2024届浙江省嘉兴市高三下学期二模数学试题+答案

2024年高三教学测试
数学试题卷
（2024.4）
本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.
考生注意：
1.答题前，请务必将自已的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置.
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{0},{24}M x x N x x =<=-<<∣∣，则()
R M N ⋂=ð（ ）
A.{2}x
x >-∣ B.{20}x
x -<<∣ C.{4}x
x <∣ D.{04}x
x <∣…2.已知函数()()cos (0)f x x ωϕω=+>是奇函数，则ϕ的值可以是（
）
A.0
B.
π4 C.π
2
D.π3.设z ∈C ，则“0z z +=”是“z 是纯虚数”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.若正数,x y 满足2220x xy -+=，则x y +的最小值是（
）
C. D.25.如图，这是一个水上漂浮式警示浮标，它的主体由上面一个圆锥和下面一个半球体组成.已知该浮标上面圆锥的侧面积是下面半球面面积的2倍，则圆锥的体积与半球体的体积的比值为（
）
6.已知圆()()2
2
2
:(5)(2)(0),6,0,0,8C x y r r A B -++=>-，若圆C 上存在点P 使得PA PB ⊥，则r 的取值范围为（ ）
A.(]0,5
B.[]5,15
C.[]10,15
D.[)
15,∞+7.6位学生在游乐场游玩,,A B C 三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若A 项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（ ）
A.180种
B.210种
C.240种
D.360种
8.已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()1xf x x f x ='-，且()10f >，则（ ）
A.()()1122f f f ⎛⎫<<
⎪⎝⎭ B.()()1212f f f ⎛⎫
<< ⎪⎝⎭
C.()()1212f f f ⎛⎫<<
⎪⎝⎭ D.()()1212f f f ⎛⎫
<< ⎪⎝⎭
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知一组数据1,3,5,7,9，其中位数为a ，平均数为x ，极差为b ，方差为2s .现从中删去某一个数，得到一组新数据，其中位数为a 'x '，极差为b '，方差为'2s ，则下列说法中正确的是（ ）
A.若删去3，则a a <'
B.若删去9，则x x <'
C.无论删去哪个数，均有b b '…
D.若x x ='，则2'2
s s <10.已知角α的顶点与原点重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点()(),0,A a b ab a b ≠≠，定义：()a b
Ti a b
α+=
-.对于函数()()f x Ti x =，则（ ）A.函数()f x 的图象关于点π,04⎛⎫
⎪⎝⎭
对称B.函数()f x 在区间ππ,42⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增C.将函数()f x 的图象向左平移
π
4
个单位长度后得到一个偶函数的图象
D.方程()1
2
f x =
在区间[]0,π上有两个不同的实数解11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.如图，已知抛物线
2Ω:2(0)y px p =>的准线为,l O 为坐标原点，在x 轴上方有两束平行于x 轴的入射光线1l 和2l ，分别经
Ω上的点()11,A x y 和点()22,B x y 反射后，再经Ω上相应的点C 和点D 反射，最后沿直线3l 和4l 射出，
且1l 与2l 之间的距离等于3l 与4l 之间的距离.则下列说法中正确的是（
）
A.若直线3l 与准线l 相交于点P ，则,,A O P 三点共线
B.若直线3l 与准线l 相交于点P ，则PF 平分APC ∠
C.2
12y y p
=D.若直线1l 的方程为2y p =，则7cos 25
AFB ∠=
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知平面向量()
,,,,1,a b c a b c =-=
-
是非零向量，且c 与,a b 的夹角相等，则c
的坐标
可以为__________.（只需写出一个符合要求的答案）
13.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，若1521,8b b b =-=，
()()121n
n
n S
n n T -=+，则n a =__________.
14.在四面体ABCD 中，2,90BC ABC BCD ∠∠=== ，且AB 与CD 所成的角为60 .若四面体
ABCD 的体积为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2cos 3cos23A A -=.（1）求cos A 的值；
（2）若ABC 为锐角三角形，23b c =，求sin C 的值.16.（15分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面,ABCD PA ∥QD ，
222,60BC AB PA ABC ∠==== .
