2020高中数学 活页作业26 函数模型的应用实例 新人教A版必修1

活页作业(二十六) 函数模型的应用实例
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( ) A ．14 400亩 B ．172 800亩 C ．20 736亩
D ．17 280亩
解析：设年份为x ，造林亩数为y ，则
y ＝10 000×(1＋20%)x －1，
∴x ＝4时，y ＝17 280(亩)．故选D. 答案：D
2.甲、乙两人在一次赛跑中，路程s 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A ．甲比乙先出发
B ．乙比甲跑的路程多
C ．甲、乙两人的速度相同
D ．甲先到达终点
解析：从题图可以看出，甲、乙两人同时出发(t ＝0)，跑相同多的路程(s 0)，甲用时(t 1)比乙用时(t 2)较少，即甲比乙的速度快，甲先到达终点．
答案：D
3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
4x ，1≤x <10，x ∈N *
，2x ＋10，10≤x <100，x ∈N *
，
1.5x ，x ≥100，x ∈N *，其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A ．15
B ．40
C ．25
D ．130
解析：令y ＝60，
若4x ＝60，则x ＝15>10，不合题意； 若2x ＋10＝60，则x ＝25，满足题意； 若1.5x ＝60，则x ＝40<100，不合题意； 故拟录用人数为25.故选C. 答案：C
4．用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( ) A ．3 m B ．4 m C ．5 m
D ．6 m
解析：设隔墙的长为x m ，矩形面积为S ，则
S ＝x ·
24－4x
2
＝x (12－2x ) ＝－2x 2
＋12x ＝－2(x －3)2
＋18(0<x <6)， 所以当x ＝3时，S 有最大值18. 答案：A
5．今有一组实验数据如下表所示：
A ．u ＝log 2t
B ．u ＝2t
－2 C ．u ＝
t 2－1
2
D ．u ＝2t －2
解析：由散点图可知，图象不是直线，排除D ；
图象不符合对数函数和一次函数的图象特征，排除A 、D ； 当t ＝3时，2t
－2＝23
－2＝6，
t 2－12＝
32－1
2
＝4，
而由表格知当t ＝3时，u ＝4.04，故模型u ＝t 2－1
2
能较好地体现这些数据关系．故选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．从盛满20 L 纯酒精的容器里倒出1 L ，然后用水加满，再倒出1 L 混合溶液，再用水加满，这样继续下去，则所倒次数x 和酒精残留量y 之间的函数关系为____________________．
解析：第一次倒完后，y ＝19； 第二次倒完后，y ＝19×1920＝19
2
201；
第三次倒完后，y ＝19×1920×1920＝19
3
202；
…
第x 次倒完后，y ＝19x
20x －1＝20×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1920x
.
答案：y ＝20×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1920x
7．将进货单价为8元的商品按10元/个销售时，每天可卖出100个，若此商品的销售单价涨1元，日销售量就减少10个，为了获取最大利润，此商品的销售单价应定为________元．
解析：设销售单价应涨x 元， 则实际销售单价为(10＋x )元， 此时日销售量为(100－10x )个，
每个商品的利润为(10＋x )－8＝2＋x (元)， ∴总利润y ＝(2＋x )(100－10x ) ＝－10x 2
＋80x ＋200
＝－10(x －4)2
＋360(0＜x ＜10，且x ∈N *
)． ∴当x ＝4时y 有最大值，此时单价为14元． 答案：14
8．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．
解析：七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2
，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2
]，根据题意有3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2
]≥7 000，即25(1＋x %)＋25(1＋x %)2≥66，令t ＝1＋x %，则25t 2
＋25t －66≥0，解得t ≥65或者t ≤－115(舍去)，故1＋x %≥65，解
得x ≥20.
答案：20
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v ＝12·log 3Q
100
，单位是m/s ，其中Q 表示鲑鱼的耗氧量的单位数． (1)当一条鲑鱼的耗氧量是2 700个单位时，它的游速是多少？ (2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数． 解：(1)由题意得v ＝12log 32 700100＝3
2
(m/s)．
当一条鲑鱼的耗氧量是2 700个单位时，它的游速是3
2 m/s.
(2)当一条鲑鱼静止时，即v ＝0(m/s)． 则0＝12log 3Q 100
，
解得Q ＝100.
所以当一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数是100.
10．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面的统计规律：每生产产品x 百台，其总成本为G (x )万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收
入R (x )(单位：万元)满足R (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
－0.4x 2
＋4.2x －0.8，0≤x ≤5，
10.2，x ＞5.
假定该产品产销平衡，那么根据上述统计
规律，解决下列问题：
(1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？
(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？并求此时每台产品的售价为多少． 解：依题意，G (x )＝x ＋2，设利润函数为f (x )，
则f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
－0.4x 2
＋3.2x －
x ，
8.2－x x ＞
(1)要使工厂有盈利，则有f (x )＞0. 当0≤x ≤5时，有－0.4x 2
＋3.2x －2.8＞0. 解得1＜x ＜7， ∴1＜x ≤5.
当x ＞5时，由8.2－x ＞0， 解得x ＜8.2，∴5＜x ＜8.2.
