3
32-
3
2
2 3
变式训练
已知
，求x3y+xy3.
解:因为
所以 x y 3 2 3 2 2 3,
xy 3 2 3 2 3 2 1,
x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy[(x+y)2-2xy]
探究新知 知识点 3 分母有理化
在前面我们学习二次根式的除法法则时，学会了怎样去掉 分母的二次根式的方法，比如:
四则混合运算
化简求值
化简已知条件和所求代数式 分母有理化
你还有什么疑惑？
请与同伴交流！
小 结 与 思 考
这节课的学习你有 什么收获？
课后总结
通过这节课的学习，你明白了什 么? 还有什么疑问吗?
课后作业
1.基础型作业：梳理本节课知识点。 2.发展型作业：完成本课时练习。
总结点评 反思
同学们，这节课你们表现得都非常棒。 在以后的学习中，请相信你们是存在着巨 大的潜力的，发挥想象力让我们的生活更 精彩吧。
即a＜c＜b，
又因为
所以a+c＞b，
故能够成三角形，周长为
课堂检测
拓广探索题
1.已知a，b都是有理数，现定义新运算：a*b=
（2*3）－（27*32）的值．
a 3 b ，求
解： （2*3）－（27*32）
= 2 3 3 27 3 32
=
=
课堂检测
拓广探索题
2.阅读下列材料，然后回答问题：
2 2 3.
先代入后化简
原式= 1 a b b a b
a bb a
把a=3，b=2代入代数式中， 原式 2 2 3.
先化简后代入
探究新知
方法总结
解二次根式化简求值问题时，直接代入求 值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式 变形代入即可求得．
连接中考
1. 下列各数中与2 3的积是有理数的是（ D ）
5 1
解:（1）
1 3-
2
（
1（ 3 3- 2）（
2） 3
2）
3
（2）
4
5 1 （
（4 5-1） （4
5 1）（ 5-1）
5 -1）
4
2 5 -1
提示：分母形如 m a n b的式子，分子、分母同乘以 m a n b的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.
巩固练习
变式训练
已知
a
1 ,b 52
1 52
,求
a2 b2 2
.
解:∵
a2 b2 2 a b2 2ab 2
2
52 52 2 52 52 2
探究新知
议一议
化简
1 a
b
ab ，其中a=3，b=2.你是怎么做的？
解法一：
解法二：
哪种简便？
把a=3，b=2代入代数式中，
原式=
1 3
2
32
1 32 232 3
（2）4 18 - 9 2 =_3__2
（3）10 2 （3 8 - 7 2）=_9__2 （4）5 12 （- 3 8 2 27）=__4__3_-6__2__
课堂检测
基础巩固题
6.计算: (1)5 8-2 27 18; 解：(1) 5 8 - 2 27 18
(2) 2 18- 50 1 45.
探究新知 素养考点 1 利用二次根式的四则混合运算法则进行计算
例1 计算：
（1） 3 2 ;
2
3
（3）( 24 1 ) 3;
6
（2）
18
8
1; 8
（4）
25 2
99
18.
解：（1）
3 2
2 3
32 22
23 1 33 2
61 3
6 (1 1) 6 23
1 6
6
探究新知
（2）18
D. 3( 2 3) 6 2 3
5.
3.设 a 1 ，b 10 3则, a = b
10 3
(填“>”“ < ”或“= ”）.
课堂检测
基础巩固题
4.三角形的三边长分别为 20 ，40 ，45 ， 则这个三角形的周 长为___5 _5_+_2__1_0 _.
5.计算: （1）5 2 18 =_8__2
32-
3
2
4
32-
3
课堂检测
能力提升题
已知a,b,c满足
2
a 8
b5 c3 2 0
.
(1)求a,b,c的值；
(2)以a,b,c为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出
其周长；若不能，请说明理由.
解：(1)由题意得 a 8 2 2,b 5, c 3 2 ；
(2)能.理由如下： 因为
A．2 3 B．2
C． 3
D．2 - 3
2. 计算： 12 - 3 ＝（ A ）
A． 3
B．2 3
C．3
D．4 3
课堂检测
基础巩固题
1.下列计算中正确的是（ B ）
A. 3( 3 1 ) 3 3
C. 32 1 2 2 2
2.计算：（ 2+ 3）2 24
B.( 12- 27) 3 1