（1）证明：平面PCD ⊥平面PAC ；
（2）若PQ =，求平面PCQ 与平面DCQ 夹角的余弦值.17.（15分）
春季流感对广大民众的健康生活带来一定的影响，为了有效预防流感，很多民众注射了流感疫苗.某市防疫部门从辖区居民中随机抽取了1000人进行调查，发现其中注射疫苗的800人中有220人感染流感，另外没注射疫苗的200人中有80人感染流感.医学研究表明，流感的检测结果是有错检的可能，已知患有流感的人其检测结果有95%呈阳性（感染），而没有患流感的人其检测结果有99%呈阴性（未感染）.（1）估计该市流感感染率是多少？
（2）根据所给数据，判断是否有99.9%的把握认为注射流感疫苗与预防流感有关；（3）已知某人的流感检测结果呈阳性，求此人真的患有流感的概率.（精确到0.001）
附：()()()()
2
2
()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，
()
2P K k
>0.10.050.010.0050.001k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
18.（17分）
已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的虚轴长为4，浙近线方程为2y x =±.
（1）求双曲线C 的标准方程；
（2）过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的左､右两支分别交于点,A B ，点M 是线段AB 的中点，过点F 且
与l 垂直的直线l '交直线OM 于点P ，点Q 满足PQ PA PB =+
，求四边形PAQB 面积的最小值.
19.（17分）
已知集合12120,i m a m i i A a a a a =⎧⎫
=<<<∈⎨⎬⎩⎭
∑N ∣…，定义：当m t =时，把集合A 中所有的数从小到大排列成数列{}()n b t ，数列{}()n b t 的前n 项和为()n S t .例如：2t =时，
010*********(2)223,(2)225,(2)226,(2)229,b b b b =+==+==+==+= ，41234(2)(2)(2)(2)(2)23S b b b b =+++=.
（1）写出56(2),(2)b b ，并求10(2)S ；
（2）判断88是否为数列{}(3)n b 中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；（3）若2024是数列{}()n b t 中的某一项()00n b t ，求00,t n 及()00n S t 的值.
2024年高三教学测试
数学参考答案
（2024.4）
一､单选题（40分）
1-8DCBA DBCD
第8题：由()()()1xf x x f x ='-变形得
()()()
f x xf x x f x '-=，从而有
()()()
()
2f x xf x x f x f x '-=
，()()'
x x f x f x ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，所以()e x x k f x =⋅，所以()e x x f x k =⋅，则()()22e 1e e e e x x x x x k x k kx f x k k --⋅=='，又()10f >，所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+单调递减，所以()112f f ⎛⎫
<
⎪⎝⎭
，()()21f f <
，又()3
2
22
12e 422e 2e f f k k -⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，又33e 2.719.716>≈>，所以3
2
e 4>，所以()()1212
f f f ⎛⎫
<< ⎪⎝⎭，故选D.
二､多选题（18分）
9.ACD 10.AB
11.ACD
第11题：对于选项A ，因为直线AC 经过焦点，设直线:2
p
AC x ty =+
，与抛物线22y px =联立得222131320,2,y pty p y y pt y y p --=+==-，
由题意得2
31
312,,,,22OP y y p P y A y k p p ⎛⎫⎛⎫-=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，3213
222AO y p p
k p y p y =
==-
-，所以OP AO k k =，即A O P ､､三点共线，A 正确；
对于选项B ，因为,APF CPF CFP CPF ∠∠∠∠==，
所以APF CFP ∠∠=，所以AP ∥CF ，与AP 和CF 相交于A 点矛盾，B 错误；
对于选项1C,l 与2l 距离等于3l 与4l 距离，则22
21212341212
y y p p y y y y p y y y y --=-=-
+=⋅，所以2
12,C y y p =正确；
对于选项D ，()332,2,,,,0,,2,,822282p p p p p p A p p B F FA p FB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，22337252,2821616p p p p p FA FB p FA FB ⎛⎫⋅=⋅-+⋅=⋅==
⎪⎝⎭ ，7
cos 25FA FB AFB FA FB
∠⋅==⋅ ，D 正确.故选ACD
三､填空题（15分）
12.(),,0c x x x =≠
均可
13.2n 14.3
第14题：依题意，可将四面体ABCD 补形为如图所示的直三棱柱ABE FCD -，因为AB 与CD 所成的角为60 ，所以60DCF ∠= 或120 ，设,CD x CF y ==，外接球半径记为R ，外接球的球心如图点O
.