综上，要使工厂盈利，应满足1＜x ＜8.2，即产品数量应控制在大于100台小于820台的范围内． (2)当0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2
＋3.6，故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6，当x ＞5时，f (x )＜8.2－5＝3.2.
故当工厂生产400台产品时，盈利最大，此时，每台产品的售价为
R
4
400
＝240(元)．
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．某企业制定奖励条例，对企业产品的销售取得优异成绩的员工实行奖励，奖励金额(元)f (n )＝k (n )(n －
500)(n 为年销售额)，而k (n )＝
⎩
⎪⎨
⎪
⎧
n
＜n ＜
n
，若一员工获得400元的奖励，那么该员工一年
的销售额为( )
A ．800
B ．1 000
C ．1 200
D ．1 500
解析：根据题意，奖励金额f (n )可以看成年销售额n 的函数，那么该问题就是已知函数值为400时，求自变量n 的值的问题．据题中所给的函数关系式可算得n ＝1 500，故选D.
答案：D
2.如图，点P 在边长为1的正方形边上运动，设M 是CD 的中点，则当P 沿A －B －C －M 运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 之间的函数y ＝f (x )的图象大致是(
)
解析：依题意，当0<x ≤1时，S △APM ＝12×1×x ＝1
2x ；
当1<x ≤2时，
S △APM ＝S 梯形ABCM －S △ABP －S △PCM
＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×1－12×1×(x －1)－12×12×(2－x )＝－14x ＋3
4； 当2<x ≤2.5时，
S △APM ＝S 梯形ABCM －S 梯形ABCP
＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×1－1
2×(1＋x －2)×1 ＝34－12x ＋12 ＝－12x ＋54
.
∴y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
12
x x
，
－14x ＋
3
4x ，
－12x ＋54
x
再结合图象知应选A. 答案：A
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．某个病毒经30 min 繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt
(其中k 为常数，t 表示时间，单位：h ，y 表示病毒个数)，则k ＝______，经过5 h,1个病毒能繁殖为________个．
解析：当t ＝0.5时，y ＝2， ∴2＝e 1
2k .∴k ＝2ln 2.
∴y ＝e
2t ln 2
.
当t ＝5时，y ＝e 10ln 2
＝210
＝1 024.
答案：2ln 2 1 024
4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为__________m.
解析：如图，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，交DE 于点F ，易知DE BC ＝x 40＝AD AB ＝AF
AH ，又AH ＝BC ＝40 m ，则DE ＝AF
＝x ，FH ＝40－x .则S ＝x (40－x )＝－(x －20)2
＋400.当x ＝20 m 时，S 取得最大值400 m 2
.故填20.
答案：20
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别是40 cm 与60 cm ，现在将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪才能使剩下的残料最少？并求出此时残料的面积．
解：设直角三角形为△ABC ，AC ＝40 cm ，BC ＝60 cm ，矩形为CDEF ，如图所示，
设CD ＝x cm ，CF ＝y cm ，则由Rt △AFE ∽Rt △EDB 得AF ED ＝FE BD ，即40－y y ＝x 60－x ，解得y ＝40－2
3
x . 记剩下的残料面积为S ，则
S ＝1
2×60×40－xy ＝23x 2－40x ＋1 200＝23
(x －30)2＋600(0<x <60)，
故当x ＝30时，S min ＝600，此时y ＝20.
所以当CD ＝30 cm ，CF ＝20 cm 时，剩下的残料面积最小，为600 cm 2
.
6．下表是某款车的车速与刹车后的停车距离，试分别就y ＝a ·e kx
，y ＝ax n
，y ＝ax 2
＋bx ＋c 三种函数关系建立数学模型，并探讨最佳模拟，根据最佳模拟求车速为120 km/h 时的刹车距离.
解：若以y ＝a ·e kx
为模拟函数，将(10,4)，(40,18)代入函数关系式，得⎩⎪⎨⎪⎧a ·e ＝4，a ·e 40k
＝18.
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
k ≈0.050 136，
a ≈2.422 8.
∴y ＝2.422 8e
0.050 136x
.
以此函数式计算车速为90 km/h,100 km/h 时，停车距离分别为220.8 m,364.5 m ，与实际数据相比，误差较大．
若以y ＝a ·x
n
为模拟函数，将(10,4)，(40,18)代入函数关系式，得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ·10n
＝4，a ·40n
＝18.
解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
n ≈1.085，a ≈0.328 9.
∴y ＝0.328 9x 1.085
.
以此函数关系计算车速为90 km/h,100 km/h 时，停车距离分别为43.39 m,48.65 m ，与实际情况误差也较大．
若以y ＝ax 2
＋bx ＋c 为模拟函数，将(10,4)，(40,18)，(60,34)代入函数关系式，得
⎩⎪⎨⎪⎧
a ·102
＋b ·10＋c ＝4，a ·402
＋b ·40＋c ＝18，a ·602＋b ·60＋c ＝34.
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝
1
150
，b ＝215，
c ＝2.
∴y ＝1150x 2＋2
15
x ＋2.
以此函数解析式计算车速为90 km/h,100 km/h 时，停车距离分别为68 m,82 m ，与前两个相比，它较符合实际情况．
当x ＝120时，y ＝114.即当车速为120 km/h 时，停车距离为114 m.。