2022版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第四讲函数的奇偶性与周期性学案含解析新人教版

第四讲 函数的奇偶性与周期性
知识梳理·双基自测
知识梳理
知识点一 函数的奇偶性
偶函数
奇函数
定义 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x
都有__f (－x )＝f (x )__，那么函数f (x )是偶函数
都有__f (－x )＝－f (x )__，那么函数f (x )是奇函数
图象特征
关于__y 轴__对称
关于__原点__对称
知识点二 函数的周期性 1．周期函数
对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有__f (x ＋T )＝f (x )__，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个__最小的正数__，那么这个__最小正数__就叫做f (x )的最小正周期．
归纳拓展
1．奇(偶)函数定义的等价形式 (1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔
f －x f x
＝1(f (x )≠0)⇔f (x )为偶函数；
(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔
f －x f x
＝－1(f (x )≠0)⇔f (x )为奇函数．
2．对f (x )的定义域内任一自变量的值x ，最小正周期为T (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2|a |；
(2)若f (x ＋a )＝
1
f x
，则T ＝2|a |；
(3)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )，则T ＝|a －b |. 3．函数图象的对称关系
(1)若函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝f (b －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝
a ＋b
2
对称；
(2)若函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝－f (b －x )，则f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a ＋
b 2，0对称． 4．一些重要类型的奇偶函数
(1)函数f (x )＝a x ＋a －x 为偶函数，函数f (x )＝a x －a －x 为奇函数； (2)函数f (x )＝
a x －a －x a x ＋a －x ＝
a 2x －1a 2x ＋1
为奇函数；
(3)函数f (x )＝log a b －x b ＋x
为奇函数；
(4)函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)为奇函数．
双基自测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．( × ) (2)若函数f (x )是奇函数，则必有f (0)＝0.( × )
(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．( √ ) (4)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b,0)中心对称．( √ ) (5)2π是函数f (x )＝sin x ，x ∈(－∞，0)的一个周期．( × ) 题组二 走进教材
2．(必修1P 35例5改编)下列函数中为奇函数的序号是__②③⑤__；偶函数的序号是__①__.
①f (x )＝2x 4＋3x 2；②f (x )＝x 3－2x ；
③f (x )＝
x 2＋1x
；④f (x )＝x 3＋1；
⑤y ＝x 2sin x ；⑥y ＝|ln x |.
3．(必修1P 45T5改编)若函数y ＝f (x )(x ∈R )是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y ＝f (x )图象上的是( B )
A ．(a ，－f (a ))
B ．(－a ，－f (a ))
C ．(－a ，－f (－a ))
D ．(a ，f (－a ))
[解析]∵函数y ＝f (x )为奇函数，∴f (－a )＝－f (a )． 即点(－a ，－f (a ))一定在函数y ＝f (x )的图象上．
4．(必修1P 45T6改编)若奇函数f (x )在区间[a ，b ]上是减函数，则它在[－b ，－a ]上是__减__函数；若偶函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，则它在[－b ，－a ]上是__减__函数．
5．(必修4P 46T10改编)已知函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝log 3(x 2＋3)，则f (2 022)＝__1__.
题组三 走向高考
6．(2020·某某，7,5分)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2
3 ，则f (－8)的值是__－4__.