1112sin60332ABCD CDF V BC S xy xy ⎛⎫
=⋅⋅=⨯⨯== ⎪⎝⎭ ，得24xy =，
在Rt 2OCO 中，2
22222221112sin 3DF R OC OO CO DF DCF ∠⎛⎫
==+=+=+ ⎪
⎝⎭
，所以当60DCF ∠= 时，外接球的半径会更小.在CDF 中，由余弦定理得222DF x y xy =+-
，
所以()
2
2211
11933
R x y xy xy =+
+-≥+=，所以min 3R =.四､解答题（77分）
15.（13分）
解析：（1）(
)
2
2cos 32cos 13A A --=，即23cos cos 0A A -=，解得1
cos 3
A =或cos 0A =；（2）解法一：由正弦定理得()23,2sin 3sin ,2sin 3sin b c
B
C A C C ==+=，
2sin cos 2sin cos 3sin A C C A C +=，因为1cos 3A =
，所以sin A =
；2sin 3sin 3C C C +=
，解得tan C =
，所以sin C =.解法二：由余弦定理得2221cos 23
b c a A bc +-==，因为23b c =，所以
2
2222291424,3393
c c a c a c a c +-===，又1cos 3A =
，所以sin A =
，所以2sin sin 3C A ==.16.（15分）
解析：（1）解法一：2,60BC AB ABC ∠== ，
,AB AC CD AC ∴⊥∴⊥，
PA ⊥ 底面,ABCD PA CD ∴⊥，
CD ∴⊥平面,PAC CD ⊂ 平面PCD
，
∴平面PCD ⊥平面PAC .
解法二：2,60,BC AB ABC AB AC ∠==∴⊥ .如图建立空间直角坐标系，()()0,0,1,0,0,0P A
，
(
)()
,C D -，则()0,0,1PA =-
，()
()
1,1,0,0PC CD =-=-
设()1,,n x y z =
是平面PAC
的法向量，则
110
0000z n PA y z z n PC ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⇒==⎨-=⋅=⎪⎩
，取()11,0,0n = ，设()2,,n a b c =
是平面PCD
的法向量，则220000a n CD c n PC ⎧=⎧⋅=⎪⎪
⇒⎨-=⋅=⎪⎩
(2= ，所以120n n ⋅=
，所以平面PCD ⊥平面PAC .
（2）解法一：在直角梯形ADQP 中，解得3QD =，过,C P 作,CE PE 分别平行于,AP AC ，连结QE ，作
PF QC ⊥交QC 于F 点，连结EF ，
,,AC CD AC QD AC ⊥⊥∴⊥ 平面CDQE
，
PE ∥,AC PE ∴⊥平面CDQE ，,PF QC EF QC ⊥∴⊥ ，
PFE ∠∴为平面PCQ 与平面DCQ
的夹角，PE =，在PCQ
中解得PF =
，sin cos PE PFE PFE PF ∠∠∴=
=∴==
.（2）解法二：在直角梯形ADQP 中，解得3QD =，如图建立空间直角坐标系，(
)()
0,0,1,P C
，
(
)()
,Q D --，
平面DCQ
的法向量为()
1n AC ==
，
(
)()
1,0,3,0,CQ CP =-=
，
设平面PCQ 的法向量为()2222,,n x y z =
，
(22200
CQ n n CP n ⎧⋅=⎪⇒=⎨⋅=⎪⎩
，121212
cos cos ,n n n n n n θ⋅====⋅ ，
即平面PCQ 与平面DCQ
.17.（15分）
解析：（1）估计流感的感染率22080
0.31000
P +==.
（2
）列联表：
流感情况
疫苗情况
患有流感
不患有流感合计
打疫苗220580800不打疫苗80120200合计
300
700
1000
根据列联表，计算()()()()
22
2
()1000(22012058080)11.9800200300700n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯=
=≈++++⨯⨯⨯.因为11.910.828>，所以有99.9%的把握认为注射流感疫苗与流感发病人数有关.（3）设事件A 为“一次检测结果呈阳性”，事件B 为“被检测者确实患有流感”，
由题意得()()()()
0.3,0.7,0.95,0.01P B P B P A
B P A B ====∣∣，()()()0.30.950.285P AB P B P A B =⋅=⨯=∣，
由全概率公式得()()()()()
0.30.950.70.010.292P A P B P A B P B P A B =⋅+⋅=⨯+⨯=∣∣，()()()
0.285
97.6%0.292
P AB P B A P A =
=
≈∣，所以此人真的患有流感的概率是97.6%.18.（17分）
解析：（1）易知双曲线的标准方程为2
2
14
y x -=.
