人教版八年级数学上册同步教案13.3.2等边三角形(第2课时)

13.3 等腰三角形(第4课时)
一、内容和内容解析
1．内容
含30°角的直角三角形的性质及应用．
2．内容解析
本节课是在学生学习了轴对称、等边三角形的性质及判定的基础上，探究直角三角形的一条特殊性质，它反映了直角三角形中的边角关系．本节课是等边三角形性质的简单运用，同时也为九年级学习锐角三角函数作了一定的知识储备．
含30°角的直角三角形的性质是在一个直角三角形中由30°的特殊角推出这个三角形中两条边的数量关系．由等边三角形的轴对称性可知等边三角形被对称轴分成两个全等的直角三角形，因此，利用等边三角形的性质及其轴对称性来探究直角三角形中30°角所对边的特殊结论是理所应当的．这样能让学生体会旧知是为新知服务的，学会建立新旧知识的联系．基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是：探索并理解含30°角的直角三角形的性质．
二、目标和目标解析/
1．目标
(1)探索含30°角的直角三角形性质．
(2)理解含30°角的直角三角形性质，并会应用它进行有关的证明和计算．
2．目标解析
达成目标(1)的标志是：学生能从拼等边三角形的活动中发现含30°角的直角三角形的性质，并能通过不同的推理对这一结论进行证明，体会数形结合的数学思想．达成目标(2)的标志是：学生能运用这一性质进行简单的说理及解决简单的实际问题．
三、教学问题诊断分析
学生在拼图活动中很容易发现“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”这一结论，但是在证明结论时遇到困难，不知如何将一个直角三角形中30°的角与边的数量关系建立联系．有了拼图的活动经验，学生能感悟到需添加辅助线构造等边三角形；然后从直角三角形的内部和外部两个角度添加辅助线，从不同角度进行推理．完成由实验几何到论证几何的过渡，并且在探究活动中能够发展他们的创新思维能力．本课的教学难点是：含30°角的直角三角形性质的证明．
四、教学过程设计
1．探索并证明含30°角的直角三角形性质
问题1 已知△ABC 中，∠A ＝60°，( )．请你在括号内补充一个条件，使△ABC 能成为等边三角形．
师生活动：学生补充条件并说明。

不同的学生想到不同的条件，如：∠B ＝60°(或∠C ＝60°)、AB ＝BC 、AC ＝BC 、AB ＝BC ＝AC 等多种答案，教师根据学生的叙述板书．
设计意图：通过问题形式回顾旧知，促使学生经常温故知新．这是一个半开放性的问题，主要是加深对等边三角形的判定的理解，为后续的探究活动作好铺垫．
追问1：等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一条对称轴折叠能产生什么特殊图形？ 师生活动：通过折叠学生发现了两个直角三角形，每个直角三角形都有一个30°的角． 追问2：这个特殊的直角三角形有什么不同于一般的直角三角形的呢？它又有什么特殊性质呢？
设计意图：设计这个活动让学生体会由等边三角形的轴对称性得到了一个含30°角的直角三角形，为后续证明中如何添加辅助线做好铺垫，同时也为性质的证明降低难度．
问题2 用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出等边三角形吗？请说说你的理由．
师生活动：学生积极参与拼图活动，同学之间相互补充．也有学生会摆出四边形等其它图形，教师要强调只能是三角形，因此，摆出的三角形只有如下两种：
图1 图2 追问：在拼出的三角形中有等边三角形吗？你能说明理由吗？
其中图1为一个等边三角形，学生可能会有不同的理由来说明：
理由∵△ABC ≌△ADC ，
∴ AB ＝AD ．
在△ABC 中，∵∠B ＝60°，
A
B
D C A
B D C
∴ △ABD 是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．
设计意图：通过让学生用三角尺经历动手拼图的活动，培养学生动手实践探究的意识，同时使这一抽象的性质直观化，符合学生的认知特点，更易于学生理解接受．这个动手操作活动再次让学生体会两个直角三角板能拼成一个等边三角形，为后面性质的证明做好铺垫．
问题3 你能借助这个图形，找到含30°角的直角△ABC 的直角边BC 与斜边AB 之间的数量关系吗？
师生活动：学生积极发言，同学之间相互补充．通过拼图学生很容易得出直角边BC 等于斜边AB 的一半．
设计意图：通过这种直观的方式，让学生在证明性质时会想到添加辅助线作出一个直角三角形的轴对称图形，从而构造一个等边三角形来进行证明，这样安排能够分散本节课的教学难点．
问题 4 请说一说你猜想的结果中条件和结论分别是什么？并结合图形用符号语言表述出来
师生活动：学生观察图形1得出：在Rt △ABC 中，若∠BAC ＝30°，则BC ＝21AB ．教师根据学生叙述进行板书．
设计意图：一方面是让学生利用数学语言来说明，培养学生的符号感；另一方面让学生通过图形来深入理解所发现的规律，而不是停留在字面意义上，从而达到理解记忆，使学生见其形，知其意；第三方面分清命题的条件和结论是为准确地证明和运用打下良好的基础．
追问1：这条性质是真命题吗？你能验证吗？
师生活动：教师通过追问引导学生思考，由学生根据图形写出已知、求证，观察思考，尝试如何用等边三角形的知识证明这条性质的正确性．教师巡视指导，观察学生的证明方法．