[解析]由函数f (x )是奇函数得f (－8)＝－f (8)＝－823 ＝－(23)2
3 ＝－4. 7．(2020·课标Ⅱ，9,5分)设函数f (x )＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|，则f (x )( D )
A ．是偶函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，＋∞单调递增
B ．是奇函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，12单调递减
C ．是偶函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫
－∞，－12单调递增
D ．是奇函数，且在⎝
⎛⎭⎪⎫
－∞，－12单调递减
[解析]由⎩
⎪⎨⎪⎧
|2x ＋1|>0，
|2x －1|>0⇒x ≠±12，∴函数f (x )的定义域为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪⎪
x ≠±12，x ∈R
，关于原点对称，
又∵f (－x )＝ln|－2x ＋1|－ln|－2x －1|＝ln|2x －1|－ln|2x ＋1|＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，
排除A 、C ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12时，f (x )＝ln(2x ＋1)－ln(1－2x )，则f ′(x )＝22x ＋1－－2
1－2x ＝
4
1－4x 2>0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12单调递增，排除B ；当x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫
－∞，－12时，f (x )＝ln(－2x －1)－
ln(1－2x )，则f ′(x )＝－2
－2x －1－－2
1－2x ＝4
1－4x 2<0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－∞，－12单调递减，∴D 正确．
考点突破·互动探究 考点一 函数的奇偶性
考向1 判断函数的奇偶性——自主练透
例1 判断下列函数的奇偶性 (1)f (x )＝(1＋x )1－x 1＋x
；
(2)f (x )＝
x 2－1＋1－x 2；
(3)f (x )＝|x ＋1|－|x －1|；
(4)f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋x ，x >0，
x 2－x ，x <0；
(5)f (x )＝1－x 2
|x ＋2|－2
； (6)已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·f (y )，且f (0)≠0. [分析]先求出定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域内，解析式带绝对值号的先化简，计算f (－x )，再判断f (－x )与f (x )之间的关系．抽象函数常用赋值法判断．
[解析](1)由题意得1－x
1＋x ≥0且x ≠－1，
∴－1<x ≤1，∴f (x )的定义域不关于原点对称， ∴f (x )不存在奇偶性，为非奇非偶函数．
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－1≥0，1－x 2
≥0
得x ＝±1，定义域关于坐标原点对称，又f (－1)＝f (1)＝0，
∴f (x )既是奇函数，又是偶函数．
(3)函数的定义域x ∈(－∞，＋∞)，关于原点对称．
∵f (－x )＝|－x ＋1|－|－x －1|＝|x －1|－|x ＋1|＝－(|x ＋1|－|x －1|)＝－f (x )， ∴f (x )＝|x ＋1|－|x －1|是奇函数．
(4)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；
当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数． (5)去掉绝对值符号，根据定义判断．
由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2≥0，|x ＋2|－2≠0，得⎩
⎪⎨⎪⎧
－1≤x ≤1，x ≠0.
故f (x )的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有x ＋2>0.从而有f (x )＝1－x 2
x ＋2－2
＝
1－x 2
x
，这时有f (－x )＝
1－－x 2
－x
＝－
1－x 2
x
＝－f (x )，故f (x )为奇函数．
(6)已知对任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·f (y )，不妨取x ＝0，y ＝0，则有2f (0)＝2[f (0)]2，因为f (0)≠0，所以f (0)＝1.
取x ＝0，得f (y )＋f (－y )＝2f (0)f (y )＝2f (y )，
所以f (y )＝f (－y )．又y ∈R ，所以函数f (x )是偶函数．
名师点拨
判断函数的奇偶性的方法
(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f (－x )是否等于f (x )或－f (x )，据此得出结论．
(2)图象法：奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y 轴)对称．
(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)
考向2 函数的性质的综合应用——多维探究 角度1 利用奇偶性求参数的值或取值X 围
例2 (1)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b ＝( B ) A ．－13B ．1
3
C ．12
D ．－12
(2)已知f (x )＝a 2－3
2x ＋1是R 上的奇函数，则f (a )的值为( A )
A ．76
B ．13
C ．25
D ．23
[解析](1)依题意b ＝0，且2a ＋(a －1)＝0， ∴a ＝13，则a ＋b ＝13
.