（2）设()()(
)112200,,,,,,:A x y B x y M x
y AB x my =+，联立方程22
44x my x y ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩
得()()()
2
222
241
160,Δ320644
1641m
y m m m -++==--=+，且120002y y y x my +=
===由,,O M P
三点共线得
004P
P
y y m x x ==①，由PF AB ⊥得1PF AB k k ⋅=-
11m ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
②，
由①②解得P .由PQ PA PB =+
可知，四边形PAQB 是平行四边形，所以2PAQB PAB P l S S d AB -==⋅ ，
P l d -
，()
222
8141
m PQ y m +=-==-，所以
)
3
2
2
PAQB S =
，
令2
2
141,4t t m m
+=-=
，则PAQB S =令()32(5)t f t t +=，则()()2
22343
(5)103(5)2(5)t t t t t t f t t t
'+-+⋅-⋅+==，所以()f t 在()0,10上单调递减，()10,∞+上单调递增，所以()min 135
()104
f t f =
=，所以(
)
min
PABQ
S =
=，当且仅当
10t =，即m =时取等号.19.（17分）
解析：（1）因为2m =，此时{
}
12
1212220,,a a
A a a a a =+≤<∈N ∣
，313256(2)2210,(2)2212b b =+==+=，()
0123410(2)422222124S ∴=++++=.
（2）当3m =时，{
}
3
121231232220,,,a
a a A a a a a a a =++≤<<∈N ∣
，64388222,88=++∴ 是数列{}(3)n b 中的项，
比它小的项分别有3123
1231236222,05,,,,a
a
a
a a a a a a N
C ++≤<<≤∈个，
有1262
12124222,03,,,a a a a a a C ++≤<≤∈N 个，有14
6
1
113222,02,,a
a a C ++≤≤∈N 个，
所以比88小的项共有3
2
1
64329C C C ++=个，故88是数列{}(3)n b 的第30项.
（3）1098765320242222222,2024=++++++∴ 是数列{}(7)n b 中的项，故07t =，
则当7m =时，{
}
7
121271272220,,,,a
a a A a a a a a a =+++≤<<<∈N ∣
，方法一：比它小的项分别有以下7种情况：
①712127127222,09,,,,,10a
a
a
a a a a a a +++≤<<<≤∈N 个数字任取7个得7
10C 个，②61210
1261262222,08,,,,a
a
a
a a a a a a ++++≤<<<≤∈N ，得6
9C 个，③5129
10
12512522222,07,,,,a
a
a
a a a a a a +++++≤<<<≤∈N ，得5
8C 个，④1248
9
10
124124222222,06,,,,a
a
a
a a a a a a ++++++≤<<<≤∈N ，得4
7C 个，⑤3127
8
9
10
1231232222222,05,,,a
a
a
a a a a a a ++++++≤<<≤∈N ，得3
6C 个，⑥126
7
8
9
10
12122222222,04,,a
a
a a a a ++++++≤<≤∈N ，得2
5C 个，⑦15
6
7
8
9
10
112222222,02,a
a a ++++++≤≤∈N ，得1
3C 个，所以比2024小的项共有7
6
5
4
3
2
1
10987653C C C C C C C ++++++个，
其中7
6
5
4
3
2
1
3
3
3
3
3
3
1098765310987653
C C C C C C C C C C C C C ++++++=++++++333333
441098765553C C C C C C C C =+++++++-4112
C =-328
=故2024是数列{}(7)n b 的第329项，即0329n =.
方法二：{
}
7
12127127222010,,,,a
a a A a a a a a a =+++≤<<<≤∈N ∣共有元素711C 个，
最大的是109876542222222++++++，其次为1098765322222222024++++++=，
所以2024是数列{}(7)n b 的第7
111329C -=项，即0329n =.
在总共711330C =项中，含有02的项共有610C 个，同理12102,2,2 都各有6
10C 个，所以
()
6
011033010(7)2222102047429870S C =⋅+++=⨯= ，则
()0
0329330330(7)(7)(7)4298702032427838n S t S S b ==-=-=.。