已知：如图3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°．
求证：BC ＝2
1AB ．
图3 图4 A
B
D C A
B C E
教师引导学生利用刚才拼图的活动经验思考添加辅助线作出一个直角三角形的轴对称图形，从而构造出一个等边三角形，然后由等边三角形的性质可推出结论．
证明：在△ABC 中 ∵∠C ＝90°，∠A ＝30°， ∴∠B ＝60°．
延长BC 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，则△ABD 是等边三角形．
由等边三角形的性质可知，AC 也是BD 边上的中线，
∴ BC ＝21BD ＝2
1AB ． 设计意图：通过教师的追问激起学生的验证欲望，学生从动手拼图获得的感知是得出定理的基础，教师要求学生边拼边画，以使学生有足够的直观认识，落实到定理的证明中，学生会有水到渠成的感觉，同时也获得了证明线段倍半问题的一种方法．
追问2：你还能用其他方法证明吗？
师生活动：学生讨论交流后还可能找到以下方法：如图4，可以直接在△ABC 的斜边AB 上截取BE ＝BC ，通过证明△BEC 是等边三角形和△ECA 是等腰三角形证明这个结论．
设计意图：从实验到证明，从理论上肯定其结论的正确性，同时尽可能让学生从多角度分析验证结论，开拓学生的思路．
追问3：你能用文字语言来叙述这一性质吗？
师生活动：学生代表回答，如出现错误或不完整，请其他学生修正或补充，教师点评． 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
2．含30°角的直角三角形性质的运用
问题5：你能应用今天所学性质解决以下问题吗？
1 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝10，则BC 的长为 ．
2 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是高，∠A ＝30°，AB ＝4．则BD ＝ ．
例5 图5是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB ＝7.4 cm ，∠A ＝30°，立柱BC 、DE 要多长？
B
A C 第1题 A
B
C
D 第2题
图5 追问：图中BC 、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？ 师生活动：学生思考后回答：BC 是Rt △ABC 的一条直角边，所对的锐角是∠A 为30°，DE 是Rt △ADE 的一条直角边，所对的锐角也是∠A 为30°，根据含30°角的直角三角形性质，可得BC 是斜边AB 的一半，而DE 是斜边AD 的一半．学生独立写出解答过程，然后在全班进行展示交流．教师关注：学生证明过程是否严密，符号语言运用是否正确．
设计意图：例题涉及的线段、角及三角形较多，学生不易找到解题的突破口，教师应帮助学生理清思路，寻找解题的方向．通过提问，提醒学生注意性质定理运用的前提是在一个直角三角形中去找是否有30°，这样能够发展学生的识图能力，能在复杂的图形去伪存真，抓住本质，真正理解性质、掌握性质、运用性质．
练习 教科书第81页练习
设计意图：及时巩固所学知识，加深对性质的理解．
3．归纳小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些内容？
(2)在应用含30°角的直角三角形的性质，能解决哪些问题？需要注意哪些问题？
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心——含30°角的直角三角形的性质，强调该性质应在一个直角三角形中有特殊的30°角才会有特殊的边的数量关系产生．
4．布置作业
教科书习题13．3第15题．
五、目标检测设计
1．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，AB ＝10，则BC 的长为 ．
A C
E D
B
设计意图：考查含30°角的直角三角形的性质定理的简单应用．
2．已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 平分∠ABC ．
求证：AD ＝2DC ．
设计意图：考查含30°角的直角三角形性质定理的掌握．
3．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD ⊥AC ，交BC 于点D ，试判断BC 与AD 的数量关系，并说明理由．
设计意图：考查含30°角的直角三角形性质定理和等腰三角形的性质的综合运用．
4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB ＝60°，AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离DE 是3 cm ，求BC ．
设计意图：考查对含30°角的直角三角形性质和角平分线的性质的综合应用，旨在提高学生综合运用知识的能力． A B E D
C
B
A C
B A C
D
B A
C D。