(2)因为f (x )＝a 2－32x ＋1是R 上的奇函数，所以f (0)＝a 2－3
2＝0，得a ＝3，所以f (x )＝32
－
3
2x ＋1.所以f (a )＝f (3)＝32－39＝7
6
.故选A ． 角度2 函数奇偶性与单调性结合
例3 (1)(2020·全国新高考Ⅰ，8)若定义在R 的奇函数f (x )在(－∞，0)单调递减，
且f (2)＝0，则满足xf (x －1)≥0的x 的取值X 围是( D )
A ．[－1,1]∪[3，＋∞)
B ．[－3，－1]∪[0,1]
C ．[－1,0]∪[1，＋∞)
D ．[－1,0]∪[1,3]
(2)(2021·某某乌鲁木齐诊断)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －
1)<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13的x 的取值X 围是( A )
A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23
B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23
C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23
D ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，23
[解析](1)本题考查函数的性质与不等式的求解．奇函数f (x )在(－∞，0)单调递减，且f (2)
＝0，则f (x )在(0，＋∞)单调递减，且f (－2)＝0.由xf (x －1)≥0，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ≤0，
f x －1≤0或
⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，f x －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，－2≤x －1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧
x >0，
0≤x －1≤2，
解得－1≤x ≤0或1≤x ≤3.故选D ． (2)由y ＝f (x )图象知，x 离y 轴越近，函数值越小，因此，|2x －1|<13，解得13<x <2
3，故
选A ．
角度3 函数奇偶性与周期性结合
例4 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋3)＝－1
f x
，当1<x ≤3时，
f (x )＝cos
πx
3
，则f (2 022)＝__1__.
[分析]先由已知条件求出函数的周期，再结合函数的性质，把f(2 022)转化为f(0)，进而转化为f(3)，把x＝3代入即可．
[解析]由已知可得f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－1
f x＋3＝－1
－1
f x
＝f(x)，故函数f(x)
的周期为6，
∴f(2 022)＝f(6×337＋0)＝f(0)．
又f(x)＝－1
f x＋3，
f(0)＝－1
f3＝－1
cos π
＝1
∴f(2 022)＝1.
角度4 单调性、奇偶性和周期性结合
例5 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)且在区间[0,2]上是增函数，则( D )
A．f(－25)<f(11)<f(80)B．f(80)<f(11)<f(－25)
C．f(11)<f(80)<f(－25)D．f(－25)<f(80)<f(11)
[分析]
[解析]因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，
所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，
所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．
名师点拨
函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
1．函数单调性与奇偶性结合．注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
2．周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
3．周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
〔变式训练1〕
(1)(角度1)(2019·，13,5分)设函数f (x )＝e x ＋a e －x (a 为常数)．若f (x )为奇函数，则a ＝__－1__.
(2)(角度2)(2020·某某第二次数学质量检测)已知f (x )是定义在[2b,1－b ]上的偶函数，且在[2b,0]上为增函数，则f (x －1)≤f (2x )的解集为( B )
A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23
B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13
C ．[]
－1，1D ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13，1
(3)(角度3)(2018·课标全国Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝
f (1＋x )，若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( C )
A ．－50
B ．0
C ．2
D ．50
(4)(理)(角度4)(2021·某某、某某部分重点中学第一次联考，8)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，且y ＝f (x ＋3)为偶函数，若f (x )在(0,3)内单调递减，则下面结论正确的是( B )
A ．f (－4.5)<f (3.5)<f (12.5)
B ．f (3.5)<f (－4.5)<f (12.5)
C ．f (12.5)<f (3.5)<f (－4.5)
D ．f (3.5)<f (12.5)<f (－4.5)
(文)已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0
恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( D )
A ．c >a >b
B ．c >b >a
C ．a >c >b
D ．b >a >c
[解析](1)∵f (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数， ∴f (－x )＋f (x )＝0，
即e －x ＋a e x ＋e x ＋a e －x ＝0， ∴(a ＋1)(e x ＋e －x )＝0，∴a ＝－1. (2)∵f (x )是定义在[2b,1－b ]上的偶函数， ∴2b ＋1－b ＝0，∴b ＝－1，
∵f (x )在[2b,0]上为增函数，即函数f (x )在[－2,0]上为增函数，故函数f (x )在(0,2]上为减函数，则由f (x －1)≤f (2x )，可得|x －1|≥|2x |，即(x －1)2≥4x 2，
解得－1≤x ≤1
3
.
又因为定义域为[－2,2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧
－2≤x －1≤2，
－2≤2x ≤2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
－1≤x ≤3，
－1≤x ≤1.
∴－1≤x ≤13.
(3)∵f (x )是奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x )， ∴f (1－x )＝f (1＋x )＝－f (x －1)，f (0)＝0，
则f (x ＋2)＝－f (x )，则f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )是周期为4的周期函数，
∴f (2)＝－f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，
f (4)＝f (0)＝0，
则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0－2＋0＝0，
则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2，故选C ．
(4)(理)易知函数f (x )的最小正周期T ＝6，f (x )的图象关于直线x ＝3对称，∴f (3.5)＝f (2.5)，f (－4.5)＝f (1.5)，f (12.5)＝f (0.5)．又f (x )在(0,3)内单调递减，∴f (3.5)<f (－4.5)<f (12.5)，故选B ．
(文)由f (x )的图象关于直线x ＝1对称，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52.由x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]．(x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．
∵1<2<52<e ，∴f (2)>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52>f (e)，∴b >a >c . 考点二 函数的周期性——自主练透
例6 (1)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝2－
3，且对任意的x 都有f (x ＋2)
＝1
－f x ，则f (2 022)＝__2－3__. (2)已知定义在R 上周期为3的奇函数f (x )，则f (1.5)＝
__0__.
(3)设f (x )是周期为2的偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，当－4≤x ≤－3时，f (x )＝__－2(x ＋4)(x ＋3)__，当2 021<x <2 022时，f (x )＝__2×(2 022－x )(x －2 021)__.
[解析](1)f (x )＝－1f x ＋2
＝f (x ＋4)， ∴y ＝f (x )的周期T ＝4，
f (2 022)＝f (4×505＋2)＝f (2)＝2－ 3.
(2)f (1.5)＝－f (－1.5)＝－f (－1.5＋3)＝－f (1.5)，
(3)设－4≤x ≤－3，则0≤x ＋4≤1，
∴f (x )＝f (x ＋4)＝2(x ＋4)[1－(x ＋4)]＝－2(x ＋4)(x ＋3)，
设2021<x <2 022，则0<2 022－x <1，
f (x )＝f (x －2 022)＝f (2 022－x )＝2×(2 022－x )(x －2 021)．
名师点拨
利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
名师讲坛·素养提升
函数三大性质的综合应用
例7 已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f x 1－f x 2
x 1－x 2>0，给出下列命题：
①直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴；
②函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数；
③函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为__①③__.
[解析]①对于任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，令x ＝－3，则f (－3＋6)＝f (－
3)＋f (3)，又因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (3)＝0.所以f (x ＋6)＝f (x )，所以f (x )的周期为6，又因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (x ＋6)＝f (－x )，而f (x )的周期为6，所以f (x ＋6)＝f (－6＋x )，f (－x )＝f (－x －6)，所以f (－6－x )＝f (－6＋x )，所以直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴，故①正确．②当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f x 1－f x 2
x 1－x 2>0，所以
函数y ＝f (x )在[0,3]上为增函数，因为f (x )是R 上的偶函数，所以函数y ＝f (x )在[－3,0]上为减
函数，而f (x )的周期为6，所以函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为减函数，故②错误，③f (3)＝0，f (x )的周期为6，所以f (－9)＝f (－3)＝f (3)＝f (9)＝0，函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点，故③正确．
名师点拨
函数的奇偶性、周期性及单调性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． 〔变式训练2〕
定义在R 上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋f (x )＝0，且函数y ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －34为奇函数，给出下列命题：①函数f (x )的最小正周期是32；②函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－34，0对称；③函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称．其中真命题的个数是( C )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
[解析]由f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋32＋f (x )＝0知f (x )为周期函数，且周期为3，故①不正确； 由函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，知f (x )关于⎝ ⎛⎭
⎪⎫－34，0对称，故②正确； 由f (x )关于⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称，可知f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－x ＝0，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋f (x )＝0，∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32－x ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋32， ∴f (－x )＝f (x )，⎣⎢⎡
或∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34是奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －34，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋f (x )＝0，
即f
⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f x ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫－x －34＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋34＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34即f (x )＝f (－x )． ∴f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，故③正确．。